磁流变弹性体吸振器的拓频控制设计与simulink模拟优化

李绿洲,丁建宁,田　煜

(1.江苏大学 微纳米科学技术研究中心，江苏　镇江　212013；2.清华大学 摩擦学国家重点实验室，北京　100084)



磁流变弹性体吸振器的拓频控制设计与simulink模拟优化

李绿洲1,2,丁建宁1,田煜2

(1.江苏大学 微纳米科学技术研究中心，江苏镇江212013；2.清华大学 摩擦学国家重点实验室，北京100084)

磁流变弹性体因其剪切模量可控、稳定性好且响应速度快，逐渐被应用于动力吸振器，而以定点理论推算的最优阻尼比和调谐比不适用于主系统含阻尼、振子固有频率变化的吸振系统。根据磁流变弹性剪切模量随磁场强度变化而变化，子系统振子固有频率随之变化的原理，设计优化了双自由度主系统含阻尼的磁流变弹性体吸振器数学模型，通过磁场强度的改变可实现吸振的目的。基于Matlab simulinkd模块，为实际应用构造了时域、频域模型，模拟分析了吸振器的工作原理和拓频设计，为磁流变弹性体的半主动吸振器的应用提供了设计依据。

磁流变弹性体;半主动动力吸振器;Matlab/simulink;振动控制;频率跟随

振动控制是振动工程领域内的重要分支，是振动研究的出发点与归宿。动力吸振作为一种减振方法，1909年被首次应用到实际工程中[1]。但直到1928年ORMONDROYD等[2]才推导出系统的动力吸振原理，他们首先提出了吸振器优化设计的不动点理论。HAHNKAMM[3]基于无阻尼单自由度系统和附加在其上的无阻尼吸振器推出了最优调谐比设计公式。1946 年，BROCK[4]给出了最优阻尼的关系，至此，动力吸振器发展成一个较为完整的体系。根据定点理论[5-6]可知，吸振器振子质量越大，定点振幅倍率越小，振动控制效果越好。但实际应用时要考虑重量、体积等因素，不可能任由质量无限增大。实际工况中主系统因含有阻尼，会导致定点理论不成立，从而基于不动点理论计算最优同调频率和最优阻尼比来实现最优减振的方法不再适用。虽然主动和半主动动力吸振器均可通过频率跟随的方式实现吸振，但主动动力吸振器响应时间长成本高较难应用于实际工程。半主动式动力吸振器(又称自适应动力吸振器)既有被动式吸振器结构简单、性能稳定的优点，又具备主动式吸振器易于控制的特性，而且可在一定频带范围内实现对主系统有效减振。根据外界激振频率的变化，适时地调整某些参数(如刚度、阻尼)，保持自身固有频率始终与外界激振频率一致，从而将外界作用于主系统的振动能量转移到吸振器上，实现对主系统的减振作用。

磁流变弹性体(MRE)是一种将微米尺度的磁性颗粒添加到高分子聚合物中的复合材料。与普通磁流变液相比，磁流变弹性体具有可控、可逆、响应快、稳定等优点，满足减振吸振的设计要求，为动力吸振提供了途径。中国科技大学的龚兴龙等对磁流变弹性体吸振器进行了系统的研究和总结[7-10]，国内外其他研究者也开始尝试将磁流变弹性体结合进吸振器的实际应用中[11-12]。然而关于磁流变弹性体吸振器工作频率调控的实现方法和仿真研究却很匮乏。本文在已有振动理论、Voiget式DVA模型和磁流变弹性动态参数基础上，研究磁流变弹性体动力吸振器的工作原理，围绕主系统带阻尼、子系统刚度可调的双自由度磁流变弹性体吸振器模型，建立数学模型。

磁流变弹性体动力吸振器系统运动学微分方程为

(1)

利用系统运动微分方程和系统传递函数方程，结合MATLAB/Simulink模块设计了一种磁控调频的半主动控制系统模型。并以此讨论该系统的工作原理，用时域模型直观表征系统的实时工作状态，用频域模型解析拓频方法即在通过施加不同磁场强度来改变弹性体剪切模量，而其固有频率、弹性体刚度也随之改变，从而实现频率跟随。并讨论了磁流变弹性体剪切模量和其他各动态参数性能随磁场变化的情况，为实现磁流变弹性体吸振器的工业设计和产业化等提供理论基础。

1　磁流变弹性体动力吸振器模型

1.1双自由度半主动吸振器模型

磁流变弹性体吸振器模型为主系统含阻尼双自由度半主动吸振器模型，如图1。其系统的运动学微分方程如式(1)所示。主系统由m1、k1和c1构成，分别代表主系统的质量、刚度和阻尼，子系统由m2、k2和c2构成，分别代表子系统的质量、刚度和阻尼。其中，子系统由磁流变弹性和振子组成，而子系统的刚度和阻尼则受磁流变弹性体的物理性质决定。磁流变弹性的刚度k2随磁场强度改变而变化，对于自调谐式吸振器,低阻尼的磁流变弹性体会增强其吸振效果，所以文中模型假定弹性体子系统的阻尼为定值及c2。因此，磁流变弹性体吸振器模型是主系统(m1、k1、c1)受力q=F0sinωt激励，幅值为F0，子系统刚度(k2)可调的半主动吸振器模型。

图1　半主动式磁流变调频动力吸振器模型Fig.1　The system of adaptive dynamic vibration absorber(DVA)

设x1=A1ej(ωt+θ1)、x2=A2ej(ωt+θ2),而系统无量纲传递函数即吸振器作用如下主系统的振幅倍频为：

(2a)

式中:

传统被动式吸振器系统中，振子刚度k2不可调，且质量比μ和主系统阻尼比ζ1均是定值，谐振峰的幅值和固有频率比以及激励频率与主系统固有频率比无关，仅能依靠固定点理论设定子系统的最优阻尼比来实现最优减振。但是主系统存在阻尼时，固定点理论就不适用了，且外界激励力频率可能发生变化，因此传统吸振器在很多实际情况中无法实现有效吸振。半主动控制吸振器(自适应动力吸振器)在振动控制中，实时监测外界激励频率，根据外界激励频率的变化，调整自身参数以使振子固有频率与外界激振频率保持一致，从而在有效频率范围内对主系统减振。吸振器自身固有频率可以通过调节振子质量和刚度决定，由式(2b)可以看出改变振子质量会致使多个参数同时变化，并不利于观测系统模拟过程和实际应用中各模块的独立。因此半主动控制吸振器多采用调节控制振子刚度来实现变频，而具备可控性、可逆性、响应快且稳定多项优点的磁流变弹性体材料逐渐成为吸振器振子组成的优良选择。

1.2磁流变弹性体模块

(3)

式中:G为磁流变弹性体的剪切模量，A为剪切面积，h为磁流变弹性体厚度。磁流变弹性体的剪切模量由两部分组成如式(4)，G0为无磁场时弹性体自身的初始剪切模量，Gd则为施加磁场后剪切模量的增量。以双极模型为基础，磁流变弹性体的磁致剪切模量增量如式(4)[13]。

G=G0+Gd

(4)

(5)

(6)

结合式(2)和式(3)可知振子固有频率增量随磁致剪切模量增量变化规律如式(7-1)，然而当初始剪切模量远大于磁致剪切模量增量即Gd≪G0时，变化规律则为式(7b)[7]。

(7a)

(7b)

图2　磁流变弹性体动力吸振器时域模型Fig.2　The time-domain model of MRE dynamic vibration absorber

2　弹性体吸振器Simulink仿真

表1　仿真系统计算参数

(a)　整体模型

(b)　一般情况下ω2的计算模块　　　　　　　　(c)　Gd≪G0时ω2的计算模块图3　磁流变弹性体动力吸振器频域模型Fig.3　The frequency-domain model of MRE dynamic vibration absorber

由于磁流变弹性体吸振器振子的刚度可受施加磁场强度控制，根据式(6)与和表1的参数可知磁饱和状态下的最高磁致剪切模量增量。结合式(5)可知等效饱和磁场强度为700 mT，磁场强度调节范围为0～700 mT。根据已知参数可知弹性体最大磁致剪切模量增量Gd(max)为0.72，由式(3)求得对应振子刚度最大值k2(max)约为0.82，最小值k2min为0.10，因此范围则约为0.10～0.82。再由式(7)可知吸振器的工作频率范围为1.00～1.38 rad/s，当激振频率ω在其范围内，吸振器能达到减振效果。图4(a)为激励频率ω为1 rad/s时，无吸振器单自由度系统和有磁流变弹性体吸振器系统的主系统位移随激励时间变化曲线，含吸振器系统通过将外磁场强度降为0 mT使振子固有频率与激励频率一致以达到减振效果。图4(b)为激励频率ω为1.38 rad/s时，无吸振器单自由度系统和有磁流变弹性体吸振器系统的主系统位移随激励时间变化曲线，外磁场强度为700 mT。

图4　主系统位移曲线Fig.4　Displace curve of the main system

图5为不同磁场强度下系统的幅频响应曲线，可以看出幅值响应点随磁场强度增大而向右便宜，由于振子刚度随磁场强度变化为非线性关系，因此向右偏移速度也为非线性。激励频率为1.00 rad/s时，振动响应幅值降低了33 dB，稳定后的振动位移幅值降低了近85.2%；激励频率为1.38 rad/s时，振动响应幅值降低了54 dB，稳定后的振动位移幅值降低了近96.6%。

图5　不同磁场强度的幅频响应曲线Fig.5　Amplitude frequency response curve under magnetic field intensity of 0～638.4 mT

根据图5所示曲线可以看出，若激励频率在磁场强度控制可调的范围内，磁流变弹性体动力吸振器均可有效实现减振效果。联立减振频带范围内的幅频曲线，即可得到图6，如图6所示，激励频率约在1.00～1.38 rad/s范围内可通过对应调节约在0～700 mT范围内的磁场强度以改变振子固有频率达到跟踪激励频率效果，从而实现磁流变弹性体动力吸振器的半主动控制(自适应)。该Simulink仿真整体模型的设计为磁流变弹性体动力吸振器生产提供参考。

图6　拟合后的幅频响应曲线Fig.6　Amplitude frequency response curve fitting

3　结　论

本文在已有的振动理论、Voiget式DVA模型和磁流变弹性动态参数性能基础上，围绕主系统带阻尼子系统刚度可调的双自由度磁流变弹性体吸振器模型，建立了数学模型。利用系统运动微分方程和系统传递函数方程，结合MATLAB/Simulink模块设计了一种磁控调频的半主动控制系统模型。并以此讨论该系统的工作原理，用时域模型直观表征系统的实时工作状态，用频域模型解析拓频方法即在通过施加不同磁场强度来改变弹性体剪切模量，而其固有频率、弹性体刚度也随之改变，从而实现频率跟随。就特定参数情况下，设计了通过直接调节磁场强度大小达减振效果的软件模型，并具体讨论了工作原理，进行了参数分析。本工作从模拟的角度预测和验证磁流变弹性体用于吸振器的可行性和实际工作状况，为产品实际生产和维护提供了软件工具，为实现磁流变弹性体动力吸振器的工业设计和产业化等提供理论基础。

[1]FRAHM H.Device for damping vibrations of bodies[P].U.S:989958,1909.3.

[2]ORMNODROYD J,DEN HARTOG J P.The theory of the dynamic vibration absorber[J].Journal of Applied Mechanics,1928,50:9-22.

[3]HAHNKAMM E.Die dampfung von fundamentschwingungen bei veranderlicher erregerfrequenz[J].Ingenieur Archiv,1933,4:191-201.

[4]BROCK J E.A note on the damped vibration absorber[J].ASME Joural of Applied Mechanics,1946,68:A-284.

[5]DEN HARTOG J P.Mechanial vibrations [M].New York:McGraw-Hill Book Company,fourth edition,1956.

[6]张阿舟，诸德超，姚起航,等.实用振动工程-振动控制与设计[M].北京：航空工业出版社，1997.

[7]DENG Huaxia,GONG Xinglong,WANG Lianhua.Development of an adaptive tuned vibration absorber with magnetorheological elastomer [J].Smart Mater.Struct,2006,15:N111-N116.

[8]ZHANG Xianzhou,LI Weihua,GONG Xinglong.An effective permeability model to predict field-dependent modulus of magnetorheological elastomers[J].Communications in Nonlinear Science and Numerical Simulation,2008,13:1910-1916.

[9]龚兴龙，邓华夏，李剑锋,等.磁流变弹性体及其半主动吸振技术[J].中国科学技术大学学报,2007,37(10):1192-1203.

GONG Xinglong,DENG Huaxia,LI Jianfeng,et al.Magnetorheological elastomers and corresponding sem-i active vibration absorption technology[J].Journal of University of Science and Technology of China,2007,37(10):1192-1203.

[10]龚兴龙，李剑锋，张先舟,等.磁流变弹性体力学性能测量系统的建立[J].功能材料,2006,5:733-735.

GONG Xinglong,LI Jianfeng,ZHANG Xianzhou,et al.Development of testing system for properties of magnetorheological elastomers[J].Journal of Functional Materials,2006,5:733-735.

[11]秦春云.基于磁流变弹性体(MRE)的半主动纵振吸振器研究[D].上海：上海交通大学，1983.

[12]方坤伦.磁流变弹性体吸振器[D].南京：南京理工大学，2013.

[13]DAVIS L C.Model of magnetorheological elastomers [J].Appl.Phys,1999,85:3348-3351.

[14]GAO Qiang,DUAN Chendong,FANG Xiangbo.Resonance reduction of primary system using variable mass tuned vibration absorber[J].Noise Control Engineering Journal,2014,62(7)：138-144.

Frequency-widening control design and optimization with Simulink simulation for MRE vibration absorbers

LI Lüzhou1,2,DING Jianning1,TIAN Yu2

(1.Micro /Nano Science and Technology Center,Jiangsu University,Zhenjiang 212013,China;2.The State Key Laboratory of Tribology,Tsinghua University,Beijing 100084,China)

Due to their controllable shear modulus,good stability and fast response speed,magnetorheological elastomers (MREs)are gradually applied in dynamic vibration absorbers.Shear modulus of MRE changes with variation of magnetic field intensity,and the natural frequency of the corresponding vibration subsystem changes with shear modulus of MRE.But the optimal damping radtio and the optimal frequency-tuning ratio based on the fix-point theory are not suitable to the vibration-absorbing system whose main system contains a damping and whose subsystem has a variable natural frequency.Here,the mathmatical model of a 2-DOF MRE vibration absorber containing a damping was designed and optimized.This MRE vibration absorber could work by changing magnetic field intensity.The time-domain model and the frequency-domain model for the actual application of a MRE vibration absorber were sonstructed based on Matlab Simulink.The working principle and the frequency-widening control design design of a MRE vibration absorber were analyzed with Simulink simulation.design basis for the application of MREs in semi-active vibration absorbers.

magnetorheological elastomer (MRE); adaptive vibration absorber; Matlab/simulink; vibration control; frequency follow

国家自然科学基金(51175281)

2015-06-11修改稿收到日期：2015-08-06

李绿洲 男，硕士生，1991年8月生

丁建宁 男，博士，教授，1966年3月生

TB123；TH123+.1

A DOI:10.13465/j.cnki.jvs.2016.17.029