关于偏微分方程相似解求法的探讨

赵迎春，长龙，布仁满都拉

（1．内蒙古赤峰学院数学与统计学院，赤峰　024000；2．内蒙古财经大学统计与数学学院，呼和浩特　010070）

关于偏微分方程相似解求法的探讨

赵迎春1，长龙2，布仁满都拉1

（1．内蒙古赤峰学院数学与统计学院，赤峰024000；2．内蒙古财经大学统计与数学学院，呼和浩特010070）

相似解是偏微分方程用适当的变量组合表示的解。通过实例介绍伸缩变换、量纲分析法和特征线方法等求相似解的方法。

相似解；伸缩变换；量纲分析；特征线

0　引言

相似解是指偏微分方程解对自变量的依赖通过自变量的某个特定组合来体现。首先，通过引入适当的变量组合（称为相似变换），使偏微分方程简化为常微分方程。其次，通过求常微分方程的解，给出偏微分方程用自变量组合表示的精确解，称此解为偏微分方程的相似解.本文通过实例介绍伸缩变换、特征线和量纲分析法等求相似解的方法。

1　伸缩变换

考虑变系数偏微分方程：

作伸缩变换［1-2］：

它描述各变量的缩小或伸长；参数ε（＞0）对（2）的所有关系式是相同的，其中β，γ，δ可任取。将变换（1）代入方程（2），且当：

时可得如下等式：

其中δ为任意的。

注如果伸缩变换（2）满足条件（3），则对方程（1）作伸缩变换后，偏微分方程（1）的形式就不变。

选取如下满足（3）的一组数

对应的变换为：

由：

知：

是不变量。可以假设这两个变量之间是有关系的，即：

对偏微分方程（1）作相似变换，即将（8）代入（1），可得常微分方程：

在δ=-3的特殊情形，（9）存在一个如下特解：

将（10）代入（8），可得偏微分方程（1）的一个相似解：

2　量纲分析法

定理（π定理）［3-4］如果某一现象中出现的（n+1）个物理量a，a1，…，an由关系式a=f（a1，…，an），联系起来；又若a1，…，ar是物理量a，a1，…，an中r个最大的量纲无关物理量，则a及其余的ar+1，…，an等n-r+1个物理量的关系式可化成下列只联系n-r+1个无量纲量π，π1，…，πn-r的无量纲形式。

下面的例子利用上述π定理给出具体问题的相似解。

例假设有一个无穷长平板，平板上面的整个空间充满了粘性不可压缩流体。假设平板从某一时刻起以常速u0运动。建立y轴垂直于平板，x轴平行于平板，坐标原点在平板上的直角坐标系Oxy。以u（y，t）表示t时y处流体的速度，ν表示运动学粘性系数，则u（y，t）满足：

令：

则（12）变为：

主定物理量：t*，y*，u0；被定物理量：u*；主定物理量中最大量纲无关组：t*，u0。根据π定理，有：

由变换（13）和（16）可得：

将（17）代入问题（12），得：

解常微分方程（18）-（19），得：

将（20）代入（17），得：

3　特征线法

下面我们通过实例介绍用特征线方法［5］求相似解的方法。

设x=x（t）是平面（x，t）上的曲线C，则u（x，t）沿曲线C的全导数等于：

由（22）知，当t=0时，x=ξ，u=f（ξ）；因此，g（ξ）=f（ξ）。所以：

其中xe-t是相似变量。

［1］王昌逸，洪柳.Navier-Stokes方程的相似解［J］.力学进展，2006，36（1）：31-35.

［2］豆福全，孙建安，吕克璞，等.Gardner方程的自相似解［J］.西北师范大学学报（自然科学版），2004，40（1）：35-37.

［3］张璐，晏骥，杨家敏，丁永坤.量纲分析法求解辐射热传导自相似解［J］.强激光与粒子束，2012，24（6）：1424-1428.

［4］董曾南，章梓雄.非粘性流体力学［M］.北京：清华大学出版社，2003.

［5］魏雪蕊.一阶偏微分方程的特征线法［J］.绍兴文理学院学报，2010，30（7）：95-97

Discussion on the Method of Finding a Similar Solution for Partial Differential Equations

ZHAO Ying-chun1，CHAG Long2，Burenmandula1

（1．School of Mathematics and Statistics，Chifeng University，Chifeng 024000；2．School of Mathematics and Statistics，Inner Mongolia University of Finance and Economics，Hohhot 010071）

The similar solution of partial differential equation is expressed by combinations of variables.Introduces the methods of stretching transform，dimensional analysis and characteristic curve for finding similar solution.

Similar Solution；Stretching Transform；Dimensional Analysis；Characteristic Curve

1007-1423（2016）26-0026-03DOI：10.3969/j.issn.1007-1423.2016.26.006

赵迎春（1983-），女，内蒙古赤峰人，研究生理学学位，研究方向为微分算子谱理论

2016-05-20

2016-08-25