基于概率测度的LDPC码和积译码算法研究

赵希+祝莹莹+刘玉桥

摘 要 本文在分析LDPC码的技术优势入手，在研究LDPC码及其译码算法的基础上，引入概率测度的概念，详细概率测度的和积译码算法下的和积译码算法，并应用高斯信道上进行了性能仿真。

关键词 LDPC码 概率测度 和积译码算法

中图分类号：TN911 文献标识码：A

LDPC码（低密度校验码）又称哥拉（Gallager）码，它属于线性分组码，现已经研制开发出相应的LDPC码编译码器，被广泛应用于网络数据传输、光纤通信、深空通信、图像传输以及无线通信系统、磁记录、用户数据线（DSL）、数字图像水印等技术领域。

1 LDPC码的技术优势

LDPC码是一种线性分组码，是目前最有发展前景的纠错编码技术之一。其主要有以下技术优点：

（1）吞吐量大。LDPC码在给定误码率情况下的信息传输速率可以非常接近Shannon限，对于一些中长码长的LDPC码，其纠错性能甚至已经超过Turbo码。

（2）实现简单。LDPC码译码算法，是一种基于稀疏矩阵的并行迭代译码算法，运算量低、结构并行、硬件实现容易；

（3）方便灵活。LDPC码码率可以任意构造，灵活性大，不需通过打孔来实现高码率；

（4）应用广泛。LDPC码译码器具有更低的错误平层，误码率要求苛刻的场合同样适用。

2 LDPC码及其译码算法

LDPC码由稀疏奇偶校验矩阵H的零空间定义。所谓“稀疏性”指的是矩阵H中包含0的个数远大于1的个数，而“低密度”指的是矩阵H中含1的密度很低。假设H矩阵是MN，且满秩，即LDPC码长为N，校验位长为M，信息位长为K=N€HaM，码率为K/N，H矩阵每行中1的个数称为行权重，每列重1的个数成为列权重。H矩阵可用二分图表示，码字V=（v1，v2，…，vN），可表示为一组变量节点{vi：i=1，2，…，N}；校验集可表示为一组校验节点。{Cj：j=1，2，…，M}当H矩阵中的hij=1时，表示节点vi到Cj由一条有向边连接。

令集合N（v）表示变量节点受限范围，N（c）表示校验节点受限范围。迭代过程中，每个变量节点向与其相连的校验节点发送变量消息Qavc；每个校验节点向与其相连的变量节点发送校验消息Racv对二元码而言，a∈{0，1}）。其中变量消息Qavc是在已知与变量节点相连的其它校验节点发送的校验消息{Rc'∈N（v）＼c}的前提下，变量节点为a的条件概率；Racv是在已知变量节点取值为a以及与校验节点相连的其它变量消息{Qc'∈N（v）＼v}的前提下，校验关系成立的条件概率。算法的每轮迭代过程，都是一次消息处理的循环：变量节点处理和传送变量消息，接着是校验节点处理和传送校验消息。

这种迭代算法中很重要的一点是某节点u沿某边e发送的消息与上次u从e接收到的消息无关，而决定于和u相连的其它边上接收的信息。这就保证了在任一条边上，只有外来消息传递，这是和积译码算法的重要特性。

3基于概率测度的和积译码算法

这种迭代算法中很重要的一点是某节点“沿某边e发送的消息与上次u从e接收到的消息无关”，而决定于和“相连的其它边上接收的信息”。这就保证了在任一条边上，只有外来消息传递，这是和积译码算法的重要特性。

下面以AWGN信道为例，假设噪声均值为0，方差为€%l2，接收变量为yi），采用BPSK调制：，a→€%o（a）：0→1，1→-1，给出概率测度下的和积译码算法：

（1）初始化。根据校验矩阵H，若hi=1，即变量节点vi和校验节点cj相连，定义变量消息

（5）译码判决。一轮迭代之后，根据每个变量节点Q0v的和Q1v做出判决：若Q0v>0.5，则 = 0；否则 = 1。

由此可以得到对发送码字的一个估计=[v1，v2…vN]，再计算伴随式S = vHT，如果S = 0那么认为译码成功，结束迭代过程，否则继续迭代直至达到预定的最大迭代次数。

4性能仿真

应用概率测度和积译码算法在高斯信道上进行性能仿真。仿真采用的是1/2码率的（1024，3，6）规则LDPC码。校验矩阵中无围长为4的环，译码的最大迭代次数设置为100次。在Eb/N0≤3dB的情况下，误码率可以达到10-9以下，并且没有出现误码平层。

参考文献

[1] 田耘，徐文波.Xilinx FPGA开发实用例程[M].北京：清华大学出版社，2008.

[2] 王新梅，肖国镇.纠错码——原理与方法[M].西安电子科技大学出版社，2001.

[3] A.R.Calderbank，“The art of signaling： Fifty years of coding theory，” IEEE Trans.IT， vol.44， No.6，Oct.1998.