基于质量放大局域共振型声子晶体的低频减振设计

张　印，尹剑飞，温激鸿，郁殿龙

(1.中国卫星海上测控部，江苏 江阴　214431；2.国防科学技术大学 装备综合保障重点实验室，长沙　410073)



基于质量放大局域共振型声子晶体的低频减振设计

张印1，尹剑飞2，温激鸿2，郁殿龙2

(1.中国卫星海上测控部，江苏 江阴214431；2.国防科学技术大学 装备综合保障重点实验室，长沙410073)

针对低频结构振动控制，设计了一种质量放大局域共振型声子晶体。基于周期结构的Bloch定理和有限元方法研究了无限声子晶体的能带特性，同时基于有限元法研究了弹性波在有限周期结构中的传播特性。在此基础上，对声子晶体质量放大带隙与局域共振带隙的形成机理和带隙特性进行了研究。最后以梁框架结构低频减振为目标，将设计的质量放大局域共振声子晶体嵌入框架结构中，综合应用声子晶体带隙特性和黏弹性材料阻尼特性，实现低频宽带振动抑制效果。进一步，对框架结构一阶固有频率，进行声子晶体结构优化设计，实现了一阶固有频率处振动的高量级抑制，并设计制备实验样件，进行实验验证。结果表明，这种质量放大局域共振声子晶体可以为结构低频减振提供一种新的实现方法。

质量放大；局域共振；声子晶体；振动控制

低频减振是当前振动控制领域研究的热点和难点之一。传统阻尼减振设计对高频效果较好，但难以有效抑制低频振动；主动控制技术低频效果显著，但是需要提供外界能源，与被动减振技术相比控制系统复杂，存在可靠性差等问题。因此，研究基于被动控制技术的低频减振技术具有重要意义和工程应用前景。

振动控制的实质是结构中弹性波的操控。在这一方面，局域共振声子晶体和声学超材料理论的提出和发展为实现结构中弹性波的低频控制提供了一条新的实现途径。刘正猷等[1]首次提出了声子晶体的局域共振带隙的概念，并验证了其小尺寸控制大波长，即操控低频弹性波的能力。这一机理陆续被应用于对声传播和振动的控制[2-7]等方面。从能量的角度考虑，声子晶体和声学超材料的带隙特性可以将弹性波局域化在结构的特定位置而阻止其传播，但不能解决局域化能量的耗散问题。在这一方面，通常仍然采用黏弹性阻尼材料实现机械能向热能的转化，但是阻尼材料低频损耗因子较低，难以实现能量的有效耗散。研究发现[8-13]结构损耗因子除了与材料有关，还与结构几何特性具有相关性，而具有负刚度结构的黏弹性阻尼系统可以表现出低频高阻尼特性，因此LAKES等[8-12]通过设计负刚度结构形式提高阻尼材料低频能量耗散能力。此外，由于传统局域共振超材料低频带隙频段较窄，另一个研究的重点在于振动控制频段的拓宽。RUZZENE等[13-14]利用手性结构进行梯度设计，在低频段实现了局域共振带隙的拓宽。但利用局域共振结构，往往存在附加质量过大的问题，针对这一问题，YILMAZ等[15-16]提出了一种质量放大结构，并对其能带特性进行了分析，结果表明质量放大结构可以通过较小附加质量实现低频带隙。

综上所述，本文基于质量放大思想，结合局域共振机理，设计了一种质量放大局域共振声子晶体，并将其应用于梁框架结构的减振设计中，有效地实现了对结构低频振动的抑制，并制备实验样件，进行了实验验证。

1　质量放大结构模型

1.1质量放大的基本思想

考虑如图1所示的弹簧质量系统[15-16]，三角形三边视为无质量弹簧，三个端点为集中质量。其中，水平方向两端点质量设为m，两斜边交点质量设为ma;斜边弹簧刚度为ka，水平边弹簧刚度为k。

图1　质量放大结构示意图Fig.1　Scheme of an inertial amplification structure

这里假设斜边弹簧为刚性，当两个水平质点m产生相向位移u时，考虑θ值很小的情况，则质点ma沿y轴方向的位移为u∕tanθ[15]。

系统总动能T可以由三个质量的动能之和求得：

(1)

水平弹簧k的弹性势能V可以表示为：

(2)

由式(1)和(2)，根据拉格朗日方程，可以得到：

(3)

式(3)中略去高阶小量可以得到系统振动方程[16]如下：

(4)

则系统共振频率为：

(5)

1.2质量放大系统的负刚度特性

研究表明[17]，上节描述的质量放大结构，还具有负刚度特性，因此，有望为低频振动能量耗散提供一种实现途径。为了说明负刚度特性对系统损耗因子的影响，选取图2所示的单自由度质量-弹簧-阻尼系统，分析刚度κ1与损耗因子的关系。

图2系统中的负刚度成分κ1是由图1中的质量放大结构提供时[17]，当θ很小时，可以近似设定为稳定线性系统。其中κ2-η为弹簧-阻尼系统，黏度用η表示，k1为弹簧，m1为质量。对于上述系统，设在外界载荷p1作用下质量位移为u1，f为弹簧阻尼系统κ2-η的产生的弹性力。

图2　含有负刚度结构的质量-弹簧-阻尼系统Fig.2　Mass-spring-damping system incorporating a spring with negative stiffness

系统运动方程可以表示为如下形式：

(6)

对该弹簧-阻尼系统，其基本阻尼方程为[13]：

(7)

式(7)通过Fourier变换，可以表达为：

(8)

因此，由式(8)可以计算得到刚度k*

(9)

为了更好明显揭示损耗因子tanδ与负刚度κ1的关系，参数设定m1=1×10-12kg，k1=5 kN/m，κ2=5 kN/m，取黏度η=0.1 kN s/m，在质量块m1处设定外力p1激励频率ω=1 rad/s。如图3所示，横坐标表示刚度κ1，纵坐标用lg(tanδ)表示损耗因子的大小，在刚度κ1≈-2.5 kN/m时，系统的损耗因子达到峰值，与刚度κ1取正值相比，结构的损耗因子明显增大，从理论上讲，在某个特定的刚度条件下，整体结构具有极大的损耗因子特性。以上结果表明，具有负刚度特性的黏弹性阻尼结构系统可以有效提高结构的损耗因子，因此利用这种负刚度结构可以有效提高材料对能量的低频耗散作用。

图3　刚度κ1与损耗因子特性曲线Fig.3　Loss factor as a function of stiffness κ1

2　质量放大结构能带结构和波传播特性

2.1质量放大结构元胞设计

基于上节思想，针对如图4(a)所示的元胞结构[15]，构建无限周期结构。其中包含12组图1所示的质量放大单元，斜边交叉点质量为ma，元胞中心质量为mc，元胞单元长度为a。

同时，考虑有限周期的单元结构，构建包含有6×6个元胞的质量放大结构，如图4(b)所示，其中左下角和右下角节点处进行铰支约束，其元胞结构的第一Brillouin区如图4(c)所示。

图4　质量放大局域共振模型Fig.4　Inertial amplification locally resonant model

2.2带隙机理分析

将图4中的质量放大结构沿x,y轴两个方向周期排列，构成无限周期结构。利用Comsol Multiphysics软件，建立单个元胞二维有限元模型，其中元胞中的梁为Euler-Bernoulli梁，节点上设置集中质量。根据周期结构Bloch定理，在各元胞边界节点上，施加Bloch边界条件，对位移和转角进行约束，约束表达式如下：

u(x+a)=u(x)eika

(10)

对于二维梁单元，向量u包含三个自由度，分别为x，y方向的位移和面内转角，根据周期结构平移周期对称性，波矢k=[kx,ky]只需遍历不可约Brillouin区边界，不可约Brillouin区如图4(c)阴影所示[18]。

质量放大结构中梁的材料参数如下：杨氏模量E=7.7×105Pa，泊松比μ=0.480 8，密度ρ=1 300 kg/m3，元胞中斜边梁横截面尺寸设为hy1=2 mm,hz1=20 mm,其他梁截面尺寸为hy2=5 mm,hz2=20 mm；集中质量m=mc=0.25 kg，ma=0.05 kg；θ=12.5°。

对于图4(b)所示的有限周期结构，在结构最上端中点处施加竖直向下的点激励载荷，在底边中点拾取响应，拾取输入输出两点加速度得到加速度频响函数，通过加速度频响函数研究弹性波在有限周期结构中的传播情况。无限周期结构能带结构图和有限周期结构加速度频响函数如图5所示。

图5　质量放大结构能带结构和加速度频响函数Fig.5　Band gap of inertial amplification lattice and frequency response function plot for the finite inertial amplification structure

如图5(a)能带结构图中在90 Hz以内出现两条较宽的带隙(46 Hz～52 Hz; 52 Hz～64 Hz)，与之对应的在图5(b)所示的加速度频响函数中出现了两段较为明显的衰减，两段衰减区域内出现了两个局部最大衰减点A和B，这里称A，B为反共振点，即当激振力的频率为A或B时，会在对应频率处出现使振动几乎停止的反共振频率。反共振点一般在两种情况出现[16]：一种是整体结构出现局域共振现象；另一种是子结构与主结构耦合振动产生的，如果子结构存在质量放大结构，子结构振动引起主结构振动，那么带隙可能在低频段出现。由于结构的复杂性，不同梁振动相互耦合造成了模态的多样化，在低频处质量放大结构出现多个共振点，但衰减较小，且带隙宽度很窄，这里不参与比较研究，主要针对A，B两点进行分析。根据加速度频响函数仅仅可以观察到特定点的加速度信息情况(输入点、输出点)，为研究整个有限周期结构各点的能量分布情况，可以通过加速度数值分布图观察整个结构各处的能量分布情况。图6为A，B两点的加速度分布图，两点在带隙中，加速度数值都不大，取对数可以更直观地描述能量分布情况，数值越小，代表振动越微弱。图6可以看到在整个结构中(除激振点处)加速度数值都不大，在整体结构中A点能量比B点能量更小些，这与图5(b)衰减深度相吻合。值得注意的是，A点能量主要局域在激励点附近，而B点能量分布在整个结构。在A点频率下，结构下半部分几乎不振动，在B点频率下，结构下半部分除节点外也一起振动，B点是典型的局域共振现象。第一段带隙为质量放大产生的带隙，第二段带隙为局域共振产生的带隙。

图6　有限周期质量放大局域共振声子晶体加速度数值分布图Fig.6　Contour plot of acceleration response of the finiteIALRPC

根据上述分析，可以看到质量放大带隙产生机理与传统局域共振带隙产生机理略有不同，本节中质量放大带隙与局域共振带隙发生了耦合现象，于是设想利用质量放大机理，通过更小的附加质量在低频产生带隙，从而减轻整体结构的质量。

2.3角度对第一带隙影响规律分析

上节描述了质量放大带隙的产生机理，为更好地实现利用质量放大结构在低频减振的效果，通过公式(5)可知，角度的变化对结构共振频率有着很大的影响，本节分析角度对第一带隙的影响。图7(a)、(b)分别对应θ=12.5°和θ=9°的能带结构图。质量放大结构形式不变，材料参数不变，元胞晶格常数a=90 mm，hy1=2 mm，hz1=20 mm，hy2=5 mm，hz2=20 mm。考虑实际情况下振子质量，这里选取ma=0.017 6 kg，m=0.002 kg,mc=0.008 kg。

图7　能带结构随角度θ的变化Fig.7　Band structure variation with the change of θ

图7(a)中，θ=12.5°在20 Hz上下可以明显看到两条带隙，图7(b)中θ=9°只出现了一个较宽的带隙，带隙中心频率位置都出现在20 Hz，与下节需要减振的框架一阶固有频率相近。由于质量放大作用，改变θ值，可以看到第一带隙和第二带隙发生了很明显的变化，因此，可以通过结构设计，实现在特定频率下的振动抑制。

3　基于质量放大结构的减振设计

通过以上分析，本文选取一边固定的铝制矩形框架作为减振结构，其一阶固有频率在19 Hz，其外框尺寸为586 mm×106 mm×16 mm，梁截面尺寸为：5 mm×16 mm。内部嵌入的质量放大整体结构尺寸为576 mm×96 mm×16 mm，针对这一结构的低频振动抑制，将设计的质量放大局域共振声子晶体嵌入框架中，如图8所示，其材料参数为：E=1.175×105Pa，μ=0.480 8，ρ=1 300 kg/m3，橡胶材料的损耗因子为0.3。

图8　矩形框架嵌入周期质量放大结构Fig.8　Beam frame with periodic inclusion ofIALRPC

如图9(a)～(d)所示，设计不同形式的质量放大结构嵌入矩形框架内，在不同的节点嵌入不同半径的质量块，所有直边附加质量块半径r1,所有对角斜边附加质量块半径为r2，中心节点质量块半径为r3，具体参数如表1所示，建立有限元模型求解结构响应。模型中，结构激励方式为点激励，在靠近矩形框底端一侧选取一点进行激励，在靠近顶端另一侧位置拾取响应信号，矩形框底端垂直固定在振动台上。

表1　质量放大局域共振声子晶体结构质量块参数

图10(a)中在0～220 Hz全频段都较好地实现了对矩形框架振动的抑制，其中实线代表原空框频响函数曲线，虚线代表空框加材料的频响函数结果，在原矩形空框第一阶共振频率处从48 dB衰减到18 dB，但新产生了较高的一阶共振峰，为更好地实现对原空框一阶共振频率的抑制，改变结构形式，采用质量放大结构b，仿真结果如图10(b)，结果显示原空框第一阶共振峰值处的振动较好地得到有效地抑制，同时新产生的共振峰值与图10(a)新产生的一阶共振峰相比，也衰减了5 dB，但一阶共振峰值仍未完全得到抑制。结构c中继续增加质量块半径，仿真结果对应图10(c)，从图中可以看到新产生的第一共振峰值较图10(b)有所升高，说明单纯增加质量块半径并未取得更良好抑制振动的效果。根据约束条件，矩形框架第一阶模态振型自由端将产生较大位移变形，根据振型特点，如图9质量放大结构(d)所示，内部结构采用梯度设计，即质量块半径r1、r2在每个单元半径增加都1 mm，r3保持不变，这里改变质量块半径r，即改变共振频率，仿真结果如图10(d)所示，在第一固有频率处振幅从原来的50 dB直接衰减到0 dB左右，对一阶固有频率处振动幅值实现更大的衰减，同时注意到在180 Hz处实现了对原矩形框更显著的抑制振动的效果，这是梁的局部振动产生的附加效果，整体结构在0～220 Hz抑制振动效果显著。

图9　质量放大局域共振声子晶体结构不同设计Fig.9　Different designs of theIALRPC inclusion for the frame

4　实验验证

4.1实验搭建

为了测试仿真结果的正确性，制备实验样件，并搭建了振动测试分析实验系统，如图11所示。通过螺栓约束，矩形梁框架垂直安放在光学隔振平台上，使用激振器(NEU 4824)在矩形铝框外垂直激振，利用功率放大器(B&K 2719)对激振器输出的激励力进行设定，激励力使用白噪声频谱激励，设定激励范围0～400 Hz，输入点和输出点的加速度响应通过加速度计1、2(B&K 4534B)采得，利用B&K Pulse设定8次平均平滑处理以减小误差。进行冲击激励分析时，整个矩形框架仍然垂直固定在台面上，其他约束条件不变，在原来的激振器位置处，采用力锤(ENDEVCO 2303-10)冲击，设定力锤响应阈值，拾取加速度计2(B&K 4534B)进行分析。

质量放大结构通过水射流进行加工，在圆孔处填充柱状振子，铝制矩形框架采用线切割加工，其外框尺寸为635 mm×111 mm×16 mm，实际实验测试中选用如图9(b)的结构，将切割好的橡胶嵌入矩形框内，进行实验测试。

图10　结构频响函数仿真计算结果Fig.10 Simulation results of frequency response function

图11　实验测试系统Fig.11 Experimental measurement system

4.2实验结果

图12所示为仿真加速度频响函数曲线和实验中测试得的加速度频响曲线。从图中可以看到，实验结果与仿真结果在测试的0～400 Hz全频段内整体趋势一致，吻合效果良好，有效验证了仿真结果的正确性。仿真和实验结果都显示在第一固有频率处，振动峰值从原来的50 dB衰减至约30 dB，第一固有频率处幅值衰减40%，抑制振动效果显著；在150～400 Hz频率范围内，可以看到嵌入橡胶后矩形框架整体抑制振动效果良好，特别的发现在第二阶固有频率处从原来的47 dB衰减到现在的5 dB，第三阶固有频率处从原来45 dB也衰减到5 dB,衰减都达到了85%以上。

对比仿真结果与实验结果，发现实验中在200～400 Hz与仿真结果相比振动衰减幅度数值更大，这主要是由于橡胶的损耗因子是随频率变化的，通常情况下在中高频表现的效果更好；同时观察到嵌入质量放大结构后的实验测试结果没有仿真结果的平滑，这与实际结构中橡胶无法一直提供仿真中的设定的较大阻尼因素有关；在实验测试中空框高频的固有频率与仿真结果相比存在一些误差，这与在实际过程中激振器无法按照设定的宽频白噪声频谱进行激励有关，在较低的频率下激励频率存在误差，同时在实际实验测试中，嵌入的橡胶与矩形框架的贴合程度与仿真中设定的条件无法完全吻合也对实验结果产生了一些影响。

图12　仿真与实验加速度频响函数Fig.12 Frequency response function obtained from simulation and experiments

图13所示为力锤瞬态激励下，加速度时域响应曲线，从结果中可以看出，矩形框架嵌入橡胶后能在0.2 s内迅速对冲击引起的振动形成抑制，而原矩形框对冲击载荷引起的振动在4 s内仍未完全抑制。因此，嵌入质量放大结构后的矩形框架可以对冲击载荷引起的振动迅速抑制。

图13　冲击时域响应Fig.13 Measured transient response for impact excitation

5　结　论

本文针对中低频段，基于周期结构的Bloch定理和有限元软件对一种三角形质量放大结构的能带结构和波传播特性进行了分析，同时利用这种质量放大结构对矩形框架进行减振结构设计，并进行了实验验证。

结果显示：

(1)利用质量放大结构可以实现较小质量在低频产生带隙，具有负刚度单元的黏弹性材料可以提高整个结构黏弹性阻尼材料的损耗因子，提高了其阻尼特性，增加能量耗散能力。

(2)嵌入质量放大结构阻尼材料后的矩形框架在中低频段实现了对原矩形框振动的良好抑制，通过改变结构形式，对矩形框架第一阶固有频率处的振动进行良好地抑制。针对冲击载荷也实现了在极短时间内对振动迅速抑制。

本文对负刚度质量放大结构在工程中的应用了提供了新的思路，具有重要的参考价值。

[1]LIU Z Y,ZHANG X,MAO Y,et al.Locally resonant sonic materials [J].Science,2000,289(5485):1734-1736.

[2]HUANG H,SUN C.Locally resonant acoustic metamaterials with 2D anisotropic effective mass density[J].Philosophical Magazine,2011,91(6):981-996.

[3]HUANG G L,SUN C T.Band gaps in a multi-resonator acoustic metamaterial[J].Journal of Vibration and Acoustics 2010,132(3):031003.

[4]SHENG P,MEI J,LIU Z,et al.Dynamic mass density and acoustic,metamaterials [J].Physics Review B,2007,394(2):256-261.

[5]王刚.声子晶体局域共振带隙机理及减振特性研究[D].长沙：国防科学技术大学，2005.

[6]肖勇.局域共振型结构的带隙调控与减振降噪特性研究[D].长沙：国防科学技术大学，2012.

[7]LIU X N,HU G K,HUANG G L,et al.An elastic metamaterial with simultaneously negative mass density and bulk modulus[J].Applied Physics Letters,2011,98(25):251907.

[8]YAP H W,LAKES R S.Negative stiffness and enhanced damping of individual multi-walled carbon nanotubes[J].Physics Review B,2008(77):045423.

[9]LAKES R S.Extreme damping in composite materials with a negative stiffness phase[J].Physics Review Letters,2001,86(13):2897-2900.

[10]LAKES R S.LEE T.Extreme damping in composite materials with negative stiffness inclusions[J].Nature,2001,410(3):565-567.

[11]WANG Y C,SWADENER J G,LAKES R S.Two-dimensional viscoelastic discrete triangular system with negative-stiffness components[J].Philosophical Magazine Letters,2006,86(2):99-112.

[12]WANG Y,LAKES R S.Stable extremely-high-damping discrete viscoelastic systems due to negative stiffness elements[J].Applied Physics Letters,2004,84(22):4451-4453.

[13]BARAVELLI E,CARRARA M,RUZZENE M.High stiffness-high damping chiral metamaterial assemblies for low-frequency applications[R].Health Monitoring of Structural and Biological Systems,8695.California USA:2013:86952.

[14]BARAVELLI E,RUZZENE M.Internally resonating lattices for bandgaps generation and low-frequency vibration control[J].Journal of Sound and Vibration,2013:6532-6579.

[15]YILMAZ C,HULBERT G M.Theory of phononic gaps induced by inertial amplification in finite structures[J].Physics Letters A,2010,374(34):3576-3584.

[16]YILMAZ C,HULBERT G M,KIKUCHI N.Phononic band gaps induced by inertial amplification in periodic media[J].Physical Review B,2007,76(5):054309.

[17]PLATUS L D.Negative-stiffness-mechanism vibration isolation systems[J].Vibration Control in Microelectronic,Optics,and Metrolog,1991,1619(92):44-54.

[18]温熙森.光子/声子晶体理论与技术[M].北京:科学出版社，2006.

Low frequency vibration reduction design for inertial local resonance phononic crystals based on inertial amplification

ZHANG Yin1,YIN Jianfei2,WEN Jihong2,YU Dianlong2

(1.Chian Satellite Maritime Tracking and Control Department,Jianghin 214431,China;2.Laboratory of Science and Technology on Integrated Logistics Support,National University of Defense Technology,Changsha 410073,China)

To realize low frequency structural vibration reduction,a type of inertial amplification local Resonance phononic crystals (IALRPC)was designed.The finite element method (FEM)in conjunction with Bloch theory was used to study the energy band structure of IALRPC and the wave transmission in a finite IALRPC was also studied using FEM.Furthermore,the form mechanism and features of band gaps induced due to inertial amplification and local resonance were investigated and compared.Taking low frequency vibration reduction of a beam frame structure as an objective,an IALRPC was designed to be embedded into the beam frame structure.The significant low frequency vibration reduction was realized due to the band gaps features of the IALRPC and using damping of viscoelastic material.Then,the design of the IALRPC was optimized to achieve full suppression of the fundamental modal vibration of the beam frame structure.A specimen was manufactured and tested.The results showed that the IALRPC proposed here can provide an effective new method for structural low frequency vibration reduction.

inertial amplification; local resonance; phononic crystals; vibration control

国家自然科学基金(51275519;51405502)

2015-07-02修改稿收到日期：2015-09-02

张印 男，硕士，1990年6月生

温激鸿 男，研究员，博士生导师，1971年生

TH113.1；O48

A DOI:10.13465/j.cnki.jvs.2016.17.005