巧用对称性解力学题

安徽省灵璧黄湾中学 华兴恒

巧用对称性解力学题

安徽省灵璧黄湾中学 华兴恒

许多物理模型、物理现象、物理规律中都存在着和谐而优美的对称性。在解题过程中，如果我们能够巧妙而灵活地运用对称性，常常可以避免复杂的数学运算和推导过程，直接抓住问题的本质，出奇制胜，使一些复杂的问题变得简单。

一、平衡位置对称

对有关平衡位置对称的问题，应注意相关物理量在对称位置处的大小关系，并在解题过程中加以利用。

例1如图1所示，小球自A点静止自由下落，到B点时与弹簧接触，到C点时弹簧被压缩到最短，若不计弹簧的质量与空气阻力，则小球在C点的加速度a______g（选填“>”、“=”或“<”）。

解析这是一道同学们感到较为棘手的问题，因为无法定量分析小球在C点受到的弹力大小。如果我们适当转换一下思维的角度，改让小球无初速度从B点释放，设小球在BC′间做简谐振动。依据简谐振动的对称性可知，小球在B点与C′点的加速度大小相等（两个最大位移处），且均等于g。那么当小球从A处落下时，小球所能到达的最低点C低于C′点，因此小球在C点受到的弹力大于在C′点受到的弹力，所以小球在C点的加速度大于g。

二、时间变换对称

系统在时间反演变换下，即t→-t的变换下具有的不变性，称为时间反演对称，时间反演如同时光倒流，在真实世界中是不可能发生的，但可以通过一对相对的过程来模拟演示。例如，对于竖直方向的抛体运动，由于速度具有对称性，因此相应的时间也具有对称性。在解题的过程中，如果能够灵活地运用这种对称性，可以极大地简化解题过程。

例2一个人在离地H高度处以相同的速率v0同时抛出两个小球A和B，A被竖直上抛，B被竖直下抛，不考空气阻力等因素，两球落地时间差为Δt，求速率v0。

例3有三块材料相同、形状相同的长方体木块，并排固定在水平地面上，如图2所示。现有一子弹以水平速度v0射入木块中，且射入第三块后刚好没有射出来，求子弹在三块木块中运动的时间之比。（不考虑重力的影响）

解析子弹射入木块后与各个木块之间的摩擦力不变，根据牛顿第二定律可知，子弹在各个木块内的加速度也不变。由运动学知识可知，子弹在木块内做初速度不为零的匀减速运动，直到射入第三块并刚好没有射出来。由于加速度相同的匀减速运动与匀加速运动具有对称性，所以子弹在木块内的匀减速直线运动，也可以看作由第三块木块开始的初速度为零的匀加速直线运动。

例4用一轻弹簧把两块质量分别为M和m的木板连接起来，放在水平地面上，如图3所示。则必须在上板上施加多大的压力F，才能使F撤去后，上板弹起来后恰好能使下板离地？

解析本题若采用能量守恒的观点求解，将非常繁杂。考虑到简谐运动具有时间反演对称性，则可将上面的木板的运动看作弹簧振子，利用对称性求解，将会非常简捷。

假设拉力F′作用在上板上，欲使M离地，拉力F′至少为（M+m）g。根据弹簧的拉伸与压缩过程具有对称性，要产生相同的效果，作用在上板的压力F至少应为（M+m）g。

三、镜像对称

镜像对称是一种空间反演，物体在平面镜中成像时，物与像总是关于镜面对称的。某些物理问题也常具有这样的对称性。如果我们能够抓住这一特征，并对问题进行迁移或变换，常能起到化难为易的作用，达到简捷求解的目的。

例5如图4，相对的两个斜面，倾角分别为37°和53°，在顶点把两个小球A、B以同样大小的初速度分别向左、右水平抛出，小球都落在斜面上，若不计空气阻力，则A、B两小球运动的时间之比为（）。

A.1∶1B.4∶3C.16∶9D.9∶16

解析如图4所示，作出53°倾角斜面在左侧的对称面。设想A、B两球都以v0水平向左抛出，显然B球在碰到53°倾角斜面之前必定先碰到37°倾角斜面，故tA

评析这是一道典型的灵活运用镜像对称法，化不对称为对称的例子。乍一看，本题似乎并不具有对称性，但当作出53°倾角斜面的对称面后，问题的求解便变得非常明朗、清晰了。

例6如图5所示，玻璃球A离地面高度H=5 m，跟竖立钢板MN相距s=2 m。让A球以v0=5 m/s的初速度水平抛出，跟MN做弹性碰撞后落回到地面，求落地点C与MN的距离L。

解析此题采用常规解法比较烦琐，若采用镜像对称法求解则非常简捷。把MN当作“平面镜”，作出A球轨迹BC的“像”BC′，因BC′与BC关“镜面”MN对称，且碰撞中没有机械能损失，故曲线ABC′是球A做平抛运动的完整轨迹。

例7沿水平方向向一堵竖直光滑的墙壁抛出一个弹性小球A，抛出点离水平地面高为h，距墙壁的水平距离为s，小球与墙壁发生弹性碰撞后，落在水平地面上，落地点距墙壁的水平距离为2s，如图6所示。求小球抛出的初速度。

解析因小球与墙壁发生弹性碰撞，所以小球与墙壁碰撞前后入射速度与反射速度具有对称性，碰撞后小球的轨迹与无墙壁阻挡时，小球继续前进的轨迹对称，如图6中所示。故此小球的运动可以转换为平抛运动来处理，效果相当于从A′点（A点关于墙壁的对称点）抛出。

四、拓展应用

对称性的思维方法，除了可以直接应用于具有对称性的物理问题外，还可以拓展开来，应用于一些隐含着对称思想的问题。

例8质量为M的盒子放在光滑的水平面上，如图7。盒内有一质量为m的小木块（可视为质点）以速度v0从左往右运动，木块与盒子间的动摩擦因数为μ，若盒子长度为L，木块与盒壁发生多次碰撞，且碰撞时无动能损失，求木块与盒壁共能发生多少次碰撞。

解析本题涉及木块与盒壁的多次碰撞，由于盒内摩擦力的作用，盒子与木块同时有运动，题目设置的情境比较复杂，使得初次接触此类问题的同学感到难以入手。但是由于条件中有“碰撞时无动能损失”，因此可将碰撞时的盒壁当作“平面镜”，将木块与盒壁碰后的运动“反映”到其“像”上，把问题转化为一个“具有足够长的盒子，求木块在盒内的位移”问题，而这个问题就是典型的子弹射木块问题，运用动量守恒定律和动能原理便可简捷求解。

从以上几例可以看出，运用对称性分析解决问题，不仅能使问题的求解变得流畅而简捷，同时还能提高思维的创造性和深刻性，使同学们在解决问题的过程中享受到成功的喜悦，增强学习物理知识的兴趣。

同学们在学习物理知识的过程中，不仅要掌握知识，还要掌握正确的解题思想方法，提高思维的灵活性、敏捷性与创造性，加强各种思维方法的训练，这样不仅可以提升思维品质，优化思维过程，而且还可以提高思维能力。