基于熵和风险态度的二型模糊多属性决策方法

王翠翠　姚登宝　李宝萍

摘要：

针对属性权重信息完全未知的二型模糊多属性决策问题，提出了一种基于二型模糊熵和决策者风险态度的决策方法。首先，为了准确测度二型模糊集（T2FS）的不确定性，通过引入模糊因子和犹豫因子建立了二型模糊熵的公理化准则，并基于距离测度给出了对应的计算公式。其次，为了减少整体不确定信息对决策结果的影响，结合二型模糊熵构建非线性规划模型来确定属性权重。同时，将决策者的风险态度引入二型模糊信息的得分函数中并给出具体的决策步骤。最后，通过实例分析验证了该决策方法的可行性，并与现有文献对比发现该决策方法更具有灵活性。

关键词：

二型模糊集；二型模糊熵；风险态度；得分函数；多属性决策

中图分类号：

TP18

文献标志码：A

Abstract：

In order to deal with the type2 fuzzy decisionmaking problem that the attribute weights are unknown， a decisionmaking method based on type2 fuzzy entropy and decisionmakers risk attitude was proposed. Firstly， the axiomatic principles of type2 fuzzy entropy were constructed by introducing fuzzy factor and hesitancy factor to measure the uncertainty of Type2 Fuzzy Set （T2FS）， and some formulas were also given based on different distance measures. Secondly， in order to decrease effects of decision results caused by uncertain information， a nonlinear programming model combined with type2 fuzzy entropy was constructed to determine the attribute weights. Meanwhile， a score function was proposed by considering decisionmakers risk attitude and the specific decisionmaking processes were also given. Finally， the feasibility of the proposed method was verified through an example analysis，and the flexibility of the proposed method was also been reflected by comparing with existed references.

英文關键词Key words：

Type2 Fuzzy Set （T2FS）； type2 fuzzy entropy； risk attitude； score function； multiple attribute decisionmaking

0引言

随着互联网、大数据等新信息技术的发展和应用，数据信息日益呈现出模糊性、复杂性、犹豫性等不确定特征，传统数学工具已难以对其进行精确刻画。1965年Zadeh[1] 提出模糊集理论，成为描述不确定问题的重要工具之一。随后，众多学者将模糊集理论不断拓展，逐渐建立了包含直觉模糊集[2]、区间直觉模糊集[3] 和犹豫模糊集[4] 等模糊系统理论。在模糊理论演变过程中最难理解的便是二型模糊理论[5]，它将经典模糊集中的隶属度再次进行模糊化，整个隶属度函数由主、次隶属度联合表示，从而能够更加清晰和准确地刻画客观事物的不确定性本质。二型模糊理论在建立伊始并未得到学术界的普遍关注，直到近几年，该理论才开始不断地应用于故障诊断[6]、资源管理[7]、词计算[8] 等领域。很多学者的研究不断丰富了二型模糊集的理论基础，如文献[9]通过构建二型模糊集的表示定理使得分析其不确定信息变得更加便捷，文献[10]给出了二型模糊集的一些集成算子，文献[11]对近年来二型模糊理论的发展进行了总结。

实际中，信息的不确定性常常代表风险、成本等负面因素，如何量化客观事物的不确定信息成为学术界研究的重要课题。为了测度模糊信息的不确定性，Zadeh[12] 首次提出了模糊熵的概念，从此便成为了量化不确定信息的主要方法。为了拓广模糊熵的应用范围，该概念被引入到了模糊集的其他拓展理论中，如直觉模糊熵[13-15]、犹豫模糊熵[16-17]等。但是目前只有少部分学者开始研究二型模糊集的不确定测度问题，虽然文献[18-21]给出了一些构造二型模糊集的模糊熵公理，但都过分关注次隶属度的模糊性而忽略了主隶属度的模糊性和主、次隶属度之间的交叉影响，也未考虑主隶属度分布的分散性所产生的不确定信息。通过深入分析二型模糊集的内部结构发现，二型模糊信息的不确定性主要由两部分构成：模糊性和犹豫性，前者主要取决于主、次隶属度的模糊性，而后者基本上由主隶属度分布的分散程度所决定。因此，本文通过引入模糊因子和犹豫因子，克服了现有文献的不足，进一步完善了二型模糊熵的公理化准则，并根据距离测度与二型模糊熵的内在联系，给出了一些二型模糊熵的具体计算公式。

目前，大多数学者都以区间值二型模糊信息为数据环境，建立了一系列的多属性决策方法，如文献[22]针对机器人选择问题提出一类多属性决策方法，文献[23]将TOPSIS方法引入区间值二型模糊决策问题，文献[24]通过利用综合排序值方法解决区间值二型模糊信息的群决策问题。这些文献一方面缺乏对一般二型模糊信息的决策问题进行深入探讨，另一方面所建立的决策方法大多依赖于集成算子，没有考虑决策者的风险态度因素。文献[25]虽然讨论了二型模糊的决策方法，但其属性权重确定方法有些粗糙，且没有考虑决策者的风险态度问题。因此，本文针对属性权重信息完全未知的二型模糊信息决策问题，基于二型模糊熵构建非线性规划模型求解属性权重公式，并结合决策者的风险态度提出一类新的得分函数，从而建立一套系统完整的二型模糊多属性决策方法，并通过反舰导弹武器系统的方案选择问题验证了该决策方法的有效性和可行性。

2二型模糊熵

自從模糊集理论提出以后，对其不确定信息的度量成为理论界研究的基础性问题之一，为此，Zadah将信息论中的“熵”的概念引入模糊集中，作为度量其模糊性的一种重要工具。随后，模糊熵又被推广到直觉模糊集和犹豫模糊集等理论中，用以量化其不确定信息。文献[18-20]在二型模糊集中引入了二型模糊熵，但他们只考虑了次隶属度的模糊性而忽略了主隶属度的模糊性，同时也没有考虑因主隶属度的分散性所引发的不确定性。为了克服这些不足，需要重新分析二型模糊集中产生不确定性信息的内在因素，由此提出一个构造二型模糊熵的公理化准则。

2.1不确定性因子

只有深刻理解二型模糊集的不确定性才能建立一个合理有效的二型模糊熵。通过分析发现二型模糊集的不确定性主要由其模糊性和犹豫性两方面组成，其中模糊性又可以分为主隶属度的模糊性和次隶属度的模糊性，主隶属度的模糊性可以用主隶属度与1/2的加权平均接近程度来测度，而次隶属度的模糊性则可以用次隶属度与1/2的算术平均接近程度来描述；二型模糊集的犹豫性主要体现在主隶属度的分散性方面，可以用其平均离散程度来刻画。为了量化二型模糊集的模糊性和犹豫性，这里参考文献[15]的方法，引入模糊因子和犹豫因子。

不失一般性，这里先考虑单元素论域，即X={x}。对任意的A∈T2FS（X），不妨记ΔA（x）和σA（x）分别为A的模糊因子和犹豫因子，并分别用来刻画A的模糊性和犹豫性的强弱。ΔA（x）和σA（x）可按照以下公式计算：

通过与文献[25]对比发现，上述决策方法主要具有两个优点：第一，属性权重的确定方法更加客观和精细，更符合具体问题具体分析的原则；第二，文献[26]的得分函数只是上述风险态度参数θ=0的情形，实际上本文决策方法考虑了决策者的风险态度，决策过程更具灵活性。虽然文献[22-24]的决策方法不适用于一般形式的二型模糊信息环境，但从决策思想上来说，上述决策方法突破了这些文献利用集成算子进行信息融合的分析框架，而是通过得分函数将复杂的二型模糊信息转换为简单的单值实数信息，从而避免了集成算子的不同选取对决策结果的影响。

4结语

本文将二型模糊信息的不确定性分解为模糊性和犹豫性两类，通过引入模糊因子和犹豫因子构建二型模糊熵的公理化准则，并结合熵测度与距离测度之间的内在联系，给出了三类二型模糊熵的计算公式。为了减少各属性不确定信息对决策结果的不利影响，针对属性权重信息完全未知的情形，利用二型模糊熵建立非线性规划模型，从而确定属性权重的计算公式。考虑到决策者的风险态度会对决策结果产生影响，通过设置不同的风险态度参数值将其区分为风险偏好型、风险中性和风险厌恶型三类，并提出了一类新的得分函数。最后，通过将所构建的二型模糊多属性决策方法应用于反舰导弹武器系统的方案选择问题中，从而验证了该决策方法的可行性，并与现有文献进行了对比分析以体现其灵活性。

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