三角形解题中的数学思想方法

□方震军

三角形解题中的数学思想方法

□方震军

数学思想方法是解决数学问题的金钥匙，在解决三角形的有关问题时，常用到如下数学思想方法：

一、列举法

例1已知等腰三角形两条边的长分别是7和3，则下列四个数中，能成为第三条边长的是（）.

A.8 B.7 C.4 D.3

解析：方法1：先列举出所有可能情况：将选择支中的数据分别与已知条件组成三条线段，在7、3、8，7、3、7，7、3、4，7、3、3四个组合中，7、3、8和7、3、4中没有相等的边，不是等腰三角形；而在7、3、3中，由于3+3＜7，不能构成三角形；只有7、3、7能构成等腰三角形，选B.

方法2：设第三边的长为x cm，则由“三角形的任意两边之和大于第三边，两边之差小于第三边”，有7-3＜x＜7+3，即4＜x＜10，对照选择支，可知A、B在这个范围中，但7、3、8不能构成等腰三角形，所以选B.

二、方程思想

例2如图1，一个多边形纸片按图示的剪法剪去一个内角后，得到一个内角和为2340°的新多边形，则原多边形的边数为（）.

A.13 B.14

C.15 D.16

图1

解析：按图示的剪法剪去一个内角后，多出了一条边，据此利用多边形的内角和公式列方程求解.设原多边形的边数为x，则新多边形的边数为（x+1），根据题意列出方程（x+1-2）·180=2340，解得x= 14.故选B.

三、转化思想

例3如图2，一副分别含有30°和45°角的两个直角三角板，拼成如下图形，其中∠C=90°，∠B= 45°，∠E=30°，则∠BFD的度数是（）.

A.15°B.25°

C.30°D.10°

图2

分析：通过三角形内角和或外角的性质把要求的角转化为已知角的和或差.

解：由题意知∠EDC=60°，又知∠B=45°，所以∠BFD=∠EDC-∠B=60°-45°=15°，故选A.

四、夹逼思想

例4一个多边形的内角和小于它的外角和，则这个多边形的边数是（）.

A.3 B.4 C.5 D.6

分析：直接套用内角和公式列出不等式，利用夹逼思想求出其正整数解即可.

解：设这个多边形的边数为n，

则有（n-2）·180°＜360°，

解得n＜4.

又∵n为正整数，且n≥3，

∴n=3.故选A.

五、分类思想

例5等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为36°，则该等腰三角形的底角的度数为_______.

分析：需分锐角三角形和钝角三角形两种情况进行讨论，利用等腰三角形的性质和三角形内角和定理即可求出它的底角的度数.

解：在三角形ABC中，设AB= AC，BD⊥AC于D.

①如图3，若三角形是锐角三角形，∠A=90°-36°=54°，底角=（180°-54°）÷2=63°；

图3

②如图4，若三角形是钝角三角形，∠BAC=36°+90°=126°，此时底角=（180°-126°）÷2=27°.

图4

所以等腰三角形底角的度数是63°或27°.