用核心问题培育小学生数学核心素养——以《谁围出的面积最大》教学为例

潘小明 吕传汉

（1.上海宝山区教师进修学院， 上海 201900；2.贵州师范大学， 贵州 贵阳 550001）

用核心问题培育小学生数学核心素养
——以《谁围出的面积最大》教学为例

潘小明1吕传汉2

（1.上海宝山区教师进修学院， 上海 201900；2.贵州师范大学， 贵州 贵阳 550001）

20根火柴在课桌上拼摆出不同的长方形，“周长长的长方形面积就大”，用这一课时核心问题引导学生探究、讨论、辩析，得出长、宽相等的正方形时面积最大。让学生在探究、辩析的学习过程中，初步获得观察、比较、归纳、猜想和反例验证等数学推理的核心素养体验和感悟。

数学；核心问题；核心素养

一、问题的提出

教学内容是上教版三年级数学第二学期的“谁围出的面积最大”（下图）。

经常地，教师先让学生用20根火柴在课桌上拼摆出不同的长方形；再呈现围成的长方形让学生比较其面积的大小；然后引导学生整理数据，观察、发现“周长相等的长方形，长与宽越接近面积就越大，长与宽相等时面积就最大”的知识规律；最后进行巩固练习。

如果我是学生，我就会想：为什么要让我用20根火柴去围长方形？为什么要比谁围出的面积最大？为什么要把数据进行整理？知道了这个知识规律有什么用……其实，教什么、为什么教和怎么教，教师自然是非常清楚的。而学什么、为什么学、怎么学，学生是茫然的。试想，这样的课堂上，学生的学习会处于怎样的状态？在这样的状态中，学生除了获得知识结论还得到哪些方面的发展？

面对知识呈几何级数增长的复杂多变的社会，基础教育重在培养学生适应终身发展和社会发展所需要的必备品格和关键能力，即核心素养。我以为核心素养是一个有层级的结构体系，小学数学教育就要注重培育小学生的数学核心素养。数学教师应为培育数学核心素养精心设计并上好每一节数学课。然而，数学课堂教学怎样培育数学核心素养？

二、课堂教学的实践

不同于往常的教学，课一开始，教师出示：有两根绳子，一根长20厘米，另一根长18厘米，哪根绳子围出的长方形面积大？

几乎所有学生迅速地回答“是20厘米的那根”。理由是：用20厘米长的绳子围出的长方形周长长，周长长的长方形面积就大。

这是教师基于学情创设的情境，让学生头脑中潜在的“周长长的长方形面积就大”这一想法显现了出来。之后，教师该怎么办？

教师可以告诉学生：其实，“周长长的长方形面积就大”这结论是错误的。譬如，用20厘米长的绳子围一个长9厘米、宽1厘米的长方形，它的面积是9平方厘米；而用18长厘米的围一个长7厘米、宽2厘米的长方形，它的面积是14平方厘米。周长长的长方形，它的面积反而小了。想必，学生是能理解的。然而，教师并没有这样教学，而是——

师：同学们，如果“周长长的长方形面积就大”这话是正确的，那么“20厘米那根绳子围出的长方形面积大”这个结论肯定是正确的。可是，“周长长的长方形面积就大”这话是否正确，你们有没有验证过呢？

“没有”，学生摇摇头。

师：没有验证，就把它当作正确的去运用，那是有风险的呀！你们想进行验证吗？

数学思维是非常严谨的，数学结论的得出必须有充分的依据。学生感觉到进行验证的必要。

师：怎样进行验证呢？

生：用两根绳子分别围一个长方形，看周长20厘米的长方形的面积是不是真的大。

学生各自举例验证，得：

第一种：这话是对的。理由是：

第二种：这话是错的。理由是：

随之有学生提出了第三种意见：半对半错。竟然得到大多数学生的赞同。

举到正例就认为是对的、举到反例就认为是错的、正反例子都举到了就认为是半对半错，这就是大多数学生进行的举例验证，它真实地反映学生现有的思维水平。如何让学生学会举例验证、以提升数学思维水平？

教师请前排的8个同学（5男3女）都站起来，让全班学生判断——

师：站起来的同学都是男同学。这话对吗？

学生异口同声地：“错！”

师（指着其中一位男生）：“别急！我能举例验证。他是男同学吗？所以，这话是正确的。”

完后，有煞有介事地指着另一个男同学……还没等教师把话说完，学生情不自禁地：“错！错！里面还有女同学哩！”

师：（装作让步）那就说，“站起来的同学都是男同学”这话是半对半错，你们同意吗？”

学生纷纷表示反对。

师：这又是为什么呀？

生1：因为其中有3个是女同学呢！

生2：别说有3个，哪怕只有1个女生，“站起来的都是男同学”这话就彻底错了！

师：有道理！那你们现在还认为“周长长的长方形面积就大”这话是半对半错吗？对前面的举例验证有什么想法吗？

学生终于发现：周长长的长方形面积不一定大。过程中，尤其说是在对结论进行举例验证，还不如说是在让学生学习怎样进行举例验证。因为它让学生感悟到：全部例子都是正例，才能说这结论是正确的；只要举出一个反例，足以说明这结论是错误的。举例验证时，应该关注有没有反例。

课堂上一个常有的现象是：问题一旦被解决，思维随之而停滞。怎样让学生展开深度思维？

师：人们往往会认为“周长长的长方形面积就大”，可事实并不是这样的。对此，你还有问题吗？

生：为什么周长长的长方形面积不一定大呢？

师：对呀，是什么原因造成的呢？

生1：是因为围成的长方形的形状不同。

生2：因为长方形的长宽变了。

师：长宽变了，长方形面积也随之发生变化。这种变化有没有规律呢？如果有，用什么方法才能找出呢？

“可以多举些例子看看。” 学生以周长20厘米的长方形为例，纷纷举例，寻找着规律：

8×2＝16；7×3＝21；9×1＝9；6×4＝24；5× 5＝25。

师：虽然我们列举出很多例子，但这样放着很难发现有没有规律。该怎么办呢？

生：进行整理。

师生一起进行整理，得：

学生观察整理后的数据，较快地发现：长与宽越接近，面积就越大；长与宽相等，面积最大。体会到经过整理后的数据，很容易发现其中的规律。

师：你能确定最大面积是25平方厘米吗？

就在学生为自己探究发现感到欣喜的时候，教师的追问，让许多学生感到意外：难道还会有比围成正方形更大的面积吗？片刻后，学生向教师发起了挑战：请围出面积更大的给我们看看！

在同学们的坚持下，教师借助课件进行动态演示，将数据填入表中：

观察思考，不仅围成正方形时面积最大的结论得到证实，而且数学的函数思想与最大值被学生所感受。

最后，教师出示：用长26米的木栅栏围一个花圃。如果让你围，你将怎么围？为什么？

学生自然运用所学的知识，要围出面积最大的花圃。有的学生围长7米、宽6米的长方形花圃；另有学生提出质疑：既然要围面积最大的花圃，那就应该围成边长6.5米的正方形，并利用计算器算得最大面积是42.25平方米。由于题中没有规定边的长度必须是整米数，这个答案得到同学们的认同。

师：题中没有规定边的长度必须是整米数，当然围成正方形时，花圃的面积最大！这是真的吗？

生1：刚才都已经验证过了，围成正方形时面积最大。

生2：好像是有问题，周长相等的长方形中，正方形的面积最大。但现在没有说用26米的木栅栏围成长方形的花圃呀！

生3：那还能围成怎样的图形，它的面积会比正方形的还要大？

……带着问题，学生走出了教室。

三、实践体会与思考

怎样培育学生的数学核心素养？做法是：用核心问题引领探究学习，培育学生数学核心素养。

1.什么是核心问题？

就本节课而言，“周长长的长方形面积就大？”是个核心问题。

说它是核心问题，是因为：

其一，这是学生在“20厘米、18厘米两根绳子，哪根围成的长方形的面积大”的问题情境中，凭借经验和直觉得出的结论，这个结论是错误的，是学生普遍存在的真问题；

其二，该真问题的探究又引发生成了系列的问题，从而推进课堂教学进程和思维的深入；

其三，因为通过系列问题的探究，学生不仅纠正原先的错误想法，发现“周长相等的长方形，长与宽越接近，面积就越大；长与宽相等时，面积最大”的知识规律，而且数学核心素养得到培育。

因此，课时核心问题可以界定为：基于课时核心知识和学生认知水平、关注核心素养培育、统领课堂教学的情境性问题。

这里，需要说明的是：核心知识是指数学课时的基本概念、基本性质、运算定律、计算法则、计算公式等重点内容。认知水平主要是学生已有的知识经验及从情境信息中发现问题和面对问题可能产生的种种想法，特别是那些片面的、错误的想法。引领课堂教学是指由核心问题的探究而生成系列问题，以此推进课堂进程和思维的深入。情境性则是指核心问题来自于具体的情境，因为情境中的问题更能引起兴趣、激活已知、激发探究。数学核心素养则是课堂教学追求的最重要目标。

2.什么是数学核心素养？

同样以本节课来说，觉得下面这些应该是数学素养：

学生经过对“周长长的长方形面积就大”的探究、辩析，对先前的想法进行自我否定，发现了“周长长的长方形面积不一定大”以及“周长相等的长方形，当长与宽越接近时，面积就越大；长与宽相等时，面积就最大”的知识规律，并能运用此知识规律，去解决生活中“围出面积最大的花圃”的简单实际问题。

学生经过对“周长长的长方形面积就大”的探究，学生感悟到：

举例验证时不能举到一、二个正例就下结论认为是正确的，只有举完所有例子且都是正例，才能说明这个结论是正确的；而能够举出反例、只要有一个反例就足以说明这话是错误的，数学上不存在半对半错。在举例验证时既要举正例，同时又要思考有没有反例。学生对举例验证的方法以及进行数学的推理有了体验和感悟。

又如，在对“周长相等的长方形，它们的面积为什么会有大有小”的探究中，学生感悟到：先要进行相关因素的分析（即：周长是个常量，长、宽和面积是变量。）；再要收集相关的数据信息并对此进行整理；然后对数据信息进行观察、比较、归纳和猜想，并进一步验证；最后揭示知识规律。

学生经过对“周长长的长方形面积就大”的探究，数学思维得到锻炼：

数学思维是非常严谨的，不能仅凭直觉和经验就说“周长长的长方形面积就大”，数学结论的得出必须有充分的依据，应该对猜想进行验证；数学推理是非常严密的，不能举到了正例就马上下结论，应该思考有没有反例，只有全部例子都是正例才能下结论说是正确的；数学思维是非常深刻的，“周长相等的长方形，面积有大有小是什么原因造成的？会不会出现比正方形面积更大的？”“如果不限于长方形，周长相等的图形中，正方形的面积还会是最大的吗？”学生从中感受思维深入的魅力，数学思维能力得到提高。

学生经过对“周长长的长方形面积就大”的探究，学生感受到数学很实用，同样长的木栅栏能围出面积大小不同的花圃；数学的思考问题是很理性，结论的得出必须有充分的事实依据或严密的推理；数学的方法是很科学的，而运用科学方法自主探究所获得的成功更激发学生对数学的积极情感。学生的数学意识、数学情感和数学精神得到了培育。

我们认为，数学核心素养是指学生在自主学习过程中，所获得的对数学知识本质的理解和掌握，所感悟的数学思想方法和探究策略，所习得到的数学思维方式、品质和习惯，所生成的积极的情感态度和价值观，所产生的实事求是、敢于质疑、敢于实践、敢于创新的数学的理性精神。

理解“核心问题”、“核心素养”等概念的含义有必要但并不困难，如何用核心问题去培育核心素养？这是教师实战课堂所面临的真问题。

3.用核心问题去培育核心素养

（1）教师要精心设计数学核心问题生成的问题情境

本节课之所以设计了“用29厘米和18厘米的两根绳子，哪个围成的长方形的面积大？”这一问题情境，因为它能让学生头脑中潜在的“周长长的长方形面积就大”的想法显现出来，学生认为是理所当然的结论竟然会“存在着风险”，这就让学生产生认知冲突，从而激发学生探究知识的热情并积极主动地投入其中。当学习的内容和过程能够调动学生学习情感的时候，这种学习过程就不仅仅是认知的过程，更是一个情感共鸣的过程。它让知识内容与学生的学习生活、同他的经验、同他的情感、同他的生命，有了连接之桥，数学课堂才能成为学生生命成长的历程。问题情境呈现的形态可以多种多样，但好的问题情境有其共同特点，那就是：激活已知，产生心向，激发创造。然而，创设好的问题情境，实属不易！它来自于教师对教材的深度发掘所制定的教学目标；来自于教师对班级不同学生认知特点的充分了解；来自于教师让学生先行的课堂教学活动；来自于教师对学生想法的倾听、敏感和捕捉；来自于教师教学实践、反思所生成的教学智慧。

（2）让学生真正自主地进行探究学习

所说的“真正自主学习”，具体来说，就是：

情境中的问题，尽可能由学生发现并提出。其实，像课中“周长长的长方形面积就大”这一问题，可以由教师直接提出，但我却设计了“20厘米与18厘米两根绳子，哪根围出的长方形面积大”的情境，让学生暴露自己的真实想法，从中发现并提出。为何？因为我认为，从探究问题的答案考虑，两者并无太大的差别。但从学生主体性发展的角度思考，其效果就不一样了。

让每个学生能在已有知识经验基础上进行独立思考、尝试探索，形成自己对问题的想法。因为知识是自己建构的（思维是他人所不能替代的），而建构的不仅是数学知识，更是人的主体品质。另外，由于学生个体间的差异，因此，面对同样的问题，他们的思维路径、思考方法以及问题的答案等，也会呈现多样性、差异性。就像课中对“周长长的长方形面积就大”的举例验证以及“怎样寻找面积与长宽之间的变化规律”等，学生中的想法是丰富多样的，这就为生生间的有效互动创造了条件。教师一定要给学生充分的时间以独立思考，要耐得住寂寞，要学会等待。

（3）让学生充分展示思维过程，结构化地推进课堂学习

由于班级学生间的差异，他们的思维往往是点状的、碎片化的、不系其统的，而数学知识是有系统的知识结构，学生的认知也是有其规律的，因此课堂教学必须遵循知识逻辑体系和学生认知规律，这就需要教师让学生充分展示思维过程、产生思维碰撞、生成问题链、展开深度思维。像课中，“周长长的长方形面积就大？”——“怎样进行验证？”——“举到了正例就能证明这话是正确的吗”——“周长长的长方形面积不一定大，这是问什么？”——“长方形面积大小的变化由什么有关，用什么方法寻找变化规律？”等，以此推进课堂探究学习。

让学生经常地“会回头，看看走过的路”，即引导学生关注自己的思维过程，反思探究活动的本身。“纸上得来总觉浅，绝知此事要躬行。”这就需要学生亲身参与探究活动。但我觉得仅有探究还是不够的，而“心中悟出始知深”。譬如，课中学生进行举例验证后，教师可以这样引导学生思考：刚才你在做一件什么事？你是怎么做的？你觉得做得怎么样？让学生将探究活动本身作为思考的对象，经常地让学生对自己的思考进行再思考，会更好地促进学生的自主发展。

用核心问题培育数学核心素养，只是教学实践的体会，还有待深入地实践、研究。

责任编辑：王美娜

Cultivating mathematics core literacy of primary school students through the core problem——Take“Who has the largest area of graphics”as an example

PAN Xiao-ming1LU Chuan-han2
（1.Teacher Education College of Baoshan District,shanghai 201900,China；2.School of Mathematics and Computer Science,Guizhou Normal University,Guiyang Guizhou 550001，China）

Different rectangles can be made with 20 pieces of match on the desk.Is the area larger if its perimeter is larger?The students are guided to explore,discuss and discriminate based on this core problem in the class，then they find that the square with equal length and width has the largest area.The students are able to acquire the core literacy experience and inspiration in the process of mathematical exploring and reasoning,such as observing,comparing,inducing,conjecturing and verifying with the counterexample such as,etc.

mathematics;core problem;core literacy

1009—0673（2016）03—0099—05

G623.5

A

2016—04—20

潘小明（1960— ），男，上海市宝山区教师进修学院小学数学特级教师，主要从事小学数学课学生自主探究学习研究。