厘清错因，正确解题

陈广林

厘清错因，正确解题

陈广林

解一道题，出错的原因很多，有可能是计算出错，有可能是因为记错了公式，也有可能没有注意到题中的隐含条件.本文通过分析同学们作业出错原因，帮助大家找出一元二次方程解题需要注意的事项.

一、求一般式不能“一根筋”

例1将一元二次方程-3x2-2=-4x化成一般形式ax2+bx+c=0（a＞0）后，一次项和常数项分别是多少？

【学生错解】∵-3x2-2=-4x，∴-3x2+4x-2=0，

∴一次项为4x，常数项为-2.

【学生自述】我没有注意题中的a＞0，直接化成一般式，没有两边同时除以-1，使a＞0，通过这道题，我明白了要认真审题，看清题目的条件.

【正确解答】∵-3x2-2=-4x，∴3x2-4x+2=0，

∴一次项为-4x，常数项为2.

【教师点评】一元二次方程的一般形式是为后面学习一元二次方程求根公式准备的，它要求形式满足ax2+bx+c=0，所以它的结果不是唯一的，比如本题中错解和正解都是这个方程的一般形式，6x2-8x+4=0也是它的一般形式，而我们在解题时要看清题目的要求，选择最简便的那组数据.

二、选错解题方法，导致计算难度增加

例2解方程：（2x-1）2=（3-x）2.

【学生错解】4x2-4x+1=9-6x+x2，

3x2-2x-8=0，

（x-2）（3x+4）=0，

∴x-2=0或3x+4=0，

∴x1=2，x2=-.

【简洁解法】2x-1=3-x或2x-1=-（3-x），

【教师点评】计算错误确实是本题出错的原因之一，但另一个原因是该同学没有使用直接开平方法，而是试图把方程化成一般式，并采用了一个自己根本不熟悉，教材又不作要求的十字相乘法，把原本非常简单的一道题，做得特别复杂，导致结果出错.

例3当k为多少时，x2-2（k+1）x+k+7是x的完全平方式.

【学生错解】当k=-1时，x2+6是x的完全平方式.

【学生订正】∵x2-2（k+1）x+k+7是x的完全平方式，

∴k+7=［-（k+1）］2，∴k2+k-6=0.

∴（k+3）（k-2）=0.∴k1=2，k2=-3.

【简洁解法】∵x2-2（k+1）x+k+7是x的完全平方式，

∴x2-2（k+1）x+k+7=0有两个相等的实数根，

∴Δ=［-2（k+1）］2-4（k+7）=0.

∴k1=2，k2=-3.

【教师点评】该生刚开始，根本不知道本题怎么做.订正的时候根据“二次项系数为1，则常数项等于一次项系数一半的平方”来解决的.订正所采用的方法虽然做出了正确的结果，但是有其局限性，需要二次项系数为1.如果二次项系数不为1，则要先把二次项系数化为1.

但如果把这个问题变成一个方程问题，让完全平方的值为0，则这个方程可以化为（mx+n）2= 0的形式，即方程有两个相等的实数根，就不需要考虑二次项系数是否为1.

三、讨论一元二次方程的解之前，先保证方程是一元二次方程

例4关于x的方程kx2+（k+2）x+=0有两个不相等的实数根，求k的取值范围.

【学生错解】b2-4ac=（k+2）2-4k×＞0，

∴k2+4k+4-k2＞0，

∴4k+4＞0，∴k＞-1.

【正确解答】∵方程有两个不相等的实数根，

∴b2-4ac=（k+2）2-4k×＞0且k≠0，

∴k＞-1且k≠0.

【教师点评】使用根的判别式的前提是方程是一元二次方程，所以二次项系数不能等于零.

例5已知关于x的方程（k-1）x2+2kx+k=0有实根，求k的取值范围.

解得k≥0且k≠1时，方程有实根.

【教师点评】题设中交代方程有实根，并没有说明这个方程是一元一次方程还是一元二次方程，因此本题需要分两种情况讨论，一元一次方程有实根还是一元二次方程有实根.

【正确解答】当k-1=0，即k=1时，

方程化为2x+1=0，∴x=-

当k-1≠0时，如前面所解，得k≥0且k≠1.

∴当k≥0时，方程有实根.

四、应用根与系数关系的前提是一元二次方程有解

例6一元二次方程2x2-2x+1-3m=0的两个实数根是x1、x2，且x1、x2满足不等式x1·x2+2（x1+ x2）＞0，求实数m的取值范围.

【学生错解】x1·x2=，x1+x2=1.

∵x1·x2+2（x1+x2）＞0，∴+2＞0.

【教师点评】本题一元二次方程的两根满足x1·x2+2（x1+x2）＞0，但还不能保证这个方程一定有解，所以这个解法中还应补充Δ≥0，即m≥.所以本题的正确答案为≤m＜.

（作者单位：江苏省海安县瓦甸初级中学）