Tikhonov迭代正则化向下延拓应用探讨

沈恒旭，李才明



Tikhonov迭代正则化向下延拓应用探讨

沈恒旭，李才明

(成都理工大学 地球物理学院，四川 成都 610059)

重磁位场延拓广泛应用于地质勘探、能源勘探、军事导航等领域的重磁资料数据处理中。Tikhonov迭代正则化向下延拓方法实现快速高精度向下延拓，能够有效压制高频振荡，实现过场源体而不奇异。但该方法对地质体的响应程度及对于地质体物性的反映尚需研究，为了探讨该方法对不同地质体的响应情况，以Tikhonov迭代正则化向下延拓算法为基础，深入讨论该方法对于不同地质体向下延拓的结果。并以多个不同深度的球体以及板状体等模型模拟不同地质条件，借此来讨论延拓结果对地质体的响应情况。理论场和实测资料的向下延拓成果表明，该方法能够有效反映地质体埋深，也能校准确区分水平和垂直叠加异常体。

位场；Tikhonov迭代正则化；向下延拓；场源体

(InstituteofGeophysics,ChengduUniversityofTechnology,ChengduSichuan610059,China)

1 引 言

重磁位场向下延拓是重磁数据处理以及反演解释中一种重要的数据处理方法。通过位场的向下延拓可以获得更多的关于重磁位场的数据，从而更加有利于对地下介质进行定性定量分析。位场向下延拓可以突出叠加在区域背景上的局部异常，使之尽量少受区域场的影响，而且可以“放大”某些在低缓异常中不够明显的异常特征(如拐点、极值点、零值点等)，有利于进一步的解释推断[1]。位场向下延拓扩充了已有重磁位场的数据量，从而可以利用位场进行辅助导航[2-5]以及进行磁异常边缘识别[6]。重磁位场的空间分布特征，具有较强的直观性，是研究场源体的重要依据[7]。然而，从数学上我们知道，位场向下延拓属于数学物理反问题，是一类不适定问题，边界值ΔT(x,0)有极微小的变化时，所得的解可以变化很大[8]。为此，众多学者致力于提高向下延拓精度和延拓速度。徐世浙院士提出了位场向下延拓的积分迭代法，能够稳定向下延拓20倍点距，提高了向下延拓精度[9,10]；陈龙伟等实现了Landweber迭代法位场向下延拓[11]；多位学者基于维纳滤波[12]、窗函数[13]、Tikhonov正则化[14,15]、自适应滤波[16]、有限元法[17]等进行位场延拓或应用；另外刘东甲等研究了位场向下延拓的波数域迭代法[18]。但是，迭代积分法虽然延拓精度较高，但是存在多次迭代而导致计算数据量较大，不适合处理数据量较大的数据。波数域延拓虽然计算数据量小，延拓速度快，但是延拓精度受限，并不能很好地实现位场向下延拓。曾小牛等[19]将迭代积分法的高精度延拓和波数域延拓的快速计算能力相结合，并根据傅初黎等提出的不适定问题的迭代Tikhonov正则化方法[20]，提出了迭代Tikhonov正则化向下延拓法，并对其波数域算子进行了推导。本文以曾小牛等提出的迭代Tikhonov正则化向下延拓法为基础，分别对不同的正演模型数据进行向下延拓，从而探讨该方法对不同地质体、不同磁化方向的应用效果，进而为该方法的应用提供参考。

2 Tikhonov迭代正则化向下延拓方法原理

如图1所示，设z轴向下为正，场源位于z=h平面以下(h>0)，若z=0观测平面上的位场T(x，0)为已知，则由T(x，0)求z=h平面上的位场数据T(x,h)称为位场的向下延拓[21]。

图1 向下延拓示意图Fig.1 Schematic diagram of downward continuation

(1)

由式(1)可知，向下延拓可以表示为

T(x,z)=T(x,0)*φ(x)

(2)

即观测平面上的位场值与一个核函数的褶积，*代表褶积运算，由富氏变换的性质可知空间域的褶积与波数域的乘积相对应。对(2)式两端做富氏变换可得

(3)

根据刘天佑[21]和曾小牛等[19]的研究，可以得到迭代Tikhonov正则化方法的波数域算子的推导过程为

gn(x)=atikT(x)+btikgn-1(x)

(4)

其中gn(x)为迭代n次结果；T(x)为原始数据；atik和btik为延拓系数。

对(1)式两端做富氏变换可得

Φ(w)Gn-1(w)]

(5)

由数学归纳法可得

BtikGn-2(w)]

(6)

由此可以得到迭代Tikhonov正则化法的波数域算子为

(7)

3 正演模型数据延拓

本文借鉴李才明、管志宁等表述的球体正演公式以及有限延深厚板的正演公式进行正演计算。

(2x2-R2)cosiscosIcosA′-(x2+R2)·

siniscosIcot-1Isin2A′-6RxsiniscosIcosA′]

(8)

(9)

式(1)为球体磁异常正演公式，式(2)为有限延深厚板磁异常正演公式。式(1)中ms为有效磁矩(A·m)，x为水平坐标(m)，R球体中心埋深(m)，is、I、A′分别为有效磁化倾角、地磁倾角和测线方向与地磁在水平面投影的夹角(°)。式(2)中Ms为有效磁化强度(A/m)，u0真空磁导系数4π×10-7(H/m)，is、I同式(1)，α为板倾角(°)，rA、rB、rC、rD分别为板四个角点到测点的距离(m)，φA、φB、φC、φD分别为板四个角点与测点法线的夹角(°)。

根据曾小牛等[19]可知，Tikhonov迭代正则化向下延拓主要通过正则化因子和迭代次数实现高精度、快速的向下延拓，正则化因子和迭代次数的选取对于延拓的精度和速度有着至关重要的影响，通过对Tikhonov正则化向下延拓波数域算子的研究，可以为正则化因子的选取以及迭代次数的选取提供指导，总体来说正则化因子取0～1之间的数值，迭代次数取1～100较为合适。对于一般情况，浅部磁性介质可以选取较大正则化因子和较少的迭代次数，而深部磁性介质则需要较小的正则化因子和较多的迭代次数。

图2和图3分别为球体异常剖面图、球体异常下延拓等值线图以及球体正演模型图(三个球体分别位于：100 m、500 m、900 m，埋深均为100 m，垂直磁化Ms=5 000A·m2，dh=10 m，正则化因子α=0.1，迭代次数n=5，点距x=10 m)。可以看出，通过Tikhonov迭代正则化向下延拓后，随着延拓深度的增加，磁异常并没有出现明显的畸变。磁异常明显收敛为三个正异常区和两个负异常区，而且可以发现正异常区两侧均存在一个负异常区，这与球体的空间等值线图相似，也就是说通过Tikhonov迭代正则化法向下延拓可以近似的得到磁性地质体的近似空间等值线图，通过比较正演模型图和延拓成果图，可以清楚地发现三个正异常所对应的位置恰恰是正演模型中磁性球状地质体所对应的位置。从而通过Tikhonov迭代正则化向下延拓方法可以近似获得地下磁性介质的位场空间分布情况，进而可以较为清楚地反映磁性地质体的埋深。

图2 三个同深度球体正演磁异常剖面Fig.2 Forward magnetic abnormal profile of the three similar deep spheres

图3 三个同深度球体向下延拓结果以及正演模型Fig.3 Forward model and the downward continuation result of the three similar deep spheres

图4和图5分别为球体异常剖面图、球体异常下延拓等值线图以及球体正演模型图(三个球体分别位于：300 m、500 m、800 m，埋深为50 m、150 m、250 m，垂直磁化M1=20 000 A·m2，M2=2×105A·m2，M1=2×106A·m2，dh=10 m，正则化因子α=0.05，迭代次数n=10，点距x=10 m)。可以看出，Tikhonov迭代正则化向下延拓后，磁异常同样没有出现明显的畸变现象，延拓后磁异常收敛为三个正异常区域和三个负异常区域，而且可以较清楚地看出，正异常区域两侧伴随着负异常，形成类似双扭线的形状。另外可以看出，正异常在收敛的时候，浅部的异常收敛较为集中，而且异常值较大；随着深度的增加，深部的正异常收敛相对较缓，而且异常值相对较小。尽管由于深度不同而造成的收敛程度出现不同，但是通过与正演模型的对比，依然可以通过Tikhonov迭代正则化向下延拓得到的等值线图中的正异常收敛区判断出磁性地质体的埋深。但是可以注意到当深部异常体埋深正确时，浅部的异常体埋深往往会偏大。

图4 三个不同深度球体正演异常剖面Fig.4 Forward magnetic abnormal profile of the three different deep spheres

图5 不同深度球体异常向下延拓结果图以及正演模型Fig.5 Forward model and the downward continuation result of the three different deep spheres

图6和图7分别为球体异常剖面图、球体异常下延拓等值线图以及球体正演模型图(两个球体均位于：500 m处，埋深分别为100 m、500 m，垂直磁化M1=2×104A·m2、M2=2×105A·m2，dh=10 m，正则化因子α=0.5，迭代次数n=175，点距x=10 m)。可以看出，通过Tikhonov迭代正则化向下延拓后，磁异常并没有出现明显的畸变现象，而且延拓后形成两个正异常收敛区和四个负异常收敛区，可以注意到在正异常收敛区的两侧都伴随有负异常的收敛区。观察正异常收敛区，可以发现浅部的正异常收敛区较深部正异常收敛区收敛较为集中，而且正异常值较大。通过与正演模型对比，Tikhonov迭代正则化向下延拓依然可以较为清楚地反映磁性地质体的埋深，而且可以很好地区分叠加磁性介质。

图6 叠加球体正演数据Fig.6 Forward data of overlay spheres

图7 叠加球体向下延拓成果图以及正演模型Fig.7 Forward model and downward continuation result of overlay spheres

图8和图9分别为有限延深厚板ΔT、Ha、Za异常剖面图、有限延深厚板ΔT、Ha、Za异常下延拓等值线图以及有限延深厚板正演模型图(厚板顶界面位于：100 m处，宽度为100 m，倾角45°，顺层磁化Ms=10 A·m2，dh=10 m，正则化因子α=0.1，迭代次数n=10，点距x=10 m)。可以看出，Tikhnovo迭代正则化向下延拓对ΔT磁异常进行处理后，磁异常没有出现明显的畸变现象，磁异常逐渐收敛为一个较为明显的正异常和一个较为明显的负异常，但是在正异常的左侧存在一个微弱的中低异常收敛区，在负异常的右侧存在一个中高异常的收敛区，通过与正演模型相比较，虽然在一定程度上可以反映磁性介质的诸如埋深宽度等物性参数，但是效果并不明显。Tikhonov迭代正则化向下延拓对Za磁异常处理后，磁异常没有出现明显的畸变现象，磁异常逐渐收敛为一个正异常区域和两个负异常区域，两个负异常区域伴随于正异常区域的两侧。通过与正演模型比较可以发现，正异常收敛区对应的位置与厚板的顶界面埋深相近，而且正异常区域的宽度也与厚板的宽度相近，正异常区的倾向与正演模型的磁化方向也存在近似镜像的关系。Tikhonov迭代正则化向下延拓处理Ha磁异常，可以发现磁异常没有出现明显的畸变现象，而且磁异常逐渐收敛为两个正异常区和一个负异常区，负异常区两侧伴随存在正异常区。与正演模型比较，可以看出虽然负异常区域的倾向与厚板的磁化倾角方向一致，但是对于磁性介质的埋深和宽度并不能得到很好的反映。综合比较ΔT、Ha、Za延拓结果，可以清楚地发现Za向下延拓等值线图能够较为明显地反映地下磁性介质的埋深、宽度、磁化方向等参数。

图8 有限延深厚板ΔT、Ha、Za异常剖面Fig.8 The ΔT、Ha、Za exceptions profile of the finite deep thick plate

图9 有限延深厚板ΔT、Ha、Za异常延拓图以及正演模型Fig.9 Forward model and downward continuation results of the finite deep thick plate

4 实际资料数据处理

现以某工区的高精度实测资料为例，运用Tikhonov迭代正则化向下延拓法对其进行处理。

图10和图11分别为某工区内呈NW-SE向的高精度实测磁异常剖面图和对实测异常进行Tikhonov正则化向下延拓得到的成果图。由于测区地势存在一定程度的起伏，所以对原始磁测资料进行曲化平等处理后得到如图10所示的磁异常剖面图。通过图11，可以看出在浅部存在一些小的正异常区， 在深度200m水平坐标500m处存在一处明显的正异常，而且在正异常两侧存在明显的两个伴随负异常，同样在水平坐标1 500 m、深度550 m处和水平坐标2 650 m、深度500 m处存在两个较为明显的正异常区域，其两侧也存在较为明显的伴随负异常。结合图4和图5推断这三处存在三个磁性介质,深度分别对应为200 m、550 m和500 m，后经过钻探小组钻孔验证，其位于水平坐标500 m、深度184.5 m处可见钛磁铁矿，与向下延拓推断相近。

图10 某工区高精度磁异常剖面Fig.10 A work-area high-precision abnormal profile

图11 某工区高精度磁异常剖面向下延拓成果Fig.11 Downward continuation result of a work-area high-precision abnormal profile

5 结 论

通过上述讨论可以看出，Tikhonov迭代正则化向下延拓法结合了迭代法和波数域延拓法的优点，在提高向下延拓精度的同时也提高了延拓的速度。该方法具有向下延拓距离大、精度高、过场源不奇异等优点，但也存在延拓精度过多依赖于迭代次数和正则化因子的选取等缺点。通过以上简述与比较，可以得出如下结论：

1)Tikhonov迭代正则化向下延拓处理后，会出现多个正异常和负异常的收敛区，通过研究可以看出，磁性体对应的正异常收敛区两侧一般会伴随出现负异常区，这种特征可以作为实际应用中推测异常体的依据。

2)正负异常收敛区呈近似双扭线状，这与球体磁位场的空间等值线图相似，正异常收敛区往往对应地下磁性介质。

3)不同深度的异常体引起的磁异常在经过Tikhonov迭代正则化向下延拓处理后，其对应的正异常区域收敛程度会存在差异，而且对于同一剖面中不同深度的磁性体在延拓等值线图中反映的深度会存在一定差异。

4)Tikhonov迭代正则化向下延拓法能够很好地区分叠加异常。

5)垂直磁化的磁性体或者对Za进行延拓后得到的成果图能够更加直观地反映地下磁性介质的物性参数，因此在进行向下延拓时可以通过化极或者参数变换等方式来提高向下延拓的成果。

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The Application of Tikhonov Iteration Regularization Downward Continuation

Shen Hengxu,Li Caiming

The potential field downward continuation of gravity magnetic is applied to the gravity magnetic data interpretation in the geo-exploration, energy exploration and military navigation. The method of Tikhonov iteration regularization downward continuation realizes speedy and high-accuracy downward continuation. The method can suppress high-frequency shock through source body without strange. However, the respond degree of the method for the geologic body and the reflect of the method for the physical parameters need to be studied. The paper based on the Tikhonov iteration regularization downward continuation method discusses the downward continuation result for different geological bodies. By dealing with the magnetic data of different geological factors simulated by several balls of different deeps and plate bodies, we discuss the response result of the downward continuation result for the geological body. Some tests for the theoretical field data and observed field data indicate that the new normalized method will lead to a real representation of potential field in the whole half-space under the observable surface and can be used in determining the vertical distributing of source bodies.

potential field; Tikhonov iteration regularization; downward continuation; source body

1672—7940(2016)05—0621—06

10.3969/j.issn.1672-7940.2016.05.011

沈恒旭(1980-)，男，硕士研究生，主要从事矿产勘查与工程勘测方向的学习与研究。E-mail:1218886808@qq.com

P631

A

2016-05-10