从作业中的一个错误谈谈配方

杨建

从作业中的一个错误谈谈配方

杨建

在本文开头，让我们先来看看同学们作业中的一个错误.

题目：设关于x的方程x2-2mx-2m-4=0.

证明：不论m为何值，这个方程总有两个不相等的实数根.

【学生解答】Δ=b2-4ac

=（-2m）2-4×（-2m-4）

=4m2+8m+16

=m2+2m+4

=（m+1）2+3＞0.

∴原方程有两个不相等的实数根.

这位同学在解决这道题目的时候，混淆了解一元二次方程的配方和代数式的配方.方程的配方是将方程两边同时除以二次项系数，达到将二次项系数化为1的目的；而代数式的配方只能将二次项系数提取到括号外，不能轻易去掉，否则代数式的变形就不是恒等变形.

下面让我们通过两个例题来比较一下方程配方和代数式配方的区别.

例1解方程3x2-2x-6=0.

解：把二次项系数化为1，得

两边开平方，得

例2求代数式3x2-2x-3的最小值.

解：把二次项系数化为1

原式=

∴代数式3x2-2x-3的最小值为

观察上面两个例子可以看出，方程配方和代数式配方有联系也有区别，两者配方的时候都是先将二次项系数化为1，然后补上常数项，常数项都是一次项系数一半的平方.

不同的是，方程将二次项系数化为1的方法是方程两边同时除以二次项系数，保证得到的方程与原来的方程是同解方程.而代数式将二次项系数化为1的方法是提取二次项系数，保证代数式恒等变形.

配方法除了可以解方程，求代数式的最大（小）值，在解决其他一些代数问题方面也有一些应用.请看下面几个例题.

应用1配方凑平方和为零的形式

【思路分析】x2-4x、y2+6y已具备完全平方的雏形，可将x2-4x、y2+6y通过配方法配成完全平方的形式，将已知条件的左边化成三个非负数的和去解.

【方法点拨】一个方程出现多个未知数，且方程中具备完全平方的雏形，这时可以考虑凑完全平方，将方程化成几个非负数和为零的形式，从而将一个方程化成多个方程来解决.

应用2利用配方法来分解因式

例4利用配方法分解因式.

（1）x2+8x+12；（2）x2+5x+6.

【思路分析】（1）x2+8x需要补充16可凑成完全平方式，原式可化为x2+8x+16-16+12，前两项可表示为（x+4）2，后两项可表示为22，然后运用平方差公式；

（2）x2+5x需要补充可凑成完全平方式，原式可化为前两项可表示为后两项可表示为然后运用平方差公式.

解：（1）原式=x2+8x+16-16+12

=（x+4）2-4

=（x+4+2）（x+4-2）

=（x+6）（x+2）；

【方法点拨】运用配方法分解因式，实际上就是将代数式中具备完全平方式雏形的部分配成完全平方，将代数式最终化为平方差的形式，应用平方差公式分解因式.

应用3应用作差法比较大小的时候，利用配方来确定差是正数还是负数

例5小李家今天来了一位客人，小李问这位叔叔：“是你的年龄大，还是我爸爸的年龄大？”

这位叔叔说：“你爸爸的年龄是你的平方数，我的年龄是你的6倍少10，你说谁的年龄大呢？”你能帮小李解答这个问题吗？

【思路分析】若设小李的年龄为x岁，则小李的爸爸的年龄为x2岁，客人的年龄为（6x-10）岁，比较x2与6x-10的大小即可，可以利用求差法通过计算x2-（6x-10）比较.

解：若设小李的年龄为x岁，则小李的爸爸的年龄为x2岁，客人的年龄为（6x-10）岁.

x2-（6x-10）=x2-6x+10=x2-6x+32-32+10=（x-3）2+1.

∵（x-3）2≥0，∴（x-3）2+1>0.

∴x2>6x-10.

即小李的爸爸的年龄要比这位客人的年龄大.

【方法点拨】作差法是比较两数（式）大小的常用方法，而凑完全平方是判定差是正数还是负数的常用方法.

配方法是数学里面一个非常重要的方法，运用配方法解决问题的时候，一定要注意等式的配方和代数式的配方是不同的，不能像文中开头那位同学一样，混淆代数式配方和方程的配方，导致题目出错.

（作者单位：江苏省海安县海陵中学）