四边弹性约束FGM矩形板面内自由振动的DQM求解

蒲　育，赵海英，滕兆春

(1.兰州工业学院 土木工程学院，兰州　730050；2.兰州理工大学 理学院 工程力学系，兰州　730050)



四边弹性约束FGM矩形板面内自由振动的DQM求解

蒲育1，赵海英1，滕兆春2

(1.兰州工业学院 土木工程学院，兰州730050；2.兰州理工大学 理学院 工程力学系，兰州730050)

假设矩形板为正交各向异性,材料的物性沿矩形板的宽度方向按幂律连续分布，基于二维线弹性理论，建立了四边弹性约束功能梯度材料(Functionally Graded Material,FGM)矩形板面内自由振动的控制偏微分方程。控制方程为复杂耦合的变系数偏微分方程，采用微分求积法(Differential Quadrature Method,DQM)数值研究了四边弹性约束FGM矩形板面内自由振动的无量纲频率特性。通过设置弹性刚度系数为0或∞，梯度指数为0，问题退化为各种典型边界下矩形板的面内自由振动，与已有的各向同性矩形板自振频率结果进行比较，结果表明分析求解方法行之有效。最后考虑了FGM矩形板边界条件、长宽比、梯度指数及刚度系数对自振频率的影响。

FGM矩形板；面内自由振动；弹性约束边界；无量纲频率；微分求积法

平板的振动表现为三种波形：弯曲波，纵波(p波)和剪切波(s波)。板的面外振动通常表现为弯曲波，而面内振动表现为纵波和剪切波。由于面内振动的频率通常超出了起主导作用激励的频带，因此，许多学者从不同的角度大量研究了板的弯曲和面外振动，对于板面内自由振动的研究相对较少。近些年，随着板结构高频振动在工程中应用，学者们发现面内振动不仅在高频振动及能量传播中起主导作用，且影响低频振动[1-3]。因此，面内振动问题也是动力学中的一个重要研究方向。

瑞利在1894年首次求得了四边简支矩形板面内自由振动的精确解。BARDELL等[4]首先应用Rayleigh-Ritz法获得了三种常见边界条件(夹紧、自由、简支)矩形板面内自由振动的频率及相应的振型。FARAG等[5]分析求解了C-C-C-C、C-C-C-F和C-F-C-F这三种边界矩形板的面内自由振动问题，并与有限元法得出的数值结果进行了比较。而WANG[6]基于变分原理，采用Kantorovich-Krylov法求解了C-C-C-C、C-F-C-F和C-C-C-F这三种边界矩形板的面内自由振动。GORMAN[7]首次采用叠加法分析了其中一组对边简支，另一组对边自由或夹紧矩形板的面内自由振动，并且给出了两种不同的简支边界条件，用符号SS1和SS2表示。由于面内振动的特征值问题是两个耦合微分方程，不易求解，因此直到2006年GORMAN[8]首次获得了其中一组对边简支，另一组对边自由或夹紧矩形板的面内自由振动的精确解和相应的振型，但存在重频、漏频和识别模态问题。DU等[9]采用二重Fourier级数法，首次研究了弹性约束边界条件下矩形板的面内自由振动。XING等[10]采用分离变量法获得了至少一组对边简支矩形板面内自由振动频率的解析解和相应的振型，其中包括SS1-C-SS2-F和SS2-SS1-SS2-F矩形板的求解。之后，LIU[11]采用分离变量法，得到了一组对边简支，另一组对边为任意边界矩形板的面内自由振动频率的解析解及相应的振型。最近，滕兆春等[12-13]采用DQM数值求解了新型材料FGM圆环板面内自由振动问题。

本文首次建立了四边弹性约束FGM矩形板面内自由振动的控制偏微分方程，采用二维DQM数值研究了任意边界各向同性矩形板及FGM矩形板面内自由振动的无量纲频率特性。结果显示：本文采用的分析方法行之有效，且具有易收敛、精度高、工作量小等优点，并得出一些有益的结论。

1　面内自由振动微分方程及边界条件

1.1面内自由振动微分方程的建立

如图1所示，考虑四边弹性约束下长为a，宽为b，厚为h的金属-陶瓷功能梯度材料薄矩形板，其材料性质沿宽度方向呈梯度连续分布。板的上侧表面为陶瓷，下侧表面为金属。其弹性模量E，泊松比μ，密度ρ等物性参数均是坐标y的函数，用统一式可表示为：

(1)

式中：p为梯度指数，x方向位移分量为u，y方向位移分量为v，建立如图1所示的坐标系，基于二维线弹性理论，

物理方程：

(2)

式中：Ci j为材料的物性系数，且满足以下关系式：

(3)

将几何方程代入物理方程，再将物理方程代入运动方程可得FGM矩形板面内自由振动的微分方程为：

(4)

图1　弹性支撑FGM矩形板的几何尺寸Fig.1　Geometry of a FGM rectangular plate with elastic edge supports for in-plane vibration

1.2各种边界条件

1.2.1四边弹性约束边界条件：

在x=0处，

σx=knx0u，τxy=kτx0v

(5)

在y=0处，

σy=kny0v，τxy=kτy0u

(6)

在x=a处，

σx=-knx1u，τxy=-kτx1v

(7)

在y=b处，

σy=-kny1v，τxy=-kτy1u

(8)

式中：knx0，knx1分别为x=0，x=a处弹簧法向刚度系数，kτx0，kτx1分别为x=0，x=a处弹簧切向刚度系数，其余刚度系数，kny0，kny1，kτy0，kτy1表示的含义与之类似。

1.2.2各种典型边界条件

对弹性约束边界作适当的处理(通过改变矩形板四边的刚度系数)，可得各种典型边界条件。例如，对左边界x=0而言：

令knx0=∞，kτx0=∞可得夹紧边界(C)；

令knx0=0，kτx0=0可得自由边界(F)；

令knx0=0，kτx0=∞可得简支SS1边界；

令knx0=∞，kτx0=0可得简支SS2边界。

其他边界与之类似，这里省略。对这四种边界对应组合，可得各种典型边界条件。

2　控制微分方程及边界条件的无量纲化

2.1控制微分方程的无量纲化

FGM矩形板面内位移分量可设为：

u(x,y,t)=U(x,y)eiωt,

v(x,y,t)=V(x,y)eiωt

(9)

其中t为时间，这里i为虚数单位，ω为固有频率。

无量纲化如下：

(10)

其中Ω为无量纲频率，s为长宽比。

将式(9)，(10)代入式(4)可得控制微分方程：

(11)

2.2边界条件的无量纲化

将式(2)，式(9)及式(10)代入边界条件式(5)～式(8)可得无量纲化的位移边界条件式(12)～式(15)：

ξ=0处：

(12)

η=0处：

(13)

ξ=1处：

(14)

η=1处：

(15)

这里p =x,y,q=0,1

3　FGM矩形板面内自由振动的特征值

3.1控制微分方程及边界条件的离散化

由于控制微分方程式(11)及边界条件式(12)～(15)为耦合的变系数偏微分方程组，求得解析解非常困难，因此本文采用数值方法-DQM求解。参考文献[12-14]，在DQM中，矩形板在x方向和y方向的节点划分分别采用如下的公式：

(16)

式中：Nξ和Nη分别为ξ方向和η方向的节点总数。

(17)

(18)

η方向与ξ方向的权系数矩阵类似，这里省略。

微分方程式(11)用DQM离散化后为：

(19)

这里

其中i=2,3,…,Nξ-1；j=2,3,…Nη-1

边界条件式(12)～(15)离散化后分别为：

(20)

式中:i=1，j=2,3,…，Nη-1

Kny0Vij=0

Kτy0Uij=0

(21)

式中:i=1，2,…，Nξ，j=1

Knx1Uij=0

Kτx1Vij=0

(22)

式中：i=Nξ，j=2,3,…，Nη-1

(23)

式中：i=1,2,…，Nξ，j=Nη

3.2FGM矩形板面内自由振动的特征值问题

方程式(19)与式(20)～(23)对应联立后便构成了各种边界条件FGM矩形板面内自由振动的边值问题，该边值问题可用分块矩阵形式表示为[14]：

(24)

由式(24)消去边界自由度{wd}可得弹性约束下FGM矩形板面内自由振动的特征值问题：

[S]{wb}-Ω2[I]{wb}={0}

(25)

式中:[S]=[Sbb]-[Sbd][Sdd]-1[Sdb]，[I]为单位阵，特征向量{wb}描述了弹性约束下FGM矩形板面内自由振动的振型。

4　计算结果与分析

算例中，FGM矩形板材料的物性系数分别取为Em=122.7 GPa，μm=0.288 8，ρm=4 420 kg/m3，Ec=132.2 GPa，μc=0.333，ρc=3 657 kg/m3，节点数Nξ=17，Nη=13，编写MATLAB程序可获得方程式(25)特征值问题的无量纲频率。各种边界条件的组合顺序从边界x=0→y=0→x=a→y=b边界，当p=0，μc=0.3，表1～表3分别给出了C-C-C-C，F-F-F-F，SS1-SS1-SS1-SS1边界不同长宽比各向同性矩形板面内自由振动的前6阶无量纲频率，并与文献[4，9]的数值结果进行了比较。表4～表7分别给出了SS1-F-SS1-F、SS1-C-SS1-C、SS2-F-SS2-F、以及SS2-C-SS2-C边界下不同长宽比矩形板面内自由振动的前6阶无量纲频率，并和文献[9]的数值结果进行了比较。令刚度系数Knx0=Kny0=Kτx1=Kτy1=K，Kτx0=Kτy0=Knx1=Kny1=∞，由此可获得更为复杂的一种弹性约束边界SS1-SS1-SS2-SS2，该边界在x=0及y=0处受法向弹簧支撑，在x=a及y=b处受切向弹簧支撑。表8则给出了四边弹性约束下SS1-SS1-SS2-SS2边界不同刚度系数正方形板的前6阶无量纲频率，且和文献[9]的结果进行了比较。由表8可知，自振频率随刚度系数的增大而增大。值得注意的，当刚度系数K=∞时，SS1-SS1-SS2-SS2边界退化为C-C-C-C边界。由表1～表8计算结果可见：不论对各种典型边界，还是弹性约束边界，本文得出的结果与其非常接近，取较少的节点数就能满足精度所需，工作量较小，且分析方法对各种边界条件都有效，同时，说明了DQM对于研究本问题的适用性与优越性。

表1　C-C-C-C边界不同长宽比矩形板的频率系数(μc=0.3)

表2　F-F-F-F边界不同长宽比矩形板的频率系数(μc=0.3)

表3　SS1-SS1-SS1-SS1边界不同长宽比矩形板的频率系数(μc=0.3)

表4　SS1-F-SS1-F边界不同长宽比矩形板的频率系数(μc=0.3)

表5　SS1-C-SS1-C边界不同长宽比矩形板的频率系数(μc =0.3)

表6　SS2-F-SS2-F边界不同长宽比矩形板的频率系数(μc=0.3)

表7　SS2-C-SS2-C边界不同长宽比矩形板的频率系数(μc=0.3)

表8　SS1-SS1-SS2-SS2边界不同刚度系数正方形板的无量纲频率(μc=0.3,s =1)

作为算例，针对金属-陶瓷FGM矩形板，表9和表10，分别给出了SS1-C-SS1-C，SS1-SS1-SS2-SS2两种边界下，不同长宽比FGM矩形板的前10阶无量纲频率。对SS1-C-SS1-C边界而言，须令刚度系数Knx0=Knx1=K，其他的刚度系数为∞。若令Kτx0=Kτx1=K，Knx0=Knx1=∞，Kny0=Kτy0=Kny1=Kτy1=0，可得SS2-F-SS2-F边界，表11给出了SS2-F-SS2-F边界FGM正方形板的前10阶频率系数。

图2　不同边界下长宽比s与FGM矩形板基频Ω1的关系曲线(p=1)Fig.2　The fundamental frequency parameter Ω1 of FGM rectangular plates versus s for different boundary conditions

为了研究长宽比、边界条件及梯度指数对自振频率的影响，为此，图2和图3给出了长宽比s=[1.2,3.0]，刚度系数K=0，梯度指数p=1时，9种不同边界下长宽比对FGM矩形板基频的影响。由图2和图3可以看出，长宽比在此范围内，基频Ω1随s的增大而增大的板分别为：C-C-C-C板、SS2-C-SS2-C板、C-C-C-F板、SS1-C-SS1-C板、C-C-F-F板、SS1-SS1-SS2-SS2板，基频Ω1随s的增大而减小的板分别为：F-F-F-F板与C-F-C-F板。因此，在不同边界条件下，长宽比对自振频率的影响不同，有增有减，值得注意的是，SS1-SS1-SS1-SS1板的基频随s的增大而基本保持不变，影响机理解释有待进一步的研究。

图3　不同边界下长宽比s与FGM矩形板基频Ω1的关系曲线(p=1,K=0)Fig.3　The fundamental frequency parameter Ω1 of FGM rectangular plates versus s for different boundary conditions

图4和图5反映了9种不同边界下，梯度指数p对FGM正方形板基频Ω1的影响，由图可知，对各种边界而言，基频Ω1随梯度指数p的增大而减小。这与事实相符，随着梯度指数的增大，板中陶瓷的成分减少，因此板的整体刚度减小了。并且，由图4和图5可知，当梯度指数在0～10之间变化时，基频减小较快；当梯度指数p大于10以后，基频变化不大；当p增大到一定值时，频率趋于一常数。

图4　不同边界下梯度指数p与FGM正方形板基频Ω1的关系曲线(s=1)Fig.4　The fundamental frequency parameter Ω1 of FGM square plates versus p for different boundary conditions

图5　不同边界下梯度指数p与FGM正方形板基频Ω1的关系曲线(s=1,K=0)Fig.5　The fundamental frequency parameter Ω1 of FGM square plates versus p for different boundary conditions

图6反映了SS1-SS1-SS2-SS2边界下刚度系数K对FGM正方形板基频Ω1的影响。K=[10-1,103],s=1.0,横坐标采用指数划分，由图6不难看出：对不同的梯度指数，Ω1都随K的增大而增大，当刚度系数增大到一定值，基频基本保持不变。这表明当弹性刚度K大到一定值时，弹性刚度过渡到“刚性”状态，K对Ω1的影响就非常小了。即系统的弹性刚度越大，频率越高。约束越强，频率也越高。

图6　不同梯度指数SS1-SS1-SS2-SS2边界下刚度系数K与FGM正方形板基频Ω1的关系曲线(s=1)Fig.6　The fundamental frequency parameter Ω1 of SS1-SS1-SS2-SS2 FGM square plates versus K for different graded index

sΩ123456789100.51.50062.09512.10342.83492.84243.47213.56523.62173.64974.00201.02.10603.09473.61583.67244.11704.85365.21485.36875.39815.53681.52.84274.16874.36854.94925.29816.07936.20286.31837.51337.76882.03.63154.74865.74776.07336.70406.92756.95397.80788.13218.8012

表10　SS1-SS1-SS2-SS2边界不同长宽比FGM矩形板的无量纲频率(p=1,K=1)

表11　SS2-F-SS2-F边界不同刚度系数FGM正方形板的无量纲频率(p=1,s =1)

5　结　论

建立了四边弹性约束FGM矩形板的面内自由振动方程，采用二维DQM数值研究了任意边界各向同性矩形板及FGM矩形板面内自由振动的无量纲频率特性。结果显示，本文的分析方法行之有效，且工作量小。且结果表明：

(1)对于不同的边界，长宽比对自振频率的影响不同，有增有减。特别地，SS1-SS1-SS1-SS1板的基频随长宽比的增大而基本保持不变。

(2)随着梯度指数的增大，陶瓷的成分减少，板的整体刚度减小，因此，板的自振频率随梯度指数的增大而减小。当梯度指数足够大，频率趋于一常数。

(3)自振频率随弹簧刚度的增大而增大，当刚度系数增大到一定值，频率趋于一常数，即系统的弹性刚度越大，频率越高。约束越强，频率也越高。同时，本文的分析方法可为新型材料板结构的动力学行为研究提供一定的参考。

[1]LYON R H.In-plane contribution to structural noise transmission[J].Noise Control Engineering Journal,1986,26(1):22-27.

[2]LANGLEY R S,BERCIN A N.Wave intensity analysis of high frequency vibration[J].Philosophical Transactions of the Royal Society of London A,1994,346:489-499.

[3]BERCIN A N.An assessment of the effect of in-plane vibration on the energy flow between coupled plates[J].Journal of Sound and Vibration,1996,191(5):661-680.

[4]BARDELL N S,LANGLEY R S,DUNSDON J M.On the free in-plane vibration of isotropic rectangular plates[J].Journal of Sound and Vibration,1996,191(3):459-467.

[5]FARAG N H,PAN J.Free and force in-plane vibration of rectangular plates[J].Acoustical Society of America,1998,103(1):408-413.

[6]WANG G,WERELEY N M.Free in-plane vibration of rectangular plates[J].AIAA,2002,40(5):953-959.

[7]GORMAN D G.Free in-plane vibration analysis of rectangular plates by the method superposition[J].Journal of Sound and Vibration,2004,272(3):831-851.

[8]GORMAN D G.Exact solutions for the free in-plane vibration of rectangular plates with two opposite edges simply supported[J].Journal of Sound and Vibration,2006,294(1):131-161.

[9]DU Jingtao,LI Wen,JIN Guoyong,et al.An analytical method for the in-plane vibration analysis of rectangular plates with elastically restrained edges[J].Journal of Sound and Vibration,2007,306(3/4/5):908-927.

[10]XING Y F,LIU B.Exact solutions for the free in-plane vibrations of rectangular plates[J].International Journal of Mechanical Sciences,2009,51(3):246-255.

[11]LIU Bo,XING Yufeng.Exact solutions for free in-plane vibration of rectangular plates[J].Acta Mechanica Solida Sinica,2011,24(6):556-567.

[12]滕兆春，蒲育,房晓林.FGM圆环板面内自由振动的DQM求解[J].北京理工大学学报,2014,34(12):1211-1216.

TENG Zhaochun,PU Yu,FANG Xiaolin.In-plane free vibration analysis for FGM circular annular plates by differential quadrature method[J].Transactions of Beijing Institute of Technology,2014,34(12):1211-1216.

[13]滕兆春，蒲育.温度影响下FGM圆环板的面内自由振动分析[J].振动与冲击，2015,34(9):223-230.

TENG Zhaochun,PU Yu.In-plane free vibration of FGM annular plates considering temperature effect[J].Journal of Vibration and Shock,2015,34(9):223-230.

[14]BERT C W,MAILK M.Differential quadrature method in computational mechanics[J].Applied Mechanics Reviews,1996,49(1):1-27.

In-plane free vibration of FGM rectangular plates with 4 elastically restrained edges using differential quadrature method

PU Yu1,ZHAO Haiying1,TENG Zhaochun2

(1.College of Civil Engineering,Lanzhou Institute of Technology,Lanzhou 730050,China；2.Department of Engineering Mechanics,School of Science,Lanzhou University of Technology,Lanzhou 730050,China)

The material of rectangular plates was assumed to be orthotropic,and material properties change continuously along the width of a rectangular plate according to power law distributions.Based on the two-dimension theory of linear elasticity,the governing partial differential equations for in-plane free vibration of FGM rectangular plates with 4 elastically restrained edges were derived.The partial differential equations were complicated and coupled with variable coefficients.Using the differential quadrature method,dimensionless frequency characteristics of in-plane free vibration of FGM rectangular plates with 4 elastically restrained edges were investigated.All the typical boundaries for in-plane vibration of isotropic rectangular plates were obtained by setting stiffnesses of restraining springs to be either zero or infinite and taking material gradient index as zero.Then,the results with DQM were compared with those published in literature for isotropic rectangular plates,it was shwon that the proposed DQM is effective.Finally,The influences of boundary conditions,geometrical parameters,material gradient index and stiffness coefficients on the natural frequencies of FGM rectangular plates were analyzed.

FGM rectangular plates; in-plane free vibration; elastically restrained edges; dimensionless frequency; DQM

国家自然科学基金(41202230)；甘肃省自然科学基金(148RJZA017)

2015-07-01修改稿收到日期：2015-08-30

蒲育 男，硕士，讲师，1984年5月生

滕兆春 男，副教授，1969年8月生

O343;O327

A DOI:10.13465/j.cnki.jvs.2016.17.010