基于灰色马尔可夫方法的机场FOD事件预测

王　维，张清栋

（中国民航大学机场学院，天津　300300）

基于灰色马尔可夫方法的机场FOD事件预测

王维，张清栋

（中国民航大学机场学院，天津300300）

航空器外来物损伤事件（FOD）具有原因复杂、随机发生等特点，因此很难用一般方法进行预测。采用灰色马尔可夫方法对机场未来一定时间序列航空器外来物损伤事件进行预测，建立灰色马尔可夫预测模型，实例分析表明灰色理论预测值恰好位于马尔可夫链转移概率的预测区间内，验证表明，预测结果具有较好的准确性并且该方法具有很好的适用性，能为机场航空器损伤事件的预防管理提供必要的数据支持。

机场；预测模型；灰色马尔可夫；航空器FOD事件；评价方法

随着中国民航业的快速发展，民航安全越来越受到各方关注，航空器的安全运行变得尤为重要。目前威胁航空器地面安全运行的原因之一是机场道面外来物FOD（foreign object debris）。FOD的种类非常多，如飞机和发动机的连接件（螺帽、螺钉、垫圈、保险丝等）、机械和修理工具、飞行行李物品、钥匙锁扣、野生动物、树叶、石头和沙子、道面破损材料、木块、塑料或聚乙烯材料、纸制品、飞行区的冰碴等［1-2］。这些物件可能小到不起眼，却严重威胁航空器和人员的安全，轻则损伤航空器，重则造成机毁人亡的严重事故。

航空器FOD损伤事件每年给全球航空业造成至少135亿美元的直接或间接经济损失［3］。巨大的人员伤亡风险和经济损失引起了国际航空业对FOD风险管理的高度重视［4］。为解决对FOD预测防范的实际问题，各国都加强了相关技术和预防管理的研究，并取得了一定的成果［5］。然而并没有相关研究结合了某种理论，对FOD的航空器损伤事件进行预测并得出科学的预测数据，从而给机场的预测管理提供参考依据。

灰色理论和马尔可夫链都可以对未来时变序列进行预测［6-7］，然而航空器FOD损伤事件受到其他许多因素的影响，并且事件发生具有很大的波动性，FOD的产生也是动态的时变事件，单独使用这两种方法导致预测结果精确度偏低［8］，没有参考价值。使用两种方法的灰色马尔可夫预测模型，将灰色理论航空器FOD事件的时变趋势和马尔可夫链的转移状态进行结合，具有可靠预测结果和精度。

1　灰色马尔可夫理论

1.1灰色系统和马尔可夫系统

机场航空器FOD损伤事件具有很大的随机性和不确定性，即存在着不明的“灰色”空间，故可使用灰色系统进行预测。

灰色系统GM（1，1）将随机变量都视为灰色变量、随机过程视为灰色过程，因而不需要大量历史数据［9］。灰色基本模型通过时序数据累加，滤掉原始序列中可能的随机量，从上下波动的时间序列中寻找某种隐含的规律性，进而得到随机性弱化而规律性增强的新数列，从而挖掘出原始序列的内在特征［10］。灰色预测使用累加或累减的方法容易产生误差，加上航空器FOD损伤事件的波动性，使其预测结果精度偏低。

马尔可夫系统是时间、状态均离散的随机过程。其特点是无后效性，即时刻t的状态只与前一时刻状态有关，而与前面其它各时间状态无关［11］。机场道面FOD的发生以及FOD航空器损伤事件是随时间变化的动态系统，和机场道面过去状态无关，其发生是随机的非平稳过程，而马尔可夫链可描述这种具有随机波动特点的动态系统。该方法是根据状态之间的转移概率来预测系统未来的发展变化。

1.2灰色马尔可夫理论

灰色模型和马尔可夫模型都可用于时间序列预测问题［12］。灰色预测曲线呈单调递增或单调递减趋势，可反映总体的变化趋势［13］。马尔可夫模型根据状态转移概率大小推测系统未来发展方向，而转移概率反映了各种随机因素的影响，因而适合于随机波动大的时间序列预测问题。因此，上述两种方法具有较好的互补性，结合使用能有效提高预测准确性。

灰色马尔可夫模型的构建方法：首先根据前n年的历史航空器FOD事件的数据建立GM（1，1）预测模型，进行第1步预测；然后利用GM（1，1）预测值与实际历史数据的差值建立马尔可夫多步转移概率矩阵模型，利用前n年的初始状态信息及相应的多步转移概率和，推测下一时间序列所处状态，最后根据马尔可夫模型预测状态对GM（1，1）模型预测值进行修正并进行精度计算和适用性验证。

2　灰色马尔可夫模型

2.1预测模型建立

FOD对航空器产生的损伤事件具有不确定性，通过借助累加法来建立模型找出其内在规律，设原始事件数据序列为t=1，2，…，n，则

其中：x（0）（t）为事件数，计算X（0）的一次累加生成序列

其中：x（1）（t）为x（0）（t-1）+x（0）（t）累加数据，t=1，2，…，n-1。构建下述一阶线性微分方程，旨在获得序列X（1）的规律性

其中：参数a、u为待定系数，可由最小二乘法求解。

将微分方程对时间序列t=1，2，…，n进行差分，得到以下线性方程组

若方程个数大于未知参数个数而无解，则按最小二乘法，求满足

的最小二乘解，其中B、Y为计算矩阵，b为待定系数，可得

经过计算可求得微分方程的解为

若为离散形式，则为

基于此，可对累加生成序列X（1）进行预测。原始序列X（0）可由X（1）累减生成，即

结合马尔可夫理论，将GM（1，1）预测拟和值与实际值的相对误差分布情况建立状态划分标准，如表1所示。

表1　状态划分标准Tab.1　Standard of state classification

计算X（1）预测序列的差值Δx（1）为

根据机场航空器FOD损伤事件的灰色马尔可夫模型，未来k时刻（或t时间）原始数据预测值为

结合预测状态值和马尔可夫链状态转移概率方法计算出预测量区间，并取预测区间的中间值进行修正得出最终预测数据。状态转移概率假设为A，假定某事件发生状态可能有n种，则当前状态转移到未来状态的概率Aij（i，j=1，2，…，n）。构造的矩阵为

计算方法是通过构造的矩阵，根据转移概率得出马尔可夫链的预测区间，设区间为则有

2.2预测模型适用性验证

在应用灰色马尔可夫模型解决机场航空器FOD损伤事件预测问题时，需要检验原始数据和随机变量是否具有马尔可夫特性，即验证是否适合使用这一模型。首先定义状态转移概率：在事件的发展变化过程中，从某一种状态出发，下一时刻转移到其他状态的可能性，称为状态转移概率。

令｛x1，x2，…，xn｝为马尔可夫指标序列，具有m个状态，即E=｛1，2，…，m｝，用fij表示指标值从状态i转移到状态j的频数，i，j∈E，状态转移概率记为Pij，即

针对预测模型的适用性，可使用χ2卡方统计量来进行检验。将构造的转移矩阵的第j列的和除以所有行列之和的比值叫做边际概率，记为Pj，当序列n足够大时，χ2统计量为

服从自由度为（m-1）2的χ2分布。在指定的显著性水平条件下，设为α，查表可得的值，然后可得出χ2统计量的值。比较χ2和的值可得出预测模型的适用性，若则说明模型具有良好的适用性。

3　预测结果评价

预测模型检验方法可采用：残差检验法、关联度检验法和后验差检验法等3种方法［14］。本预测模型采用检验精度较高的后验差检验方法，具体步骤如下：

1）计算实测值与预测值的残差和残差相对值，残差序列为ε（0）（k）（k=1，2，3，…）

2）计算残差序列ε（0）（k）的方差S1和均值及原始序列X（0）（k）的方差S2；

3）计算ε（0）（k）和X（0）（k）序列的方差比值即验差比值C及小误差概率P，即

给定P0＞0，当P＞P0时，小误差概率即有不同的精度等级。综上可根据表2判断灰色马尔可夫模型的预测精度。

表2　预测精度Tab.2　Accuracy of predictng results

如果预测精度不合格或者勉强合格，须对预测模型进行修正。修正方法是利用已求残差重构灰色马尔可夫预测模型，求残差预测值，并将其与原始序列预测值相累加，以补偿原始序列预测值，进而提高预测精度。

4　算例

本文以新疆乌鲁木齐机场FOD对航空器损伤（主要统计轮胎扎伤）事件的统计数据为例，对未来机场航空器FOD伤害事件进行预测并检验预测结果，以验证模型的适用性。统计数据如表3所示（统计年份为2013年1月—2014年6月，各月按月度顺序编号，2013年1月即为序号1，2月即为序号2。所有月份编排序号为1～18）。

由上表生成原始数据序列

表3　统计数据表Tab.3　Statistical data

对数据进行累加得到新的数据序列

计算｛x（1）（1），x（1）（2），…，x（1）（18）｝数据序列的差值Δx（1）

建立矩阵

根据马尔可夫链转移概率计算预测区间，取预测区间的中间值进行预测结果的修正，预测2014年1月数据，区间为

表4　马尔可夫转移概率预测区间Tab.4　Prediction interval of Markov transition probability

结合上述结果，可得到2014年1月及以后月份的预测值，2014年1月份对应序号13，以此类推，经过修正后的预测结果和实际值对比如图1所示。

图1　预测值与实际值的比较Fig.1　Comparison of predictive value and original data

可以发现，预测值和实际值的趋势是比较接近的。预测结果分析如表5所示。

表5　预测结果分析Tab.5　Prediction data analysis

对灰色马尔可夫模型的适用性进行检验，取显著性水平α=0.05，计算得到因此可以适用该方法。

5　结语

本文预测方法采用灰色模型和马尔可夫链相结合的方法，验证表明：

1）该方法建立的优化数学模型更加接近实际情况，采用的灰色马尔可夫方法能够体现机场FOD对航空器损伤事件的波动性和不确定性。

2）对于机场航空器FOD损伤事件这个既有白色信息又有黑色信息的复杂系统，考虑使用灰色预测值和状态转移区间值落点判断的方法，构造二者结合的灰色马尔可夫模型，得出的预测数据较符合客观趋势，并且模型预测精度良好。

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（责任编辑：杨媛媛）

Airport FOD incident prediction based on Grey-Markov method

WANG Wei，ZHANG Qingdong
（Airport Engineering College，CAUC，Tianjin 300300，China）

Causes of aircraft FOD incidents are complex and random，so it is difficult to use general method to predict incident.Grey-Markov method is used to predict aircraft FOD incidents in future sequence and Grey-Markov prediction model is established，the calculation result shows that grey theory predicting data just locate in Markov chain prediction interval.The prediction result is proved accurate and the method is applicable，which can provide necessary statistical support for airport FOD prevention management.

airport；prediction model；Grey-Markov；aircraft FOD incident；evaluation method

V351.11

A

1674-5590（2016）03-0028-05

2015-07-02；

2015-09-20基金项目：中国民航大学波音技术挑战项目（20140159204）

王维（1960—），男，河北丰南人，教授，硕士，研究方向为机场工程.