高中数学解题中圆系方程的应用分析

林永星

摘 要： 高中数学具有较强的逻辑性要求，题目的综合性比较明显，将圆系方程运用于高中数学解题过程中，能够在一定程度上降低数学题的难度，帮助理解和分析题干，进而提升学生的解题正确率.本文主要探讨圆系方程在实际数学解题过程中的运用，列举了几个高中数学的经典题型，进行详细分析.关键词： 高中数学 解题 圆系方程 应用

圆系方程的主要运用方式是将参数与图像相结合，以便于加深学生对题干的理解.在几何题解题过程中，适合既定条件的圆构成了一个圆系，一个圆系的共同形式的方程称之为圆系方程.将圆系方程运用于高中几何题型中，能帮助有效解决几何问题，提高解题效率.因此，有必要对圆系方程在数学解题中的具体应用进行研究和探讨.

一、借助圆系方程求圆的方程

高中数学具有一定的逻辑性和抽象性，学生在学习过程中若不是全身心投入，则很容易将各项概念和性质等混淆，导致教学效率不高.教材中关于求圆的方程式的内容和经典题型比较多，但一般的解题思路是通过已知条件求得圆的半径和圆心标之后，再得出圆的方程式.这种方法的操作比较麻烦，不利于学生在考试过程中使用.并且过长的计算时间容易导致学生在解题过程中出现计算错误或常识性失误等.若借助圆系方程，则可首先假设适合已知条件的圆系方程，列出含有未知数l的相关参数，并依据题干给出的条件进行运算，求出直径l的值，这样，运算量明显减少.

在给出的解题参考中，先对两圆的交点坐标进行求解，再假设方程，将已知的点直接代入，借助待定系数法求得待定系数的值，最后得出圆的方程.相比之下，圆系方程的运用，减少了解题耗费的时间.需注意的是，实际解题过程中，学生切不可不认真审题就直接采用圆系方程求解.使用圆系方程的基本前提是了解题干及潜在解题条件，充分分析完题干，再选择求解方式.

二、求两圆的公共弦或两圆的公切线方程

针对这一类型数学题，一般解题思路是将两圆的方程看做F（x，y）+λG（x，y）=0，取λ的值为-1，则可解答方程，这种解题方式相对比较简单.由于教材中没有涉及具体圆系方程的知识点，可将其转换为一般式方程之后联立，将两个方程式相减，可得到两圆的公切线方程.一般情况下，借助圆系方程解决此类问题，需首先确定两圆的位置关系，再进行下一步的计算.

例2：已知圆C：x+y+2x+8y-8=0，圆C：x+y-4x-4y-2=0，求两圆的位置关系.

根据教材内容可知，两圆存在不止一个公共点.此题的解题关键是确定两圆的位置关系，在清楚了位置关系之后，即可借助圆系方程，求出两圆的公共直线的方程式.此时可知公共弦的方程式为x+2y-1=0.

此时需注意的是，若无法准确判断两圆的位置关系，经过计算所得的直线方程，不能直接将其界定为公共弦，或者公切线方程.学生在实际解题过程中应认真理解题干和要求，有效利用已知条件及蕴含条件进行解题.

通过圆系方程的运用，简化了原本需要联立方程式和计算的过程，大大缩短了解题时间.同时，此题运用圆系方程解题的正确率更高，学生不易由于数字特征而产生常识性失误.

三、借助圆系方程判断直线与圆的位置关系

高中数学中，要求对直线与圆的位置关系进行判断，是比较常见的题型.教材中给出了代数解题法和几何解题法两种，代数法需要对方程进行消元处理，继而得到一元二次方程，这一方法的计算量比较大，学生容易在解题过程中发生计算错误等问题.因此，解题过程中可尽量不用代数法.几何法相对更简单一些，首先求出圆心距直线的距离d，再将半径r与直线d进行大小判断，通过两者的关系确认，进而判断圆与该直线的位置关系.但几何法大多运用于比较简单的问题.针对部分比较难的问题，借助圆系方程进行解答准确性更高，也更简便.

例3：圆系方程x+y+2kx+（4k+10）y+10k+20=0（k∈R，k≠-1）中，求任意两个圆的位置关系.

此题中的圆系方程可转换为x+y+10y+20+k（2x+4y+10）=0；

由方程2x+4y+10=0，以及x+y+10y+20=0，可知该方程表示的直线与圆呈相切的关系.

因此，可得该圆系方程表示的两个圆有一个公共点.

四、借助圆系方程求最小面积的圆的方程

高中数学中，求最小面积或最大面积的圆的方程的题型比较常见，常规的解题方法也相似，即只要知道满足圆的最小面积的半径的方程式即可.而将圆系方程运用于这类题型中，解题过程则更加简单.

例4：求经过两圆x+y=5，（x-1）+（y-1）=16的交点，且面积最小的圆的方程.

此题若采用常见的解题方法，需首先联立方程，求得两圆的交点.再设所求的对象圆的方程，在其中发现各项变量之间的关系，最终获得半径的最小值.这类解题方法有一定的可行性，但解题所需时间较多.借助圆系方程则可减少运算所需的时间，提高解题效率.

两圆相交直线的方程式为2x+2y-11=0，则经过直线2x+2y-11=0与圆x+y=5相交的点的圆系方程为x+y-25+l（2x+2y-11）=0，为了求得最小半径，两圆的相交直线须为所求的圆的直径；

因此圆心坐标为（-1，-1），在弦2x+2y-11=0上，所以l=-，所求的圆的方程表示为（x-）+（y-）=.

需注意的是，在高中数学题中，通常求最小面积的圆的方程与求最大面积的圆的方程的题型比较多，两者有相似之处.

高中数学题一般具有较强的综合性，对学生逻辑思考能力和解题思维都有所要求.将圆系方程运用于高中数学解题过程中，通过简化题干、设已知条件等方式，不仅能够减少解题所耗费的时间，简化解题程序，还能够促使学生能够在更短的时间内完成解题.并且，在不断的训练和解题过程中，学生逐渐养成较强的逻辑思维和解题习惯，进而促进数学成绩的提高.此外，教师应引起注意，积极寻找解决该类问题的途径，从而使学生在考试当中获得理想的成绩.

参考文献：

[1]王慎.圆系方程在高中数学解题中的应用[J].数理化解题研究（高中版），2015，07：12.

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[3]雷鹏.圆锥曲线参数方程在高中数学解题中的应用[J].学周刊，2016，09：134.