三角形全等错解剖析

□李庆社

三角形全等错解剖析

□李庆社

全等三角形的判定和性质及其应用是初中几何的重点内容之一，也是中考所要考查的重要内容.同学们由于对概念、判定、性质的理解不清楚或对问题的考虑不周密，往往会出现各种错误.

一、利用对应边和对应角说明全等

例1如图1①所示，若△ABC中的∠A=30°，∠B=70°，AC=17cm，如图1②所示，若△DEF的∠D= 70°，∠E=80°，DE=17cm，那么△ABC与△DEF全等吗？为什么？

错解：△ABC与△DEF全等.

在△DEF中，

因为∠D=70°，∠E=80°，

所以∠F=180°-∠D-∠E

=180°-70°-80°=30°.

在△ABC中，

因为∠A=30°，∠B=70°，

所以∠A=∠F，∠B=∠D.

又因为AC=17cm，DE=17cm，

所以AC=DE.

在△ABC与△DEF中，

∴△ABC≌△DEF.

图1①

图1②

分析：AC是∠B的对边，DE是∠F的对边，而∠B≠∠F，所以这两个三角形不全等.

正解：△ABC与△DEF不全等.因为相等的两边不是相等的两角的对边，不符合全等三角形的识别法.

二、利用三个角对应相等说明全等

例2如图2，∠CAB=∠DBA，∠C=∠D，E为AC和BD的交点.△ADB与△BCA全等吗？说说理由.

图2

错解：△ADB≌△BCA.

所以△CBE≌△DAE（AAA）.

分析：两个三角形全等是对的，但说明的理由不正确.三个角对应相等不能作为三角形全等的识别方法.因为三个角对应相等的两个三角形不一定全等.

正解：△CAB≌△DBA.

所以△CAB≌△DBA（AAS）.

三、利用两边及一角对应相等说明全等

例3如图3，已知△ABC中，AB=AC，D、E分别是AB、AC的中点，且CD=BE，△ADC与△AEB全等吗？说说理由.

图3

错解：△ADC≌△AEB.

所以△ADC≌△AEB（SSA）.

分析：把SSA作为三角形全等的判别方法不正确.SSA不能作为三角形全等的识别条件.因为两边及一角对应相等的两个三角形不一定全等.

正解：△ADC≌△AEB.

因为AB=AC，D、E为AB、AC的中点，所以AD=AE.

在△ADC和△AEB中，

所以△ADC≌△AEB（SSS）.

四、利用部分当整体说明全等

例4如图4，已知AB=AC，BD=CE，试说明△ABE与△ACD全等的理由.

图4

错解：因为AB=AC，

所以∠B=∠C.

在△ABE和△ACD中，

所以△ABE≌△ACD（SAS）.

分析：错把三角形边上的一部分当作说明的条件，这不符合三角形全等的识别方法.

正解：△ABE与△ACD全等.

因为AB=AC，

所以∠B=∠C，

因为BD=CE，

所以BD+DE=CE+DE，

即BE=CD.

在△ABE和△ACD中，

所以△ABC≌△ACF（SAS）.

五、利用减法运算说明全等

例5如图5，已知AC、BD相交于点O，∠A=∠B，∠ACD=∠BDC，AD=BC.试说明△AOD≌△BOC.

错解：在△ADC和△BCD中，

所以△ADC≌△BCD（AAS），

所以△ADC-△DOC

=△BCD-△DOC，

即△A0D≌△B0C.

分析：错将等式的性质盲目地用到三角形全等中，实际上，三角形全等是不能根据等式的性质说明的.

正解：在△ADO和△BCD中，

所以△AOD≌△BOC（AAS）.

六、将图形的直观印象视为条件参与证明

例6如图6，在△ABC中，AD是它的角平分线，BD=CD，DE、DF分别垂直于AB、AC，垂足为E、F.求证：BE=CF.

图6

错解一：认为DE=DF，并以此为条件.

在Rt△BDE与Rt△CDF中，

因为DE=DF，BD=CD，

所以Rt△BDE≌Rt△CDF（HL）.

所以BE=CF（全等三角形的对应边相等）.

错解二：认为AD⊥BC，并以此为条件，证明△ABD≌△ACD，得AB= AC.再由Rt△AED≌Rt△AFD，得AE=AF，从而得到BE=CF.

分析：错解一中认为DE=DF，并直接作为条件应用，因而产生错误；错解二中，认为AD⊥BC，没有经过推理，而直接作为条件应用，因而也产生错误.产生上述错误的原因是审题不清，没有根据题设，结合图形找证题方法，推论过程不符合全等的判定方法.

正解：在△AED和△AFD中，

∴△AED≌△AFD（AAS）.

∴DE=DF（全等三角形的对应边相等）.

在Rt△BDE与Rt△CDF中，

∴Rt△BDE≌Rt△CDF（HL）.

七、观察图形出现重复或遗漏

例7如图7所示，在等边△ABC中，D、E、F分别为AB、BC、CA上一点（不是中点），且AD=BE=CF，图中全等三角形对数为（）.

A.5对B.6对

C.12对D.15对

图7

错解：A.

分析：全等三角形共有15对，分别是：△ABE≌△BCF≌△CAD，△ABH≌△BCN≌△CAG，△ADG≌△BEH≌△CFN，△AEC≌△BFA≌△CDB，△AHF≌△BND≌△CGE.其中每一组都是3对全等三角形.

正解：D.