基于LJ势与随机过程的纳米级粗糙表面摩擦力计算模型*

祝胜光　黄平

(华南理工大学 机械与汽车工程学院，广东 广州 510640)



基于LJ势与随机过程的纳米级粗糙表面摩擦力计算模型*

祝胜光黄平

(华南理工大学 机械与汽车工程学院，广东 广州 510640)

基于接触界面势垒与摩擦接触面形貌的随机特性，建立了一种新的纳米级粗糙表面滑动摩擦力计算模型；利用该模型对满足严格平稳的同种摩擦副材料纳米级随机粗糙表面的摩擦力进行了数值计算.结果表明：经该模型数值计算得出的平均滑动摩擦力与法向载荷呈线性关系；法向载荷与平均接触界面间隙呈指数关系；在相同界面间隙下，平均法向力与粗糙峰高度分布标准差呈线性关系.计算结果与现有的研究结论相符，证明该模型是有效的、可行的；基于该模型，可根据接触界面的形貌分布参数、材料参数与法向载荷预测出平均滑动摩擦力.

LJ势；随机过程；随机粗糙表面；滑动摩擦力；界面间隙

随着STM、AFM、FFM等技术的相继出现，纳米摩擦学发展迅速，已经成为摩擦学领域的一个重要分支，传统的宏观摩擦机理主要基于粗糙峰的变形、啮合、粘着、剪切和犁沟等因素，而现代纳米微观摩擦技术主要着眼于范德华力、静电力、接触界面势垒，声子摩擦能量耗散等[1].摩擦是个极其复杂的物理机理过程，涉及的因素太多，因此目前很多对微观摩擦力的计算研究都是从理想的光滑无损界面摩擦入手，建立了IO模型[2]、FK模型、FKT模型、复合振子模型[3]、耦合振子模型等[4]，逐渐引入量子力学、分子动力学、连续介质力学等工具[5].

但AFM实验表明[6]绝大多数摩擦表面都具有一定的粗糙度，如何进一步对接近实际摩擦状况的随机粗糙表面摩擦进行研究，是目前有待解决的问题.目前对微观摩擦随机模型的研究尚不多，Whitehouse等[7]建立了随机表面接触模型；Jinesh等[8]建立了基于化学反应动力学的纳米摩擦随机模型；Reimann等[9]提出界面微观摩擦的受迫布朗运动模型；但这些随机模型计算复杂，应用性不强.文中基于接触界面势垒与摩擦接触面形貌的随机特性，建立了纳米级粗糙表面滑动摩擦力计算模型，并通过数值仿真计算对该模型的可行性及正确性进行验证.

1　基于LJ势的接触界面势垒模型

1.1接触界面势垒

自Tomlinson[2]从原子间作用势的角度分析了滑动摩擦的成因，界面势能逐渐应用于研究摩擦的能量耗散机制与计算分析摩擦力，并衍生出FK等其他模型.IO模型的本质是基于上下界面原子间的相互作用势，目前原子分子间的半经验模型势有刚球模型势、Lennard-Jones势(简称LJ势)[10]、Kihara势与Buckingham势，用这些势函数来表征接触界面势垒，在物理机制上是等价的，出于数学上的方便，LJ势中的12-6势在物理和化学上广泛应用[11]，本研究采用式(1)所示的LJ势来表征电中性的两接触界面原子间相互作用的接触界面势垒，其中ε为势能阱深度，σ是互相作用的势能正好为零时的两体距离，ε、σ参数往往通过拟合已知实验数据或精确量子计算结果来确定.rij为A接触面第i个原子与B接触面第j个原子之间的距离.

(1)

1.2接触界面LJ势垒的计算简化

根据Dugdale近似理论[12]，当两原子分离距离大于1.97σ时，吸引力为零，因此表征接触界面势垒的式(1)可进一步简化.

两随机表面形貌用粗糙峰高度来描述，分别为h1(x)和h2(x)，它们的弹性接触可以转化为一光滑的刚性表面和另一等效形貌为h(x)的弹性粗糙表面的接触[13]，其中h(x)=h1(x)+h2(x).绝大多数固体都是以晶体形式存在，光滑刚性表面为无晶体缺陷的刚性晶体表面，其原子有规则的排列；而等效弹性粗糙表面为不规则分布的晶体，其表面原子随机分布.代表性的晶体结构有面心立方(fcc)和密排六方(hcp)，其致密度达到0.74[14]，本研究从摩擦副为同种材料，且为典型的面心立方结构入手研究.图1给出了等效弹性粗糙面A在光滑刚性面B上沿晶向(100)滑移的一维示意图.A为随机粗糙表面，因此A与B的接触不满足整体鹅卵石滑动模型[15]，由此可以假定A在B上进行平行直线滑移.

表1给出了4种材料的LJ势参数与晶格参数，a0为晶格常数，选取表中晶格常数最小且广泛应用的Cu材料作为讨论对象.

图1　接触界面原子滑移示意图

Table 1LJ parameters and crystal constant of some materials[16-17]

材料晶体结构a0/nmσ/nmε/eVCufcc0.3700.22770.4150Pdfcc0.3890.24510.4650Alfcc0.4040.26100.3754Si金刚石0.5430.29100.2616

根据表1得知对于Cu来说：1.97σ≈1.21a0，即当A上的某一原子与B上的各个原子间距离大于1.21a0时，则该原子与B的作用势近似为零.从图1的几何位置关系得知界面A上的原子i与界面B上附近的1、5、6、9、10、11、12、13、14号原子的距离均大于1.21a0，作用势为零.图2给出了界面A上的原子i在界面B上水平滑移时(距离小于1.21a0)的LJ势变化值，原子i与5、9号原子间的LJ势近似为零，符合Dugdale近似，原子i与2、7、8号的平均LJ势远远小于与3、4号原子间的平均LJ势，且接近零，可以忽略不计.从图2的vi还可以得出，界面A上的原子i与界面B的总LJ势呈周期性变化，并存在极值，其大小近似为图1所示位置处原子i与最近的界面B上3号原子间的LJ势，即原子i与界面B在法向距离处的LJ势.

图2　A界面上的原子i与B界面原子间的LJ势

Fig.2LJ potential between atomiof surface A and the atoms of surface B

同理，等效弹性粗糙面A在光滑刚性面B上沿晶向(110)滑移，或摩擦副材料为密排六方晶体结构，得到的仿真计算结果与图2相似.

因此A与B的接触界面势垒计算式(1)可以简化为式(2)，其中zi为界面A的表层第i个原子与光滑刚性界面B的法向距离.

(2)

2　基于随机过程接触模型与LJ势的滑动摩擦力计算模型

2.1基于随机过程的一维WA接触模型

经典接触理论的一个重要假设是接触表面为几何光滑面，然而真实表面是粗糙的，将真实粗糙表面当成理想光滑面来处理，已远不能满足工程需要.由于真实表面粗糙峰都是随机分布的，粗糙峰的形状各异，目前很多随机接触模型都是从粗糙表面与光滑平面的弹性接触着手讨论.随机粗糙表面的弹塑性接触研究主要基于经典接触力学与统计学，代表性的物理模型有GW模型[18]、WA模型[7]、Nayak模型等[19].文中在WA随机接触模型基础上引入随机过程.

自然界中事物的变化过程可以分为两大类：一类是具有确定形式的变化过程，可用一个时间t的确定性函数来描述；另一类是事物在时刻t出现的状态是随机的，即随机过程.物体表面加工的形貌高度变化过程及随机粗糙表面的滑动摩擦过程都属于随机过程[20].

AFM探针在扫描样品表面形貌时，每扫一行都能得到一个随机的一维形貌曲线，即全过程的一次观察.同理，对应每次观察ζi都能得到xi位置处随机表面A与等效刚性接触表面B的法向距离z(ζi,xi)，如图3所示，因此{z(x),x∈R}为一随机过程，对于某一确定位置xi,z(xi)为一随机变量.

图3　基于随机过程的一维WA接触模型

Fig.3Theone-dimensionalWAcontactmodelbasedonstochasticprocess

2.2平均法向力与平均滑动摩擦力计算模型

兰纳琼斯势两体作用力为

(3)

(4)

(5)

摩擦力是阻碍物体相对运动的力，在能量耗散机制中[2-4]，摩擦力是阻碍界面势能增加的一种力.两体LJ势由大变小时，能量以声子的形式耗散掉；LJ势由小变大时，需克服阻碍势能绝对值增加的阻力.在滑移过程中，根据两接触面粗糙峰法向高度变化导致的LJ势增减，来判断阻力存在与否，因此式(5)中引入亥维赛单位函数H(Δu(z，y)).在沿y方向滑移时，当LJ势Δu(z，y)>0，即绝对增加时，H(Δu)=1；当LJ势Δu(z，y)<0，即绝对减少时，H(Δu)=0.

随机过程{z(x)，x∈R}对于任意的x∈R，有

m(x)=E(z(x))<+∞

(6)

D(x)=E((z(x)-m(x))2)<+∞

(7)

因此z(x)为二阶矩过程，对于确定的x∈R，存在随机过程{z′(x)，x∈R}使得式(8)成立，即随机过程z(x)可导.

(8)

LJ势u(z)、法向作用力fn(z)，滑动摩擦力ff(y)均是随机过程z(x)的连续可导函数，因此{u(z，x)，x∈R}、{fn(z，x)，x∈R}、{ff(y，x)，x∈R}也均是随机过程.

令z(x)的概率密度函数为fz(z，x)，可得各个随机过程的数学期望(均值函数)

fz(z，x)dz

(9)

μfn(x)=E{fn(z，x)}=

(10)

(11)

在整个观察样本空间x∈X上，可以得到平均法向作用力Fn和平均滑动摩擦力Ff.

(12)

(13)

3　数值计算与讨论

为检验上述理论计算的可行性，将计算结果与现有的研究结论进行对比，同时出于计算与讨论的简便，文中只先考虑满足严格平稳过程的随机接触表面，即z(x)与z(x+c)具有相同的统计性质，其相关随机过程{fn(z,x)，x∈R}与{ff(y,x)，x∈R}也满足严格平稳[20].因大多数随机表面粗糙峰高度分布满足高斯分布，据此假定随机过程{z(x)，x∈R}为严格平稳高斯随机过程，因此有Fn=μfn(xi)，Ff=μff(xi).

3.1平均法向力与平均界面间隙

(14)

图4　法向距离的分布

通过MATLAB的normrnd函数构造一个正态分布N(0，6)的粗糙表面，摩擦副材料选用Cu，dc=0.261 7 nm，按照式(14)得到了不同界面间隙δ下的平均法向力Fn，如图5所示，平均法向力Fn与平均界面间隙δ呈指数函数趋势.

图5　平均法向力与平均界面间隙的关系

Fig.5The average normal force versus the average surface separation

Persson的研究表明[13]：在小挤压应力作用下，法向挤压应力p与界面间隙δ满足p∝exp(-δ/δ0)，其中δ0只与表面粗糙度有关，而与挤压应力无关，其接触表面发生的弹变转化为弹性势能储存在实际接触区.

本研究的仿真结果与Persson得出的指数关系一致，在LJ势模型中的LJ势能等价于Persson理论中的弹性势能，法向力与法向挤压应力在标量上为线性关系.因此LJ势模型与Persson理论在物理本质上是一致的.

进一步分析表面形貌分布参数及平均界面间隙对平均法向力的综合影响，因平均界面间隙为两接触表面中心线之间的距离，中心线即表面粗糙峰的高度均值，如图4所示，界面间隙与接触表面形貌的均值大小没有关系，因此出于计算的简化与方便，统一将正态分布形貌的均值置为零，并不会影响分析的结果.

模拟4组正态分布粗糙峰形貌：N(0，6)、N(0，7)、N(0，8)、N(0，9).在不同平均界面间隙下，经式(14)计算得到图6所示的结果.

图6　平均法向力与标准差的关系

由图6可见，在相同界面间隙下，平均法向力随标准差的增大而增大，接触界面间隙越小，随机表面形貌分布参数标准差对平均法向力作用越显著.正态分布尺度参数λ越小，粗糙峰高度分布越集中在中心线附近，λ越大，粗糙峰高度分布分布越分散.参考图4，当接触界面间隙δ固定时，λ越大，z=dc的概率就越大，即真实接触面积就越大，Greenwood等[22]证明，当粗糙表面上众多微凸体的高度处于随机分布时，表面在弹性接触状态下的真实接触面积与法向载荷成正比.因此图6所示的数值计算结果证明基于LJ势与随机过程的摩擦力计算模型与Greenwood等[22]的研究结论相吻合，也进一步说明了本模型的可行性与正确性.

3.2平均摩擦力与法向载荷

在纳米级粗糙表面发生相对滑移摩擦，忽略粘着、剪切、犁沟等效应，在法向载荷的作用下，实际接触的粗糙峰发生弹性变形.

对于光滑理想接触界面滑动，摩擦力同样存在[23]，对接触部分，如图 1所示原子i，在[0，0.5a0]内，总的LJ势绝对值减小，原子做自由滑动，能量以声子的形式耗散掉[2]，在[0.5a0，a0]内，原子在外力作用下克服界面势垒，LJ势绝对值增加.基于能量耗散机制的摩擦机理指出每单位滑动距离的能量耗散值即为平均摩擦力[2]，因此在单位周期内，原子i所受的平均摩擦力为2Δu0/a0.

运动是相对的，以随机粗糙表面为参考，理想刚性光滑表面上的原子在移动时，可以从过程的法向距离样本函数中获取随机粗糙表面的统计信息，即具有各态历经性.从图1可以看出，对于接触部分与非接触部分，界面势能的变化周期均为晶格常数，因此将晶格常数a0确定为随机表面的采样间距[7].式(15)给出了连续状态下的平均摩擦力计算式.

(15)

模拟3组N(0，8)、N(0，9)、N(0，10)随机粗糙表面，摩擦副材料为Cu，基于LJ势算出的平均法向力与法向载荷互为一对相反力，经式(15)数值积分得到在不同法向载荷作用下的平均摩擦力，如图7所示.

图7　平均摩擦力与法向载荷的关系

由图7可见，平均摩擦力与法向载荷呈近似线性关系，符合库伦摩擦定律，也与文献[24]得出的Gauss分布的两个粗糙表面在弹性接触状态下，摩擦力与载荷成正比的结论相吻合.从图7的计算结果还可以得出，在相同法向载荷作用下，摩擦力受随机表面形貌的标准差的影响不是很大，主要取决于法向载荷.

4　结论

基于LJ势与随机过程建立了纳米级随机粗糙表面的平均法向力与平均滑动摩擦力的简化计算模型；在接触面粗糙峰分布满足严格平稳正态随机过程，且摩擦副材料均为Cu的随机粗糙表面上进行数值计算，并与现有的研究结论进行了对比，得出以下主要结论：

(1)在较小挤压应力作用下，法向挤压应力p与界面间隙δ满足p∝exp(-δ/δ0)，该结果与文献[13]的研究结果相符；

(2)在相同平均接触界面间隙下，随机粗糙表面的接触法向力随着粗糙峰分布的标准差增大而近似线性增加，该结果与文献[22]的研究结论相吻合.

(3)不同粗糙峰分布参数形貌的平均摩擦力与法向载荷呈线性关系，该结果符合库伦摩擦定律，同时也与文献[24]得出的Gauss分布的两个粗糙表面在弹性接触状态下，平均摩擦力与载荷成正比的结论相吻合.

[1]张红卫，张田忠.原子尺度摩擦研究进展 [J].固体力学学报，2014，35(5)：417-440.

ZHANG Wei-hong，ZHANG Tian-zhong.Recent progress in atomic-scale friction [J].Chinese Journal of Solid Mechanics，2014，35(5)：417-440

[2]TOMLINSON G A.A molecular theory of friction [J].Taylor & Francis，1929，7(46)：905-939.

[3]许中明，黄平.摩擦微观能量耗散机理的复合振子模型研究 [J].物理学报，2006，55(5)：2427-2432.

XU Zhong-ming，HUANG Ping.Composite oscillator mo-del for the energy dissipation mechanism of friction [J].Acta Physica Sinica，2006，55(5)：2427-2432.

[4]丁凌云，龚中良，黄平.基于耦合振子模型的摩擦力计算研究 [J].物理学报，2008，57(10)：6500-6506.

DING Ling-yun，GONG Zhong-liang，HUANG Ping.Interfacial friction calculation based on the coupled-oscillator model [J].Acta Physica Sinica，2008，57(10)：6500-6506.

[5]GUEYE B，ZHANG Y，WANG Y，et al.Origin of frictional ageing by molecular dynamics simulation of a silicon tip sliding over a diamond substrate [J].Tribology International，2015，86(2015)：10-16.

[6]MATE C M，MCCLELLAND G M，Erlandsson R，et al.Atomic-scale friction of a tungsten tip on a graphite surface [J].Physical Review Letters，1987，6(59)：1942-1945.

[7]WHITEHOUSE D J，ARCHARD J F.The properties of random surface of significance in their contact [J].Proceedings of the Royal Society of London，Series A (Mathe-matical and Physical Sciences)，1970，316(1524)：97-121.

[8]JINESH K，KRYLOV S Y，VALK H，et al.Thermolubricity in atomic-scale friction [J].Physical Review B，2008，78(15)：155440.

[9]REIMANN P，EVSIGNEEV M.Description of atomic friction as forced Brownian motion [J].New Journal of Phy-sics，2005，7(1)：1-28.

[10]LENNARD-JONES J.The equation of state of gases and critical phenomena [J].Physica，1937，4(10)：941-956.

[11]KAPLAN I G.Intermolecular interactions：physical picture，computational methods and model potentials [M].New York：John Wiley & Sons，2006.

[12]MAUGIS D.Adhesion of spheres：the JKR-DMT transition using a Dugdale model [J].Journal of Colloid and Interface Science，1992，150(1)：243-269.

[13]PERSSON B N J.Relation between interfacial separation and load：a general theory of contact mechanics [J].Physical Review Letters，2007，99(12)：125502.

[14]ROSE J H，SMITH J R，FERRANTE J.Universal features of bonding in metals [J].Physical Review B，1983，28(4)：1835-1845.

[15]ISRAELACHVILI J N.Adhesion，friction and lubrication of molecularly smooth surfaces [M].Dordrecht：Kluwer Academic Publishers，1992.

[16]AGRAWAL P M，RICE B M，THOMPSON D L.Predicting trends in rate parameters for self-diffusion on FCC metal surfaces [J].Surface Science，2002，515(1)：21-35.

[17]魏芳，白朴存，周铁涛.Li 对 Al-Zn-Mg-Cu 系合金时效早期原子聚集行为的影响 [J].航空材料学报，2004，24(1)：28-31.

WEI Fang，BAI Pu-cun，ZHOU Tie-tao.Influence of Li on the early stage clustering behavior of Al-Zn-Mg-Cu-Li series alloy [J].Journal of Aeronautical Materials，2004，24(1)：28-31.

[18]GREENWOOD J A，TRIPP J H.The contact of two no-minally flat rough surfaces [J].Proceedings of the Institution of Mechanical Engineers，1970，185(48)：625-633.

[19]NAYAK P R.Random process model of rough surfaces [J].Journal of Tribology，1971，93(3)：398-407.

[20]ROSS S M.Stochastic processes [M].New York：John Wiley & Sons,1996.

[21]YANG C，PERSSON B.Contact mechanics：contact area and interfacial separation from small contact to full contact [J].Journal of Physics：Condensed Matter，2008，20(21)：215214.

[22]GREENWOOD J A，WILLIAMSON J P B.Contact of nominally flat surfaces [C]∥ Proceedings of the Royal Society of London.London：the Royal Society，1966，295(A)：300-319.

[23]BHUSHAN B，ISRAELACHVILI J N，LANDMAN U.Nanotribology：friction，wear and lubrication at the ato-mic scale [J].Nature，1995，374(6523)：607-616.

[24]黄平，赖添茂.基于真实接触面积的摩擦模型 [J].华南理工大学学报(自然科学版)，2012，40(10)：109-114.

HUANG Ping，LAI Tian-mao.Friction model based on real contact area [J].Journal of South China University of Technology(Natural Science Edition)，2012，40(10)：109-114.

Supported by the National Natural Science Foundation of China (51175182)

Calculation Model of Friction Force of Nano-Scale Rough Surface on the Basis of LJ Potential and Stochastic Processes

ZHUSheng-guangHUANGPing

(School of Mechanical and Automotive Engineering，South China University of Technology，Guangzhou 510640，Guangdong，China)

On the basis of the potential barrier of contact surfaces and the stochastic properties of contact surface morphology，a new calculation model of sliding friction force loaded on nano-scale rough surface is established. Then，the model is used to numerically calculate the sliding friction force of the same material friction pair with rigorous stationary process. The results show that the normal load is linear to the mean sliding friction force obtained by the presented model and is exponential to the average surface separation； and that the average normal force increases linearly with the standard deviation of roughness height distribution at the same average surface separation. In addition，the calculation results are consistent with the existing research conclusions，which means that the presented model is effective and feasible. With this model，the mean sliding friction force can be predicted according to the distribution parameters of contact interface morphology，material parameters and normal load.

LJ potential； stochastic process； random rough surface； sliding friction force； surface separation

1000-565X(2016)07-0055-06

2015-11-16

国家自然科学基金资助项目(51175182)

祝胜光(1982-)，男，博士生，主要从事纳米摩擦学研究.E-mail:119109670@qq.com

TH 117.2doi： 10.3969/j.issn.1000-565X.2016.07.009