面向摆动喷管的导弹非线性姿态控制

周成宝，周　荻

（哈尔滨工业大学航天学院，黑龙江　哈尔滨 150001）

面向摆动喷管的导弹非线性姿态控制

周成宝，周荻

（哈尔滨工业大学航天学院，黑龙江哈尔滨 150001）

针对采用摆动喷管作为执行机构的导弹姿态控制系统，研究了导弹初始垂直发射过程中三通道姿态耦合控制问题。详细推导了采用摆动喷管的导弹的姿态动力学模型，并与欧拉角描述的导弹姿态运动学模型结合，基于动态面控制技术，在考虑系统中气动参数不确定性情况下设计了一个新的动态面自适应滑模控制器，并应用Lyapunov方法给出了严格的稳定性证明。为避免控制设计中的抖振问题，控制器中的符号函数用饱和函数来代替。数值仿真分析验证了所提出的控制方法的有效性。

姿态控制；动态面控制；滑模控制；自适应控制；摆动喷管

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0　引　言

垂直发射导弹完成快速转弯等姿态控制任务时，以空气舵作为执行机构难以满足要求。而采用摆动喷管推力矢量控制，通过改变空气流动的方向，可以使导弹获取更大的俯仰和偏航力矩，带来更高的控制效率和更低的推力损失［1］。

目前，一些文献已经对摆动喷管控制进行了研究［1-7］。文献［1］针对摆动喷管推力矢量控制的防空导弹，提出了一个模糊全局滑模稳定控制方案。文献［2］将参数空间方法和定量反馈理论应用到摆动喷管控制防空导弹飞行控制系统设计中，考虑摆动喷管的控制偏差，分析了飞行控制系统的鲁棒性。文献［3］将鲁棒回路成形理论应用到摆动喷管控制防空导弹自动驾驶仪设计中，并针对俯仰通道自动驾驶仪进行仿真分析研究。但这3篇文献都是针对线性化解耦的模型设计了攻角指令跟踪或过载指令跟踪控制系统，没有考虑复杂的非线性耦合姿态控制系统设计问题。文献［7］着重分析了摆动喷管产生的推力和力矩，建立了采用摆动喷管推力矢量控制弹性弹体的数学模型，但没有给出控制方案。文献［4］讨论的是防空导弹摆动喷管自身的高精度摆角控制问题，提出了一种基于扩展状态观测器的快速终端滑模控制方法，没有涉及导弹的控制系统设计问题。

本文针对垂直发射导弹发射阶段姿态快速转弯控制问题，考虑导弹姿态运动非线性耦合模型，采用摆动喷管作为执行机构，研究非线性姿态控制律的设计问题。对采用摆动喷管作为执行机构的导弹姿态动力学模型进行了详细推导，并采用基于欧拉角的姿态运动学模型，从而建立起完整的导弹三通道耦合姿态运动模型。

针对非线性姿态控制系统设计问题，反演法是一种系统化的、非常有效的设计方法［8-10］。但是应用于导弹姿态控制系统设计，反演法会带来“微分膨胀问题”，所设计的控制器比较复杂。为了解决微分膨胀问题，文献［11］提出了一种动态面控制方法，这种方法类似于反演法，不同的是该方法通过引入低通滤波器避免了对虚拟指令的直接微分，从而解决了微分膨胀问题，可以保证任意小的跟踪误差，具有较高的工程实用价值。对于动态面控制设计的关键问题是稳定性分析，它比反演法更复杂，需要考虑滤波误差的收敛。动态面控制已经被应用于高超声速飞行器［12］和 近 空间 飞行器［13-14］的攻角控制问题。但是动态面控制还没有被应用于基于摆动喷管的导弹姿态控制系统设计问题。

在导弹快速姿态转弯问题中，导弹还受到气动力的作用。虽然我们可以根据验前计算出来的导弹气动力参数，结合导弹当前的攻角和侧滑角在线计算气动力矩，然后在摆动喷管的控制律中加以补偿。但由于验前计算出来的导弹气动力参数与实际飞行过程中导弹气动力参数存在一定的差别，这种补偿的作用也是有限的，未补偿掉的那部分气动力矩在导弹姿态运动动力学模型中依然造成比较大的不确定性。考虑未建模动态不确定性，具有强鲁棒性的滑模变结构控制被广泛地应用到飞行器姿态控制问题中［8，15］。自适应方法可以估计不确定参数的界，也被广泛地应用到姿态控制方面［16-17］。本文在动态面姿态控制律设计过程中，为了克服模型不确定性，先采用自适应律在线估计未补偿掉的那部分气动力矩的上界，然后应用此估计结果设计了一种滑模控制律。

1　姿态运动模型

这里，导弹的姿态运动采用欧拉角描述的数学模型。用ϑ表示俯仰角，表示偏航角，γ表示倾斜角。采用→ϑ→γ（2→3→1）转序得到欧拉角描述的姿态运动学方程

式中，ωx，ωy，ωz是导弹绕质心转动的角速度。

由式（1）可见，如果垂直发射的导弹的初始的姿态俯仰角为90°，那么方程是奇异的，无法直接使用。这时可以在90°附近先采用321转序下的运动学方程，转向目标后导弹俯仰角自然离开90°附近区域，再转换到应用231转序下的运动学方程。在实际应用中，为了保证发射阵地安全，垂直发射导弹的初始姿态俯仰角设置为85°，转弯过程中俯仰角小于85°，这种情况下，直接采用231转序下的运动学方程也不会发生奇异问题。

下面，将详细推导采用摆动喷管推力矢量控制导弹姿态动力学模型。

1.1坐标

首先定义用到的坐标系。

（1）地心惯性坐标系oIxIyIzI

如图1所示，原点oI位于地心上，oIyI指向导弹发射点oF。oIxI轴位于射击平面内，与oIyI轴垂直，指向目标为正，oIzI按右手定则确定。

图1　地心惯性坐标系和发射点惯性坐标系

（2）导弹发射点惯性坐标系oFxFyFzF

原点为导弹发射点oF，oFyF轴铅锤向上，oFxF轴在射击平面内，垂直于oFyF轴，指向目标为正，oFzF轴按右手定则确定。在导弹发射的时刻，将包含了当前时刻目标点与导弹发射点的铅垂面确定为射击平面。此坐标系在导弹发射瞬间固定于惯性空间。它与发射点惯性坐标系的关系如图1所示，即oFxF、oFyF和oFzF轴分别平行于oIxI、oIyI和oIzI轴。

（3）导弹弹体坐标系ox1y1z1

原点o位于导弹质心上，ox1轴与弹体纵轴重合，指向头部为正。oy1轴在弹体纵向对称平面内，垂直ox1轴，指向上方为正。oz1轴方向按右手定则确定。在弹体坐标系下，导弹为X-X气动布局。

（4）导弹执行坐标系ox4y4z4

如图2所示，ox4为弹体纵轴，指向前为正，oy4轴位于包含ox4和2、4号舵的平面内，且垂直于ox4轴，指向2号舵为正，oz4方向按右手定则确定。

图2　执行坐标系

（5）导弹摆动喷管外框架系ox6y6z6

摆动喷管外框架oz6轴始终与执行系oz4重合，绕oz6轴转角为δt1。当δt1=0时，此坐标系与弹体执行系重合。

（6）导弹摆动喷管内框架系ox7y7z7

摆动喷管内框架oy7轴始终与摆动喷管外框架系oy6轴重合，绕oy6轴转角为δt2。当δt2=0时，此坐标系与摆动喷管外框架系重合。弹体推力P始终沿着摆动喷管内框架ox7轴。

1.2几个坐标系之间的转换关系

采用231转序推导出来的由发射点惯性坐标系到导弹弹体坐标系的变换矩阵

由弹体坐标系到执行坐标系的变换矩阵

式中，η=45°。

由执行坐标系到摆动喷管外框架坐标系的变换矩阵

由摆动喷管外框架坐标系到摆动喷管内框架坐标系的变换矩阵

发动机的推力P在弹体坐标系的分量可以表示为

将η=45°代入式（6）后得到

式中，Mpx1、Mpy1和Mpz1代表推力产生的力矩在弹体系3个轴上的分量；Max1、May1和Maz1代表气动力产生的力矩在弹体系3个轴上的分量。推力产生的力矩为Mpx 1=0，Mpy 1= Pz1（xR-xcm），Mpz 1=-Py 1（xR-xcm），其中，xR是摆动喷管喷嘴到导弹前部顶点的距离，xcm是质心到导弹前部顶点的距离。气动力产生的力矩表示为Max 1=Mδxxδx，May 1= Mβyβ，Maz 1=Mαzα，其中，α表示攻角，β表示侧滑角。令Mp=［Mpx 1Mpy 1Mpz1］T，Ma= ［Max1May 1Maz1］T，u=Mp+ Ma。因为Mδxx，Mβy，Mαz很难准确知道，用ΔMδxx，ΔMβy，ΔMαz表示这些量的不确定性，令F（t）=［ΔMδxxδxΔMβyβΔMαzα］T。得到如下姿态动力学方程：

式中，J∈R3×3是转动惯量矩阵且

ω×表示反对称阵，形式如下：

2　动态面自适应滑模控制器设计

总的姿态跟踪系统表示成

定义一个Lyapunov函数

对式（12）求导得

定义

把式（14）代入式（13）得

如果用反演法设计，取

导致对α1（z1，xd）求导出现“微分爆炸”。用动态面方法可解决这个问题。令

式中，P1是一个正定对角阵。把¯x2通过低通滤波器，满足

式中，τ=diag［τ1τ2τ3］是滤波器时间常数阵，τi（i=1，2，3）

用¯F表示F（t）的上界，用^F表示¯F的估计值，定义估计误差=¯F-，定义系统（17）的一个Lyapunov函数

对式（18）求导得

式中，sgn（·）表示符号函数，z2=［z21z22z23］T，

设计如下控制器：

将式（20）代入式（19）并令

可得

在式（22）中，令

然后可得

设计自适应律

把式（25）代入式（24）得

从而由式（22）得到

用τmax集合｛τ1τ2τ3｝中的最大值，从而有

由式（15）有

对式（29）求导得

由式（28）可得

用p1表示P1阵对角元素的最小值，用p2表示P2阵对角元素的最小值，可得

因此姿态闭环系统的变量在集合Θ=｛z1，z2，y2｝上半全局一致有界，通过调整p1，p2和τmax，集合Θ能够变得任意小，从而姿态跟踪误差z1能够变得任意小。

3　仿真分析

发动机的推力P=90 000 N，转动惯量Jx=70 kg·m2，Jy=3 500 kg·m2，Jz=3 500 kg·m2，Mδxx=-2 870 Nm/ rad，Mβy=Mαz=-24 305 Nm/rad，xR-xcm=2.4 m，取不确定性 ΔMδxx=0.2Mδxx，ΔMβy=0.2Mβy，ΔMαz=0.2Mαz。角度δx，δt1，δt2的饱和限制为30°。

初始欧拉角为x1（0）=［85°0-0］T，终端欧拉角为x1f=［0-45°0］T。初始角速度ωx（0）=0，ωy（0）=0，ωz（0）=0。滤波器的时间常数τi=0.01 s（i=1，2，3）。控制器参数P1=diag［115-112-114］，P2=diag［12-13-15］，Γ= diag［180-490-480］。为了降低控制器的颤动，控制器中的符号函数sgn（s）用如下的饱和函数取代：

式中，Δ叫做“边界层”。取Δ=0.02。

由于|z2i|（i=1，2，3）不能准确变成0，为了防止自适应参数一直增长，使用了下面的死区技术：

在仿真分析中，把本文提出的动态面法控制器与下面的反演法控制器；

在系统参数与控制参数都相同的条件下进行了仿真对比分析。

为了改善暂态过程，本文对欧拉角指令进行了规划，如图3所示。

图3　欧拉角跟踪指令情况

图3是欧拉角指令跟踪情况，由此图可知，动态面法控制器与反演法控制器获得类似的姿态跟踪控制效果，导弹的姿态在6 s后到达要求的姿态，由于对指令进行了规划，欧拉角变化的暂态过程很好，没有明显的超调，稳态控制误差较小。

图4是角速度变化情况，由此图可见，动态面法控制器与反演法控制器获得类似的角速度变化形式。由图4（a）可见，两种控制律作用下，都是在暂态过程初始时刻角速度ωx变化较大，在其他时刻变化平稳；由图4（b）可见，在6 s处角速度ωy变化较大，在其他时刻变化平稳；由图4（c）可见，在暂态过程初始时刻和6 s处角速度ωz变化较大，在其他时刻变化平稳。在6 s后角速度趋近于0，说明姿态角不再变化。图5是控制量变化情况，两种控制律作用下的控制量变化也类似。由图5（a）可见，副翼偏转角δx在初始时刻有较大变化，但没有接近饱和值，随后很快趋近于0；图5（b）中的摆动喷管外框架转角δt1在瞬态过程的开始或结束时刻角度较大，但没有达到饱和，在其他时刻是很小的量；图5（c）是导弹摆动喷管内框架转角δt2的变化情况，δt2也是在瞬态过程的开始或结束时刻角度较大，也没有达到饱和，而在其他时刻的值很小。图6（a）、6（b）中绘出了攻角和侧滑角变化情况，它们都在允许的范围之内，最大没有超过30°，但会产生一定的气动力矩，对摆动喷管控制系统带来干扰。

图4　角速度情况

图5　控制量

图6　攻角和侧滑角

上面的仿真结果表明，动态面控制器可以提供与反演法控制器类似的仿真结果，这就证明了提出的动态面控制器有效性和优势，因为动态面控制方法通过引入低通滤波器解决了反演法带来的“微分膨胀问题”，所设计的控制器比较简单。

4　结　论

本文针对以摆动喷管为执行机构的导弹姿态运动非线性对象，详细推导了其数学模型。应用动态面方法，设计了一种自适应滑模姿态控制律，可保证导弹姿控系统在三通道耦合和模型中气动参数不确定性的影响下，快速而平稳地完成导弹垂直发射情况下姿态转弯控制任务。

在控制律设计中，根据验前计算出来的导弹气动力参数，结合导弹当前的攻角和侧滑角在线计算气动力矩，然后在摆动喷管的控制律中加以补偿。对于由于气动参数摄动而未补偿掉的那部分气动力矩，该控制律先采用自适应律在线估计其上界，然后用滑模控制律进行抑制。

基于动态面技术设计出来的该非线性姿态控制律，不仅从理论上保证非线性姿态控制系统的鲁棒性，而且控制算法较简单，便于工程应用。

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周荻（1969-），通讯作者，男，教授，博士，主要研究方向为非线性滤波、飞行器制导与控制。

E-mail：zhoud@hit.edu.cn

Nonlinear attitude control for missile with swing nozzle

ZHOU Cheng-bao，ZHOU Di
（School of Astronautics，Harbin Institute of Technology，Harbin 150001，China）

With the swing nozzle as the actuator of the missile attitude control system，the three-channel attitude coupling control problem of the initial vertical launch of missile is investigated.A detailed attitude dynamics model of the missile with swing nozzle is established and then is combined with the attitude kinematics model denoted by Euler angles.Based on the dynamic surface control technology，a new adaptive sliding mode controller is designed under the condition of aerodynamic parameter uncertainty，and a rigorous stability proof is given using the method of Lyapunov.In order to avoid the chattering，the sign functions in the control law are replaced with saturation functions.Numerical simulation results verify the effectiveness of the proposed controller.

attitude control；dynamic surface control；sliding mode control；adaptive control；swing nozzle

V 448.22

A

10.3969/j.issn.1001-506X.2016.05.21

1001-506X（2016）05-1107-07

2015-09-28；

2016-01-13；网络优先出版日期：2016-02-22。

网络优先出版地址：http：//www.cnki.net/kcms/detail/11.2422.TN.20160222.0952.002.html

国家自然科学基金（61174203）；国家自然科学基金委创新研究群体科学基金（61021002）资助课题

周成宝（1978-），男，博士研究生，主要研究方向为飞行器制导与控制。

E-mail：zhouchengbaohlj@163.com