“算法初步”学习的定位与思考

安徽省合肥中国科大附中 黄严生 高龙锦

“算法初步”学习的定位与思考

安徽省合肥中国科大附中 黄严生 高龙锦

算法思想是新课程强调的一种数学思想，算法的基本知识、方法和思想已渗透到人们的日常生活的方方面面，成为现代人理应具备的一种数学素养。算法通常是指按照一定规则解决某一类问题的明确和有限的步骤。因此，算法有三个重要特征，其一是有穷性，一个算法必须保证能在执行有限步后结束，不能是无限的；其二是明确性，算法的每一步和次序必须是明确的；其三是有效性，算法每一步都是有效的，能精确地运行。算法有三种语言，即自然语言、框图语言、程序语言。程序框图又有三种基本逻辑结构，即顺序结构、条件结构（分支结构）、循环结构。算法知识结构如下：

一、重难点解析与学习定位

本章的重点是程序框图。程序框图往往含有顺序结构、条件结构和循环结构三种基本逻辑结构，其中的难点是对循环结构的理解和应用。正确理解循环结构，首先要确定是当型循环结构还是直到型循环结构，第二要认清表示累计变量的意义，第三要确定在哪一步开始循环。

算法的程序语言，是将算法框图转化为计算机能识别和执行操作的语句，任何一种正确的算法程序，输入到计算机中，通过计算机运行就能输出结果。输入语句、输出语句和赋值语句是任何一个算法中必不可少的语句。在赋值语句中，一定要注意其格式要求，如：“＝”的右侧必须是数值表达式，左侧必须是变量，一个语句只能给一个变量赋值，变量的值始终等于最近一次赋给它的值，先前的值将被替换。在一个算法对输入的值进行判断时，就需要条件语句。若一个算法中某些步骤需要反复执行多次，就少不了循环语句。

二、算法的多元表征与案例分析

多元表征是数学一大特征，算法是解决某一类问题有限的步骤，表征算法的语言有三种，我们可以将解决问题的步骤分别用自然语言、框图语言、程序语言表征出来。我们要能实现这三种语言的相互转化。自然语言就是用文字表述一个算法；框图语言用框图及相关的连接符号表示算法，这种表示方法具有鲜明、直观的特征；程序语言是用特定（计算机能识别）的语言表示算法，用于计算机识别和运行，只要输入计算机，经过计算机运行后就能输出结果。下面结合实例来分析三种语言之间的转化。（由于顺序结构简单易懂，这里不再赘述）

1.条件结构的应用

解析求分段函数f（x）的值，首先要对自变量x的值在什么范围内进行判断，然后代入相应的解析式中进行计算。所以算法步骤可以写成：

第一步，输入一个实数x。第二步，判断x的取值范围，若x＜0，则输出x+1；否则，再判断x的取值范围，若x≤2，则输出（x-1）2；否则，输出-x+3。

程序框图：

评析例1要求设计求分段函数值的算法。虽然在函数解析式中的三个条件是并列的，但在算法中，首先判断x＜0，若是，则执行计算x+1，否则，再对x的取值进行判断，这就是基本逻辑结构中的条件结构。本题在设计算法时，先将x分为两类：一类是x＜0，另一类是x≥0；在x≥0的前提下，再对x的取值进行第二次分类，即分x≤2和x＞2两类。算法中的这种处理方法值得大家注意。程序中每执行完一个条件结构后都有必须有结束条件结构的语句“ENDIF”，因此，上面程序出现两个“ENDIF”，其中，第一个“ENDIF”是执行x≤2条件的结束语，第二个“ENDIF”是执行x＜0条件的结束语。

2.循环结构的应用

例2设计一个计算1+2+22+…+2100的值的算法，画出程序框图，并写出程序。

解析第一步，令S=1，i=1。第二步，若i≤100成立，则执行第三、第四步；否则，输出S，结束算法。第三步，S=S+2i。第四步，i=i+1，返回第二步。

程序框图：

评析上面是求数列前n项和（n=100）的一个算法，实际上，第一次计算1+2=3，第二次计算3+22=7，第三次计算7+23=15，…，第100次计算2100-1+2100。这个过程中包含重复操作的步骤，因此需要使用循环结构。上述的算法用的是当型循环结构，其特征为：在每次执行循环体前，对条件进行判断，当条件满足时，执行循环体，否则终止循环。

我们也可以用直到型循环结构设计算法，其算法如下。

解析第一步，令S=1，i=1。第二步，S=S+2i。第三步，i=i+1。第四步，若i＞100成立，则输出S，算法结束；否则，返回第二步。

评析此算法用的是直到型循环结构，其特征为：在执行一次循环体后，对条件进行判断，如果不满足条件，就继续执行循环体，直到条件满足时终止循环。注意直到型和当型循环结构的区别和联系，它们都是对循环体反复执行多次，但执行次序不同。当型循环结构先判断条件，满足条件执行循环体；而直到型循环结构先执行循环体，再判断条件，不满足条件继续执行循环体。

三、通过读图、识图、辨图加深理解

算法思想是新课程强调的一种数学思想，算法初步是新课程试验教材的新增内容。上面通过实例分析了算法的三种语言的相互转化和应用。我们常常会遇到根据算法框图识别框图所表示的具体算法，并根据算法计算出输出结果的一类试题。

例3如果执行右面的程序框图，输入N=5，则输出的数等于（）。

解析

此题若使用当型循环结构或直到型循环结构，则应做如下修改：

无独有偶，2012年高考新课标Ⅰ卷再次出现这种情况，题目如下：

如果执行右边的程序框图，输入正整数N（N≥

2）和实数a1，a2，…，an，输出A和B，则（）。

请同学们思考本题的输出结果，并自己动手修改，将其改为规范的框图。

四、感悟与提升

通过以上的算法分析我们可以知道，对于算法我们并不陌生。我们日常生活中已经使用了算法思想，只是没有系统地总结。如加法法则、乘法法则、去括号法则、对数运算法则、向量运算、必修1中“二分法求函数的零点”等都是具体的算法。正如张奠宙先生所说的“算法贯穿整个中学数学”，算法不是空洞的，而是实实在在的，每一个算法都有它的知识载体。所以，将算法的学习与相关知识联系起来，能够帮助我们体会数学的整体性，加深对所学数学知识的理解。

通过本章的学习，我们应充分认识到算法重视“算则”，更重视“算理”。算法具有程序化、机械化的特点，同时又具有抽象性、概括性和精确性的特点。对于一个具体算法而言，它非常具体，具体到某个计算公式以及计算过程，任何一个疏漏或错误都将导致算法出错。因此，算法学习是培养思维的缜密性的有效方法。