复变函数的奇特性与应用刍议

孔凡东

(西安交通工程学院 思政与基础课部,西安 710300)



复变函数的奇特性与应用刍议

孔凡东

(西安交通工程学院 思政与基础课部,西安 710300)

复变函数源于实践，发展于抽象，它不但具有客观存在性，而且具有一些奇特性.作为工具，对于实践中一些问题的求解极具特色，给人们带来种种方便.

复变函数;奇异特性;应用刍议

数学是研究现实世界空间形式与数量关系的科学，它是一门理论性非常强的自然基础学科，具有高度的抽象性、应用的广泛性、严密的逻辑性等特点；它源于实践，发展于抽象，但是一旦抽象与具体事务联系在一起，它又是很具体的；复变函数从它的产生、发展，到比较完备的理论体系及在实际中广泛的应用也印证了这一点.复变函数作为一门工程数学，它具有很多奇特功能，使得其具有广泛的应用，成为解决现实世界问题的有力工具.

1　复数的客观存在性

在实数范围内，方程x2=-1是无解的.由于解方程的需要，最初由欧拉于1777年引入了一个称为虚数单位的量i，规定：i2=-1，从而使得±i为方程x2=-1的两个根.这种数说明它既不是无，也不比无大，又不比无小，所以不得不是虚的.它在很长一段时间里被许多人仅看作是一种空间的符号游戏，但是，正是它的引入，在实践中解决了诸如负数的对数等一些用别的方法解决不了的实际问题后，终于得到了人们的认可；由于它的真实有用，并且服从于数的规律，和任何实数的存在一样地具体，特别是1801年高斯采用平面上的点来表示复数后，使复数成为平面上点的化身，他把平面上图形之间复杂的几何关系变成了数的语言.因此，复数变得客观了，不再是“虚幻”的了，而是客观实在的数.事实上虚数和实数是对立的并在复数里得到了统一.因此高斯说，赋予这种虚的东西以一种同样客观的存在性，复数这个东西，开端是给幻想以一个符号，结尾却成为数学观念的系统整理必不可少的工具，成为解决繁难问题的有力工具，成为对相离甚远的一些数学分支找出其密切关系的一种方法[1].

2　复变函数的奇特性

3　复变函数的工具性

把数学定义为工具或十分看重它的工具性，是基于数学在解决实际问题中的作用；复变函数也是源于实际应用，因此它的应用性或工具性是不言而喻的.

3.1在电路与系统分析中的应用

交流电是现代文明的重要标志.我们使用的各类家电，不管是打电话还是看电视，都是信号或能量的传递，其中无时无刻不在使用着复数这个工具；因为人们为了更好地利用掌握电能，必须对电路或系统进行准确分析与计算，但是对正弦交流电路的分析(它是其他交流电的基础)，往往是十分繁难的.有了复数这个工具就使得对正弦交流电路的分析提供了极大方便；欲对时域中正弦稳态交流电路的分析，只需将时域电路模型转换成对应的称为相量模型电路，待分析完相量关系后，写出对应的时域量即可.这是由于正弦交流电路中正弦激励源Amsin(ωt+θ)对应Amej(ωt+θ)的虚部，即：

3.2在定积分中的应用

当然，使用留数时被积函数必须与某个解析函数对应，积分区间需化为沿闭曲线所围区域，且被积函数在实轴上无奇点以及其他一些条件，这里也不实例举证了.

复变函数理论中还有一个求高阶导数的重要公式：

这里f(z)在区域D内解析，C为D内简单闭曲线.它揭示了f(z)沿C的曲线积分与其中任意一点z0处的导数的关系，这在实函数积分中是没有的；此式揭示了f(z)的积分与求导可以互表，这为我们求积分带来极大方便，因为积分比求导一般要繁难.

3.3在几何上的应用

一般地，xOy平面曲线方程与复平面上复数方程间具有对应关系：

不仅如此，复平面上的复数还可以与空间球面上的点建立一一对应关系，即空间球面上任意一点可以用复平面上的点来表示.这里也不再细述.

4　结语

莱布尼茨说，圣灵在分析学这个奇迹上，在理想世界这个怪物上，在存在和非存在之间的这个两栖类上，找到了一条绝妙的出路，这就是-1的虚根[1].虚数的引入及复变函数的产生，为人们解决实际问题提供了一个强有力的工具，这源于它的实践性，它不但具有客观性而且具有很多实数不具备的奇特性，而对于实践中的一些问题的求解极具特色，给人们提供了种种便捷方法.

[1]方延明.数学文化[M].北京.清华大学出版社，2009.

[2]深圳大学复变函数与场论教研组.复变函数与场论简明教程[M].西安：西安电子科技大学出版社，2012.

[责任编辑马云彤]

On Singularity of Complex Function and Its Application

KONG Fan-dong

(Department of Ideological, Political and Basic Courses, Xi’an Traffic Engineering Institute, Xi’an 710300, China)

Complex function is originated from practice, and its development is attributed to abstraction. The type of function is not only objectively existent, but also singular as well. It provides people with distinctive solutions to problems in the practical life, which brings people much convenience.

complex function; singularity; application

1008-5564(2016)03-0025-03

2016-02-28

孔凡东(1956—)，男，河北保定人，西安交通工程学院思政与基础课部副教授，主要从事电路理论和高等数学研究.

O174.51

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