例谈数学《新课程标准（2011版）》中结果目标行为动词的目标达成的实施步骤

贺清伦

【中图分类号】G63.23 【文献标识码】A 【文章编号】2095-3089（2016）22-0-03

“五三一成长教育”课堂是我校在新形式下，为适应新课程标准理念，提高学生自主学习、合作学习、探究学习能力的一种课堂模式。为进一步完善“五三一成长教育”课堂模式、优化课堂结构、提高课堂教学效率，充分体现数学新课程标准理念，现将数学《新课程标准（2011版）》中有关描述结果目标的行为动词的目标达成的实施步骤作一些简单的设计，以便我们在教学设计时能根据不同的教学目标设计不同的教学方法，高效的达成教学目标.现整理出来与大家共同探讨以期共同进步。

在数学《新课程标准（2011版）》中有两类行为动词，一类是描述结果目标的行为动词，包括“了解、理解、掌握、运用”等术语。另一类是描述过程目标的行为动词，包括“经历、体验、探索”等术语。本文就描述结果目标的四个行为动词“了解、理解、掌握、运用”的目标达成需要实施的步骤作简单的设计。

1.“了解”的目标达成需要实施的步骤

“了解”在《新课标准（2011版）》中的含义：从具体实例中知道或举例说明对象的有关特征；根据对象的特征，从具体情境中辨认或者举例说明对象。

从“了解”的含义来看，要达成“了解”的目标，在教学设计时，大致可设计以下操作步骤：

第一步：设计具体实例

第二步：从具体实例中说明对象的有关特征

第三步：根据对象的特征从具体情境中辨认

第四步：根据对象的特征举例说明对象

下面以《分式的概念》为例加以说明：

在这一课时中明确了分式概念的教学目标是：“了解分式的概念”，为达成这一目标，可作如下教学设计：

第一步：设计具体实例：

用代数式填空：

（1）已知某长方形的面积是10，长为5，则这个长方形的宽为________cm；

（2）已知某长方形的长为a，宽为b，则这个长方形的面积为________cm；

（3）已知某长方形的面积是s，长为5，则这个长方形的宽为________cm；

（4）已知某长方形的面积是10，长为a，则这个长方形的宽为________cm；

（5）一辆汽车行驶s千米用了t小时，那么它的平均车速为________千米/小时；一列火车行驶s千米比这辆汽车少用了1小时，那么它的平均车速为________km/h；

第二步：从具体实例中说明对象的有关特征

思考：（1）以上式子中，是整式的有哪些？

（2）不是整式的有哪些？它们的共同特征是：

①从形式上看，像________，即都由________、分数线、________三部分组成；

②从内容上看，它们的分母都含有________。

（3）因此，为了和分数区别开来，把这种形如分数，且分母含有字母的式子取名为________。

第三步：根据对象的特征从具体情境中辨认

在代数式-3x，，，，，，，中，是分式的有_________________.

第四步：根据对象的特征举例说明对象

用分式填空：

（1）某村有n个人，一共拥有耕地50公顷，则该村的人均耕地面积为________公顷；

（2）若△ABC的面积为s，BC边的长为a，则BC边上的高为________。

2.“理解”的目标达成需要实施的步骤

“理解”在《新课标准（2011版）》中的含义：描述对象的特征和由来，阐述此对象与相关对象之间的区别和联系。

从“理解”的含义来看，要达成“理解”的目标，在教学设计时，大致可设计以下操作步骤：

第一步：设计具体实例

第二步：描述对象的特征

第三步：描述对象的由来

第四步：阐述此对象与相关对象之间的区别

第五步：阐述此对象与相关对象之间的联系

下面以第14章第2节第1课时《正比例函数》为例加以说明：

在这一课时中明确了正比例函数概念的教学目标是：“理解正比例函数的概念”，为达成这一目标，根据“理解”的含义，在进行正比例概念的教学时可作如下教学设计：

第一步：设计具体实例：

下列问题中变量对映规律可用怎样的函数表示？

（1）圆的周长l随半径r的大小变化而变化；

（2）铁的密度为7.8g/cm3，铁的质量m（单位：g）随它的体积V（单位：cm3）的大小变化而变化；

（3）每个练习本的厚度为0.5cm，一些练习本摞在一起的总厚度h（单位：cm）随这些练习本的本数n的变化而变化；

（4）冷冻一个0℃的物体，使它每分下降2℃，物体的温度T（单位：℃）随冷冻时间t（单位：分）的变化而变化。

第一步：描述对象的特征

【思考】1.上面这些函数的解析式在形式上有什么共同特征？

引导学生观察、分析、归纳：都是常数与自变量乘积的形式（或表述为：都是自变量的一次单项式）

2.函数（是常数，）中，哪些是常数？哪些是变量？哪个是自变量？哪个是函数？为什么要限制？如果没有这个限制，结果会怎样呢？

学生分析归纳：在函数中，常数是常数；与是变量，其中是自变量，是函数，这里要限制是因为当时，函数表达式为，它体现不出两个变量与之间的函数关系，它不是正比例函数。

第二步：描述对象的由来

教师提问：同学们，你们知道“函数”和“正比例函数”的由来吗？

（设计目的：引导学生了解函数的产生和发展过程，激发学生学习兴趣）

（多媒体展示）函数的产生

“函数”一词最初是由德国的数学家莱布尼茨在17世纪首先采用的，当时莱布尼茨用“函数”这一词来表示变量x的幂，即x2，x3，….接下来莱布尼茨又将“函数”这一词用来表示曲线上的横坐标、纵坐标、切线的长度、垂线的长度等等所有与曲线上的点有关的变量，就这样“函数”这词逐渐盛行.

在中国，古时候的人将“函”字与“含”字通用，都有着“包含”的意思，清代数学家、天文学家、翻译家和教育家，近代科学的先驱者李善兰给出的定义是：“凡式中含天，为天之函数。”中国的古代人还用“天、地、人、物”4个字来表示4个不同的未知数或变量，显然，在李善兰的这个定义中的含义就是“凡是公式中含有变量x，则该式子叫做x的函数.”这样，在中国“函数”是指公式里含有变量的意思.

十八世纪瑞士数学家雅克·柏努意给出了和莱布尼茨相同的函数定义.1718年，雅克·柏努意的弟弟约翰·柏努意给出了如下的函数定义：由任一变数和常数的任意形式所构成的量叫做这一变数的函数.换句话说，由x和常量所构成的任一式子都可称之为关于x的函数.

1775年，欧拉把函数定义为：“如果某些变量：以某一种方式依赖于另一些变量.即当后面这些变量变化时，前面这些变量也随着变化，我们把前面的变量称为后面变量的函数.”由此可以看到，由莱布尼兹到欧拉所引入的函数概念，都还是和解析表达式、曲线表达式等概念纠缠在一起.

首屈一指的法国数学家柯西引入了新的函数定义：“在某些变数间存在着一定的关系，当一经给定其中某一变数的值，其它变数的值也可随之而确定时，则将最初的变数称之为‘自变数，其它各变数则称为‘函数”.在柯西的定义中，首先出现了“自变量”一词.

1834年，俄国数学家罗巴契夫斯基进一步提出函数的定义：“x的函数是这样的一个数，它对于每一个x都有确定的值，并且随着x一起变化.函数值可以由解析式给出，也可以由一个条件给出，这个条件提供了一种寻求全部对应值的方法.函数的这种依赖关系可以存在，但仍然是未知的”.这个定义指出了对应关系.即条件的必要性，利用这个关系以求出每一个x的对应值.

1837年德国数学家狄里克雷认为怎样去建立x与y之间的对应关系是无关紧要的，所以他的定义是：“如果对于x的每一个值，y总有一个完全确定的值与之对应，则y是x的函数.”

德国数学家黎曼引入了函数的新定义：“对于x的每一个值，y总有完全确定了的值与之对应，而不拘建立x，y之间的对应方法如何，均将y称为x的函数.”

从上面函数概念的演变，我们可以知道，函数的定义必须抓住函数的本质属性，变量y称为x的函数，只须有一个法则存在，使得这个函数取值范围中的每一个值，有一个确定的y值和它对应就行了，不管这个法则是公式或图象或表格或其他形式。由此，就有了我们课本上的函数的定义：一般地，在一个变化过程中，如果有两个变量x与y，并且对于x的每一个确定的值，y都有惟一确定的值与其对应，那么我们就说x是自变量，y是x的函数.

在实际问题中，在某一个变化过程中，两个变量x与y之间常常产生形如形如（是常数，）的函数，这样的函数叫做正比例函数，其中叫做正比例系数。

第三步：阐述此对象与相关对象之间的区别

【思考】在函数①y=，②y=，③y=3x+9，④y=2x2中，哪些是正比例函数？哪些不是正比例函数呢？它与正比例的函数的区别在哪里？

第四步：阐述此对象与相关对象之间的联系

【思考】函数与函数有何联系？与函数又有何联系？

学生分析归纳：在函数中，当时，它就是正比例函数，否则就不是正比例函数；在函数中当时，它就是正比例函数，否则就不是正比例函数。

通过以上设计，能够加深学生对“正比例函数”概念的理解，真正达到理解“正比例函数”概念的目的。

3.“掌握”的目标达成需要实施的步骤

“掌握”在《新课标准（2011版）》中的含义：在理解的基础上，把对象用于新的情境。

从“掌握”的含义来看，要达成“掌握”的目标，在教学设计时，大致可设计以下操作步骤：

第一步：设计具体实例

第二步：描述对象的特征

第三步：描述对象的由来

第四步：阐述此对象与相关对象之间的区别

第五步：阐述此对象与相关对象之间的联系

第六步：把对象用于新的情境

下面以第13章第1节第3课时《平方根》为例加以说明：

在这一课时中明确了平方根概念的教学目标是：“掌握平方根的概念”，为达成这一目标，根据“掌握”的含义，在进行平方根的概念教学时可作如下教学设计：

第一步：设计具体实例

（多媒体展示）填空：（1）如果，则=________；

（2）如果，则=________；

（3）如果，则=________；

（4）如果，则=________；

【思考】如果，你知道x与a的关系吗？（设计目的：引出平方根的概念）

（一般地，如果一个数的平方等于，那么这个数叫做的平方根，即：如果，那么叫做的平方根）

第二步：描述对象的特征

填空：（1）如果，则49的平方根是________；

（2）如果，则0的平方根是________；

（3）如果，则-1的平方根是________.

【思考】正数的平方根有什么特点？0的平方根是多少？负数有平方根吗？

（一个正数的平方根有两个，它们互为相反数；0的平方根是多少0；负数没有平方根）

第三步：描述对象的由来

教师提问：同学们，你们知道平方根是怎样产生的吗？（设计目的：引导学生了解平方根的产生和发展过程，拓宽学生知识视野，提高学生数学素养）

（多媒体展示）无理数的产生

公元前500年，古希腊毕达哥拉斯（Pythagoras）学派的弟子希勃索斯（Hippasus）发现了一个惊人的事实，一个正方形的对角线与其一边的长度是不可公度的（若正方形边长是1，则对角线的长不是一个有理数）这一不可公度性与毕氏学派“万物皆为数”（指有理数）的哲理大相径庭。这一发现使该学派领导人惶恐、恼怒，认为这将动摇他们在学术界的统治地位。希勃索斯因此被囚禁，受到百般折磨，最后竞遭到沉舟身亡的惩处。

不可通约的本质是什么？长期以来众说纷坛，得不到正确的解释，两个不可通约的比值也一直被认为是不可理喻的数。15世纪意大利著名画家达.芬奇称之为“无理的数”，17世纪德国天文学家开普勒称之为“不可名状”的数。

然而，真理毕竟是淹没不了的，毕氏学派抹杀真理才是“无理”。人们为了纪念希勃索斯这位为真理而献身的可敬学者，就把不可通约的量取名为“无理数”——这便是“无理数”的由来.

同时它导致了第一次数学危机。

平方根的产生主要由于无理数的发现，历史上所谓的“第一次数学危机”，不是我们通常想象的由于研究方程的根的需要而产生平方根.

第四步：阐述此对象与相关对象之间的区别

【思考】由平方根与算术平方根的定义，同学们能否找出它们的区别？（小组讨论后，归纳总结）

学生归纳：平方根与算术平方根的区别

（1）定义不同：

平方根：如果一个数的平方等于a，那么这个数叫做a的平方根.

算术平方根：如果一个正数的平方等于a，那么这个正数叫做a的算术平方根.

（2）个数不同：个正数有两个平方根，而一个正数的算术平方根只有一个.

（3）表示方法不同：正数a的平方根表示为；正数a的算术平方根表示为.

（4）取值范围不同：正数的平方根有两个，一正一负；正数的算术平方根只有一个正数.

第五步：阐述此对象与相关对象之间的联系

教师提问：同样，你能知道平方根与算术平方根有何联系？（小组讨论后，归纳总结）

学生归纳：平方根与算术平方根的联系

（1）具有包含关系：平方根包含算术平方根，算术平方根是平方根的一个。

（2）存在条件相同：平方根与算术平方根都是只有非负数才有.

（3）0的平方根与算术平方根都是0.

第六步：把对象用于新的情境

【思考】求下面各数的平方根（巩固平方根的概念，熟练应用平方根的概念计算有关算式的值是本课的主要内容，突出本课重点，同时将学生对知识的理解转化为数学技能，使学生获得成功体验，激发学生的积极性）

（1）100；（2）0.25；（3）0；（4）-4；

通过以上设计，能够使学生掌握平方根的概念，运用平方根概念进行计算，突出了本课时的重点，又能使学生知道平方根与算术平方根的区别与联系，从而突破本节课的难点.

4.“掌握”的目标达成需要实施的步骤

“运用”在《新课标准（2011版）》中的含义：综合使用已掌握的对象，选择或创造适当的方法解决问题。

从“运用”的含义来看，要达成“运用”的目标，在教学设计时，大致可设计以下操作步骤：

第一步：设计问题巩固已掌握的对象（知识）

第二步：设计能够用已掌握的对象进行解决的问题

第三步：将问题转化为数学模型

第四步：选择和创造适当的方法

第五步：运用选择和创造的方法解决数学问题

第六步：通过解决数学问题完成实际问题的解决.

下面以第18章第1节《勾股定理》第2课时为例加以说明：

在这一课时中明确了教学的目标是：“运用勾股定理解决一些简单的实际问题”，为达成这一目标，根据“运用”的含义，在进行“勾股定理的运用”教学时可作如下教学设计：

第一步：设计问题巩固已掌握的对象（知识）

填空题

（1）在Rt△ABC，∠C=90°，a=8，b=15，则c=________。

（2）在Rt△ABC，∠B=90°，a=3，b=4，则c=________。

（3）在Rt△ABC，∠C=90°，c=10，a：b=3：4，则a=________，b=________。

（设计意图：利用学生已有的勾股定理和直角三角形的相关知识，创设问题情景，有针对性地引导学生练习，复习巩固勾股定理，为学生学习勾股定理在实际生活中的应用做铺垫）

第二步：设计能够用已掌握的对象进行解决的问题

问题（教材P66页探究1）

一个门框的尺寸如图1所示，一块长3m，宽2.2m的薄木版能否从门框内通过？为什么？

第三步：将问题转化为数学模型

问题分析：（1）将实际问题转化为数学问题：薄木版转化为长3m，宽2.2m的长方形（如图2），门框转化为长2m，宽1m的长方形（如图1）.（2）在实际问题向数学问题的转化过程中，注意勾股定理的使用条件，即门框为四个角都是直角的长方形。（3）让学生深入探讨图中有几个直角三角形？图中标字母的线段哪条最长？该问题需要解决什么数学问题？（4）注意给学生小结深化数学建模思想，激发数学兴趣。

第四步：选择和创造适当的方法

（1）指出薄木板在数学问题中忽略厚度，只记长度，探讨以何种方式通过？（2）将问题转化为勾股定理的计算（计算门框对角线长度）.可以知道，木版横着进，竖着进，都不能从门框内通过，只能试试斜着能否通过.对角线AC是斜着能通过的最大长度，用勾股定理求出AC的长，再与木版的宽比较，就能知道木版能否通过.

第五步：运用选择和创造的方法解决数学问题

问题解决：在Rt△ABC中，根据勾股定理得：AC2=AB2+BC2=12+22=5.∴AC=≈2.236.

第六步：通过解决数学问题完成实际问题的解决.

∵AC=≈2.236>2，∴门框的对角线长大于薄木版的宽，∴木板能从门框内通过.

通过以上设计，能够使学生理解解决实际问题一般步骤，培养了学生数学建模能力以及分析问题，解决问题的能力，从而突破本节课的难点.