基于控制点插值的扭曲叶片顶端磨损曲面延拓算法

吴海东

（广东轻工职业技术学院 汽车系，广东 广州　510300）

基于控制点插值的扭曲叶片顶端磨损曲面延拓算法

吴海东

（广东轻工职业技术学院 汽车系，广东 广州510300）

针对扭曲叶片顶端磨损区域的曲面精密修复问题，提出一种扭曲叶片顶端磨损域曲面延拓算法。

扭曲叶片；曲面延拓；基函数极值参数化

1　问题描述

扭曲叶片的顶端部分容易断裂或者磨损，文章针对扭曲叶片顶端磨损缺陷进行分析。由于只需延拓叶片纵向叶高方向，为简化问题，故对于任一叶高纵向方向，可定义B样条曲线：

其中，p为曲线次数，Ni，p（u）由节点矢量u∈［u0，L，up，up+1，L，un，un+1，L，un+p+1］所确定的B样条曲线基函数，且u0=L up=0，un+1=L un+p+1=1；曲线控制点为；j为任意一条叶高纵向B样条曲线，且j∈（0，1，2，Λ，m）。给定的控制点为扭曲叶片下端叶身部分的四层控制点，；未知控制点是需要延拓计算的叶片顶端磨损域的控制点，为

2　算法实现

（1）根据扭曲叶片的磨损程度确定延拓长度L。当顶端磨损时，考虑到扭曲叶片的制造精度要求高，将邻近叶片顶端磨损域的叶片未磨损区域的纵向高度选取为3～5mm，并将延拓的纵向高度L暂定为1mm，为避免选取纵向距离过大引起的误差。

（2）确定各纵向控制点的节点矢量。为保证延拓精度，首先要保证纵向控制点一一对应，在此基础上通过哈德利——贾德方法计算各纵向控制点的节点适量。考虑延拓距离情况下的各纵向节点矢量的节点值，其中u0=u1=u2=u3=0，u5=u6=u7=u8=1；而u4由控制点多边形的弦长lt（t=1，2，3）以及确定的延拓长度L来计算，即：

（4）用m条纵向曲线Dj（j=0，1，Λ，m）分别拟合控制顶点Pj

i。曲线Dj（j=0，1，Λ，m）所采用的模型为包含4个控制顶点的B样条曲线，次数为P=3，并记其中某一个曲线Dj（j=0，1，Λ，m）的基函数为，将计算得出的u=（j=0，1，2， Λ，m；i=0，1，2，3）作为控制顶点的参数值，列出线性方程组求解曲线Dj（j=0，1，Λ，m）的控制顶点，即：

（5）根据求得的曲线Dj（j=0，1，Λ，m）的控制点，可以得到式（1）所示的三次B样条曲线中某一条曲线的参数方程。将扭曲叶片顶端未知控制点的极值参数值uj4代入式（1），即可求得曲线D（jj=0，1，Λ，m）的未知型值点，即要得到的扭曲叶片顶端的控制点。

3　实例验证

（1）按曲率半径选取测量点延拓结果。为精确拟合叶片下端非磨损区域，在选取测量点时根据叶片截面线的曲率来进行。测量点个数分别为85、85、86、86。由此求得叶片叶身四层控制点如图1所示。

图1　叶身四层控制点（左）

图2　叶片最上层延拓曲线（右）

图3　延拓得到的顶端最上层控制点图（左）

图4　叶片顶端曲线局部放大图（右）

图5　扭曲叶片纵向B-spline曲线图（左）

图6　纵向B-spline曲线局部放大图（右）

图2中下方四条曲线为叶身四层控制点拟合得到的叶片截面曲线，最上层的红色曲线是由延拓得到的叶片顶端控制点拟合得到。由图4可以看到，图3圈出来的部分出现了图形线条交叉，其原因是因为延拓控制点由叶片叶身控制点决定的，这四层控制点是先将四层数据点进行分段和排序，满足一一对应条件后再进行迭代，从而导致纵向B-spline曲线发生扭曲。如图5所示为各纵向B-spline曲线，可以看到图中圈出的部分纵向B-spline曲线延拓到顶端时发生了交叉（放大图如图6所示）。

（2）按等参数法重选取初始测量点延拓结果。由于按曲率选取数据点延拓得到的叶片顶端曲线会出现交叉，故在选取原始测量点时按等参数法选取。令各截面线的初始数据点个数相等均为150，得到的延拓结果如图7所示。图8中下方四条曲线为叶身四层控制点拟合得到的叶片截面曲线，上方的一条曲线是由延拓后得到的叶片顶端控制点拟合得到。由图8、图9和图10可以看到，延拓得到的叶片顶端控制点拟合的B-spline曲线并没有出现图4中的交叉现象。

图7　等参数选取测量点得到的叶片叶身控制点图（左）

图8　叶片顶端截面线图（右）

图9　叶片顶端截面线控制点图（左）

图10　控制点纵向延伸图（右）

图11　误差分析结果图（左）

图12　叶片两端误差显示放大效果图（右）

为了更好地验证叶片延拓的效果，需要将延拓得到的曲线与原始叶片进行误差对比，但由于延拓得到的叶片顶端控制点并不是在同一个平面上，每个控制点的Z坐标值都有细微的差别，故将所有的控制点都投影到了Z坐标值为所有点Z坐标值的平均值的平面上，在此平面上进行B样条曲线拟合的到一条新的叶片截面曲线，再将此截面曲线原始的叶片截面曲线进行了误差分析，误差最大值为0.0994mm，主要集中在叶片的前缘和后缘。结果表明，最大误差产生于叶片截面曲率变化较大的地方。

4　延拓结果分析

为进一步分析算法的实用性，分别对不同类型的扭曲叶片进行的延拓验证，其中包括直叶片、扭曲度大的扭曲叶片和扭曲度小的扭曲叶片。

首先，分别在这三种叶片邻近叶片顶端磨损区域选取间距相等且都为1mm的四层原始数据点进行验证，延拓长度均取为1mm，这样得到的误差结果如表1所示。

表1　不同类型叶片延拓误差比较

对比实验中，对同一个扭曲叶片模型取同一组数据，但延拓长度不同，其结果如表2（左）所示，延拓距离越大，误差越大。对同一个扭曲叶片模型，分别取间距不同的原始截面线，相同的延拓距离进行验证，得到的结果如表2（右）所示，原始截面线间距越大，延拓误差越大。

表2　同一个扭曲叶片延拓和原始截面线误差结果

由上述几组对比数据的验证，可以得出如下结论：①由于叶片在使用过程产生扭曲变形，叶片一旦产生磨损，客观上没有可供对比的几何模型，因此这类叶片的修复必须重新构建其曲面模型，在叶片磨损域进行激光熔覆或材料堆焊后，用于精密生成器数控加工路径；②叶片的扭曲度越大，延拓误差越大；③延拓距离越大，延拓误差越大；④所选取的叶片顶端邻近的未磨损域的截面线上测量数据点的间距越大，延拓误差越大，甚至不能完成磨损域的曲面再生。⑤所选取的叶片未磨损域的截面线间的间距越大，延拓误差越大。

5　结语

文章提出了一种基于控制点插值的扭曲叶片顶端磨损域曲面延拓再生算法，算法中利用扭曲叶片未磨损域的曲面模型，采用B样条曲线基函数极值参数化方法再生叶片顶端磨损域的曲面模型。最后用三种扭曲叶片验证算法的可行性和有效性，并分析延拓误差产生的原因。

［1］Yilmaz，O.，Noble D.，Gindy，N.，and Gao J.，2005，A Study of Turbomachinery Component Machining and Repairing Methodologies，International Journal Aircraft Engineering and Aerospace Technology 77/6：455-466.

［2］B，Stimper，and Munich，Using Laser Power Cladding to Build Up Worn Compressor Bladetips，http：//www.mtu.de/en/technologies/engineering_news/production/11766.pdf.

W ear Surface Continuation Algorithm Based on Control Point Interpolation of Tw isted Blade

WU Hai-dong
（Guangdong Light Industry Vocational and Technical College，Guangzhou，Guangdong 510300，China）

This paper puts forward wear surface continuation algorithm to solve the problem of precision fixation at twisted blade wear area at the top of the curved surface.

twisted turbine blade；curved surface extension；extremum parametrization of primary function

V232.4

A

2095-980X（2016）09-0034-02

2016-08-06

本文系国家自然科学基金项目（No.51175093）、广东省重大科技项目（No.2010A080401003）和广东省自然科学基金项目（No.2015A030310383）的资助。

吴海东（1969-），男，湖北蕲春人，博士，工程师，主要研究方向：复杂曲面修复。