具有体液免疫反应的传染病模型稳定性分析*

田海燕，陈 富，康淑瑰

(山西大同大学数学与计算机科学学院,山西大同 037009)



具有体液免疫反应的传染病模型稳定性分析*

田海燕，陈 富，康淑瑰

(山西大同大学数学与计算机科学学院,山西大同 037009)

建立考虑潜伏感染细胞并具有体液免疫反应的传染病模型，讨论其解的非负性和有界性，得到确定模型动力学性态的基本再生数，再通过构造适当的Lyapunov泛函，并利用LaSalle不变原理证明模型无病平衡点的全局渐近稳定性.

病毒感染 全局稳定性 免疫反应 李雅普诺夫函数

0 引言

近年来，越来越多的学者利用数学模型分析宿主细胞和病毒之间的相互作用， 研究过的病毒有人类免疫缺陷病毒(HIV),乙肝病毒(HBV) ，丙肝病毒(HCV),SEIR传染病毒等[1-7].为了描述易感染细胞，感染细胞以及乙肝病毒颗粒之间的关系，建立了如下基本的病毒动力学模型：

(1)

然而要建立更精确的病毒感染数学模型，必须考虑免疫反应.免疫系统中对病毒感染有影响的两个主要反应是细胞免疫和体液免疫.细胞免疫中细胞毒性T淋巴细胞在病毒防御中起着关键的作用， 因为细胞毒性T淋巴细胞可以攻击并杀死被感染细胞.而体液免疫是基于B细胞产生的抗体攻击并杀死被感染细胞.在一些病毒感染中，比如疟疾，细胞免疫比体液免疫的效果差[8-10].Muras等[9]已经建立了体液免疫的基本动力学模型：

(2)

其中x,y,v分别表示易感染细胞，受感染细胞以及游离病毒颗粒的数量，z表示B细胞的数量.未感染细胞以常速率λ产生，死亡速率dx，细胞被感染的速率为βxv，受感染的细胞死亡率为by.游离病毒颗粒从受感染的细胞中产生的速率为ky，死亡率为uv，同时被抗体作用移除体内的速率为rzv.B细胞被激活的速率为gzv，死亡率为μz.所有系数为正.

(3)

其中γ和α是正常数，w和y分别表示潜伏的感染细胞和活动性感染细胞的浓度.潜伏感染细胞死亡的速率ew， 转化为活动性感染细胞的速率δw.1-q和q(0

1 模型基本性质

系统(3)的所有解都非负有界.解的非负性从生物学意义上讲显然成立，只需证明其有界性.

定理1 系统(3)的所有解x(t),w(t),y(t),v(t),z(t)都是非负且有界的，即存在Mi>0,i=1,2,3使得0≤x(t),w(t),y(t)≤M1，0≤v(t)≤M2，0≤z(t)≤M3成立.

证明 设X1(t)=x(t)+w(t)+y(t)，则有

所以0≤x(t),w(t),y(t)≤M1.

2 模型无病平衡点的稳定性

证明 构造Lyapunov函数：

结合系统(3)有

(4)

3 结论

本文讨论了一类考虑潜伏感染细胞的具有体液免疫反应的传染病模型，该模型描述了未受感染的靶细胞，潜伏感染的细胞，活动性感染的细胞，自由的病毒颗粒与B细胞之间的相互作用.利用Lyapunov函数和LaSalle不变原理，证明了当基本再生数R0≤1时，模型无病平衡点全局渐近稳定.

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(责任编辑：尹 闯)

Stability Analysis of an Infection Model with Humoral Immunity

TIAN Haiyan,CHEN Fu,KANG Shugui

(School of Mathematics and Computer Science,Datong University,Datong,Shanxi,037009,China)

In this paper,we built a virus dynamics model with humoral immune response including latently infected cells,and then discussed the nonnegativity and boundedness of the solution.The basic reproduction number was obtained,which determined the dynamical behaviors of the infection model.By constructing suitable Lyapunov functions and applying LaSalle’s invariance principle we proved that the infection-free equilibrium was globally asymptotically stable.

virus infection,global stability,immune response,Lyapunov function

2016-03-20

田海燕(1984-), 女,助教,主要从事微分方程定性理论研究,E-mail:tianhaiyan668@163.com。

*国家青年科学基金项目(11301312),山西大同大学青年科学基金项目(2014Q10)和山西大同大学青年科学基金(2015K5)资助。

网络优先数字出版时间：2016-09-13 【DOI】10.13656/j.cnki.gxkx.20160913.006

http://www.cnki.net/kcms/detail/45.1206.G3.20160913.0948.012.html

O175

A

1005-9164(2016)04-0378-03

广西科学Guangxi Sciences 2016,23(4):378～380