提升数学教学的价值

张思明/北京大学附属中学副校长

提升数学教学的价值

张思明/北京大学附属中学副校长

高中数学教学活动的关键是启发学生学会数学思考，引导学生会学数学、会用数学，要树立以发展学生数学核心素养为导向的课程意识与教学意识，将核心素养的培养贯穿于数学教学的全过程。要创设有利于学生数学核心素养发展的教学情境，引导学生把握数学内容的本质，感悟数学的思想，提升学生的数学核心素养。提倡阅读自学、动手实践、自主探索、合作交流等多种学习方式，养成良好的学习习惯。通过综合实践活动，特别是数学建模和数学探究活动，促进学生应用能力和创新意识的发展。

数学核心素养是具有数学基本特征的、后天形成的、可以通过数学学习过程培养的、适应个人终身发展和社会发展需要的人的关键能力与思维品质。数学核心素养不是指具体的知识与技能，也不是一般意义上的数学能力，而是学生通过数学的学习、反思、积累、升华、孕育出来的，面对复杂、不确定的现实情境和问题时，能够综合运用特定的数学观念、知识、技能、思维模式、探究技能等，用积极的态度、科学的精神去分析问题、解决问题的过程中表现出来的综合性品质。作为一线教师，如何把提升学生数学素养的要求落实在日常教学中呢？

学生的有效学习是教学的本位和原点所在。教学改革的根本任务就是促进“以教为主”转向“以学为主”。要自觉改变单纯知识导向的教学模式，比如“一个定义、三项注意、几个例题、大量练习”的做法。教师的教学设计和组织要以学生学习中出现的问题、思维展开的走向、实践活动的推进、交流反思的反响等发展过程作为线索展开。

善于设计和组织有效的数学学习活动，让学生“卷入、投入、深入”其中，数学活动是素养的生成和发展的培养基础。数学活动的核心不是热闹的形式，而是学生思维参与的深度。活动的设计就是要给学生这样的机会，让学生有机会用数学的眼光观察现实世界，用数学的思维分析现实世界，用数学的语言表达现实世界。

善于利用问题情境激发、调动学生学习数学的动力源，拓展、推进学生数学学习的问题源。好的问题情境是学生数学“学习大餐”的好调料，它增味道、提营养、助消化。福建师范大学余文森教授对情境的教学价值有如下的描述：“鱼在水中才能活，盐融在水里才有味，这就是学科内容和情境之间形象的关系。情境可以使枯燥乏味的学科知识有丰富的附着点和切实的生长点，通过创设情境，激活学科知识，让学科教学具有更加深刻的意义；情境可以有效刺激学生，使学习过程不仅是对知识的加工和认知，而且能使学生产生情感的共鸣。情境要成为学生的思维发生处、知识形成处、能力成长处、情感涵育处，创设情境就是构建课程知识内容与学生的生活、经验、情感、生命的接壤之处。”

【活动案例一】课堂内的探究活动——正方体可能的截面

【情境】用一个平面去截正方体，截面的形状是什么样的？

操作建议：激发学生提出一个逐渐深入的问题串，引导学生的讨论走向深入，例如学生提出（或教师引导提出）：

（1）给出分类的原则（例如：按截面图形的边数分类）。按照你的分类原则，能得到多少类不同的截面？设计一种方案，找到截得这些形状截面的方法，并在正方体中画出示意图。

（2） 如果截面是三角形，你认为可以截出几类不同的三角形（分别按边，角分类）？为什么？

（3） 如果截面是四边形，你认为可以截出几类不同的四边形？为什么？

（4） 还能截出哪些多边形？为什么？

（5） 能否截出正五边形？为什么？

（6） 能否截出直角三角形？为什么？

（7） 有没有边数超过6的多边形截面？为什么？

（8） 是否存在正六边形的截面？为什么？

（9） 最大面积的三角形截面是哪个？为什么？

这是一个跨度很大的数学探究问题串，可以通过多种方法直接实施探究，比如教学条件比较薄弱的学校，可以让学生通过切萝卜块来观察，也可以通过向透明的正方体盒子中注入不同水量有色液体，来观察不同位置摆放时的液体表面形状。借助于信息技术（如几何画板）也可以直观快捷地展示各种可能的截面，但是不能代替证明。探究的难点是分类找出所有可能的截面，并实际找出、证明哪种形状的截面一定存在或一定不存在。可以鼓励学生通过观察、操作，形成猜想，再通过论证形成结论。它有利于培养学生观察发现、分类讨论、推理论证、直观想象、作图表达等能力，在具体情境中，提升直观想象、推理论证等核心素养，积累数学活动经验。

【活动案例二】课堂内外结合的探究——抛均匀硬币的相关计算和实验

【目的】通过实际计算和概率实验，更好地帮助学生理解随机事件，独立重复试验，概率和实验结果之间的关系，理解二项分布。

【情境】在概率概念的学习时，曾经有过概率1/2是否意味着两次抛掷中一定恰有一次正面向上的争论，并简单介绍过不能那样理解的理由。在学生学完二项分布后，我们可以再次利用抛均匀硬币这个实验。

可以提问学生：在100次掷硬币的试验中，恰有50次正面朝上的概率是多少？学生此时应该可以很快给出表达式，但这个表达式代表的数值究竟是多少？比0.5大还是小？与0.5的接近程度如何？概率1/2到底能帮助我们作出什么样的推断呢？借助于信息技术，不仅可以向学生展示8次投掷中恰有4次、50中恰有25次和100中恰有50次正面向上的概率，让学生发现当投掷次数越多时，恰有一半硬币正面向上的概率在逐渐降低的规律；还可以横向让学生感受一下当投掷50次时，正好有k次正面向上的概率到底会是一个怎样的规律。纵向和横向的双重比较可以使得学生更好地理解不确定中的规律性。

工具：计算器或计算机。

实际操作：1. 利用计算器或计算机完成如下计算：投掷一枚均匀硬币2n次，恰有n次正面向上的概率。

2. 利用计算器或计算机完成如下计算：

投掷一枚均匀硬币50次时，恰有k次正面向上的概率。

3. 如果有人告诉你，“在100次掷均匀硬币的试验中，恰有50次正面朝上的概率为8%”，你如何设计一个真实的“实验”，来验证这个结论？（建议在课后做）

本案例的素养着力点是——数据分析、数学计算和信息技术。

第1、2问题比较简单，用计算机或计算器的计算功能把两项分布的实际概率值计算出来，就可以让学生们感受到真实数据与直观想象的差异了。

第3问比较“麻烦”，首先要选一枚硬币，通过多组实验，如果发现正、反面向上的频率大体相等，就说明它是“均匀”的，不然就重新选择硬币。然后“连续掷100次硬币，记录向上的次数，这算完成一组实验”，再重复做若干组（比如做到100组）前面的实验，分别记录每组实验中硬币向上的次数，最后在这100组实验数据中数出50次正面向上的组数，记为a， a应该是8或者接近8。这个实验也可以用计算机模拟，因为可以设定硬币的向上概率为0.5，所以均匀性的验证可以不做。

【活动案例三】课堂内数学阅读的活动——自主完成三种语言的转化

【情境】 选择一个数学的重要概念，如函数的单调性，让学生自己试着完成下表的内容：

本案例的素养着力点是——数学抽象、逻辑推理、直观想象和学会学习。

数学概念学习时三种语言的自主转化是个难点，多是由教师用讲解代替学生的尝试和思考。其实，对比转化中出现的问题或错误是很好的生成性学习资源。经常让学生做这种转化练习，是教给了学生一种学习数学概念的方法。

【活动案例四】学会学习-----自己学着做章小结

【情境】在每章学习结束时，教师提出要求或给予示范后，可以要求学生自己完成章小结。给出的提示是，章小结最好有个人的特点和针对性，建议表述以下的内容（不强求一致）：

（1）本章重点知识（框图）

（2） 本章重要的数学思想/方法/技巧/……

（3） 本章自己选出的”核心词”

（4） 本章自己所犯的“错误”与新认识

（5）自己发现/感悟到的东西

（6）自己尚迷惑的问题

（7） 自己认为最有价值的10个例题或习题

……

本案例的素养着力点是——数学抽象、逻辑推理、直观想象和学会学习。

有的学生用思维导图或树形图做出了个性化的“小结”。教师还可以要求学生建立自己函数图像库、曲线图像库，并说明每类函数选取“入库代表”的理由。如“函数图象库”学生会选择中学学习所遇到的各类典型函数，“曲线图象库”学生会选择中学学习所遇到的各类典型曲线，以及课外阅读时发现的一些曲线。

【活动案例五】无字的证明

【情境】先看图1、2、3、4，理解“无字的证明”，即给出代数结果（公式）的直观解读；或者反过来，由一个图看出一个合理的代数结果（公式）。然后组织学生发现图5的“秘密”。

课后请学生自主在课本上、自己学过的数学内容里找出类似的“无字的证明”，随后在课堂上进行交流。

这是一个“数形结合”的体验式学习，有利于发展逻辑推理、直观想象素养。其实，“基本不等式”“柯西不等式”以及“数列”的不少求和公式等都有很好的直观解释。

【活动案例六】数学学习的创意活动

【情境1】发现并找出数学学习参考书中的非印刷性错误，指出错误的所在并予以更正。

我们希望学生找到的是书上真的错误，目的是让学生知道“白纸黑字”写的不一定都是对的，培养学生独立思考意识和批判性思维品质。一开始，学生认为这样的工作很困难，但后来他们发现这项工作相对容易，因为曾经有一段时间里质量不高的教学参考书在图书市场上比较多。

【情境2】 商场、超市找数学

让学生学会观察发现问题，这是比学知识更有挑战的事。学生们发现和提出了许多问题：

（1） 大包装的商品比小包装的商品相对更便宜，定价的依据是什么？

（2） 超市的监控头怎么安装能做到无死角且个数少？

（3） 打折销售的商家和买家策略各自是什么？

（4） 超市的收银口，在不同的时段最有效的安排是开几个？

（5） 减少找零障碍的办法有哪些？

（6）每个大超市logo的生成曲线是什么？

（7） 蚊香是什么曲线？为什么做成这么大的一盘？

（8） 鞋带中的不寻常？假设，端点甩出的鞋带是一样长的，哪种鞋带的系法省鞋带？不计算可以证明吗？

……

【情境3】 发现数学的美

这是完全开放的假期活动作业，学生自由表达自己审美中的发现，体会数学的文化价值。一位学生利用函数的知识，找出了扑克牌的四种花色的轮廓函数，并做出了图像；另一位学生找出了世界各国勋章的轮廓曲线……这组案例是相对开放、自主程度比较高的活动设计，有利于学生综合素养的养成和发展，给学生预留了充足的个性表现和自主创新空间。

通过以上这六个数学活动案例，我们试图说明，一线教师在落实数学核心素养的教学设计上是大有可为的，数学活动设计就是一个好抓手。

同时，我们也应该认识到，学科的核心素养绝不仅仅是掌握学科的知识点和技能，更重要的是在学科知识学习中表现出的人格特征和智慧特征，是学科内在和潜在的价值、精神和文化在学生身上的体现。只要我们心里有学生，有对核心素养的追求，从我们的课堂做起，勤积累，善发力，及时反思，就会让我们的课堂充满数学智趣，收获学习和成长的快乐！