浅谈线性代数教学中的几点改进

张洁

摘要：本文主要分析了线性代数课程的现状，讨论了线性代数在教材、授课方式、案例和考核方式中的改进，提出教材要中西结合、上课要带笔记本电脑、案例要经典、考核要分层进行等方法。通过实践发现，以上几点改进对线性代数的教与学具有显著作用。

关键词：线性代数；教学改进；分层考核

中图分类号：G642.0 文献标志码：A 文章编号：1674-9324（2016）47-0232-02

“线性代数”是几乎所有非文科专业要学习的一门必修课程，是学习专业课程的基石，特别是对计算机专业的学生来说尤其重要。长期以来，学生普遍认为线性代数不好学，难于理解，一致认为“三多”：定义多、符号多、性质多。线性代数以“抽象、冗繁、枯燥”而著称，即内容抽象、知识点冗繁、计算枯燥，以致学生认为这门课没有作用，无须学习。所以，线性代数长期“招人不待见”，为此本文针对本校的线性代数课程，做了一些教学改进，希望抛砖引玉，引起同行共鸣。

一、教材的改进

国内线性代数教材有很多种，几乎每所高校都有自己编写的教材，内容大同小异，水平参差不齐。其中，同济大学数学系编写的工程数学：线性代数（第六版），由高等教育出版社出版，是荣获2000年中国高校科学技术二等奖的教材，代表了国内相关教材的高水平。但与国外教材相比，差距较大，如表1所示。

同济版的线性代数属于工程数学，但从表1中可以看出。没有一个工程实际案例，为何叫工程数学？图片也很少，每次修订没有加入新的思想，大多是理论层面的增减，无实际应用案例。而且，这一版教材读起来很枯燥乏味，证明较多，叙述复杂，缺少应用案例。

国外的英文版教材，刚开始读起来会很累、费劲，因为其会涉及不少专业术语单词，但读到后面就会觉得很轻松，有关核心概念的几个单词会重复出现，慢慢地能顺利读下去。当然，对学生来说，这也可以提高英语水平。另外，国外教材编写通俗易懂，书中出现的案例比较新奇，学生在之前几乎并不曾见到，趣味性很强，能够激发他们产生继续往下读的强烈愿望，调动求知欲望。

有了这种感觉，线性代数无论是在教还是在学方面，都方便多了。所以，本文建议使用国外原版教材。然而，国外教材价格比较昂贵，考虑到学生的承受能力，有点不太合适。而且，国外教材有关线性代数的内容太广，很多知识点要到研究生阶段才会学习到。为此，我们可以采用中西结合的方式，教材使用同济版本的，一些好的实例、图片选用国外教材的，将其制成电子文档，以节约成本。这不仅尊重了认知规律，由感性到理性，通过图让学生从几何走向代数，而且便于学生理解线性代数相关知识点，建立知识点“模型”。

二、授课方式的改进

从第一节课开始，我们就要求学生带笔记本电脑上课，每讲一个知识点就在计算机操作中及时实现。我们都知道，四阶以上的线性代数问题，没有计算机是没法解的，学这门课就是为了用。带笔记本电脑上课，有以下几大优势。

第一，增加学生学习的兴趣和积极性。MATLAB的一大特点是有丰富的图形，将计算结果可以比较直观地显示出来，使学生更易接受线性代数的知识点和概念。

第二，提高学生解决问题的能力。每次讲授线性代数课的时候，学生总会问：学习这门课程有什么用？你能举个实例吗？当时教师很尴尬，讲不出来，这是因为他们没有研究案例，如何解决只是停留在理论阶段。有了MATLAB软件，教师上课前肯定要对相关问题研究透彻，再让学生上课时利用线性代数知识进行现场解决。只有将线性代数的知识点安排在每次实例中，学生才能真正领悟它的内涵，提高分析问题、解决问题的能力。

第三，提升学生的计算机编程能力。碰到复杂一点的案例，必须编写程序，而且不可能是一两个命令就能解决的，这时再让学生去研究程序的编写，如循环语句、判断语句等，既能学好线性代数，又能提高其他相关课程的学习，可谓“一举多得”。

我国“数学机械化”带头人、首届国家最高科学技术奖获得者、数学家吴文俊院士曾语重心长地指出：“我国在体力劳动的机械化革命中曾经掉队，造成现在的落后状态。在当前新的一场脑力劳动的机械化革命中，我们不能重蹈覆辙。”所以，让学生带笔记本电脑上课，希望他们不要为冗繁枯燥的计算而烦恼。

三、案例的改进

从上面分析也可以看出，线性代数主要在于应用，核心就是案例。案例一定要经典，能让学生留下深刻印象。矩阵就是一张数表，此时引进灰度图像，说明该灰度图像就是矩阵，且每个元素都是255以内的非负整数，可以让学生在课堂上用电脑来操作。彩色照片由红绿蓝3种基色复合而成，即是由3个矩阵复合而成。在講解线性方程组的问题时，我们更需要经典案例。比如，经济学中的收支平衡、化学方程式的配方、捕食者—食饵模型、交通流量问题、平板稳态温度的计算、电阻电路的计算等，这些问题需要建立线性方程组，然后通过软件计算得出结果。又如，在讲解特征值与特征向量时，必须引进一些例子。比如，某一城市的人口总数是固定的，因居民经常在市区和郊区之间迁徙，人口的分布在变化。若每年7%的城区居民搬到郊区去住，3%的郊区居民搬到市区住。开始时市区有30%的居民，郊区有70%的居民，问10年后市区和郊区的居民人口比例是多少？20年后、50年后又如何？当然，特征值和特征向量还可以解决基因问题。线性代数中有各种变换，如线性变换、正交变换，但从概念上讲解很抽象，此时使用MATLAB作图就可以直观表示出两种变化，前后对比一目了然，正交变换化二次型为标准型的优点是不改变图形的形状。若凭教材或教师的纯理论讲解，学生估计无法体会得这么深刻，课堂效果也不会这样生动、形象。此外，还可以利用MATLAB做出二次型图像，直观感受什么是正定、负定和不定。

四、考核方式的改进

线性代数这门课程基本上会大一下学期开设，学生才进入大学，思维还沉浸在应试教育的模式中，缺少独立思考的能力，在具体的内容学习中，只会套用解题公式，不能灵活地运用知识来解决问题，因此，我们提出“分层”考核法。由于每一个学生对学习成绩的要求不一样，教师要设置一个最基本要求，将线性代数考核分为以下几层。首先，“及格中等”层：要求每一位学生提交案例报告，阐述出这个案例会用到线性代数的哪些知识点、具体解决方法和程序实现是什么，依据报告给出相应的成绩等次。其次，“中等良好”层：教师给出一道案例，要求学生自己查找资料，类似于数学建模的要求，开放题，答案不唯一，依据分析问题和解决问题的过程，给出相应的等次。最后，“优秀”层：依据考研要求，闭卷考试。当然，参加“优秀”层考核的前提是，完成前面两个考核，这会让每一位学生都得到发展。该方法已经使用了两年，效果非常好，确实能提高学生动手解决问题的能力。

用计算机进行线性代数的教育改革，发达国家已进行了近20年，形成了一套完整的经验体系。本文试图通过近几年线性代数的教学实践和改革，以期让线性代数不抽象、不冗繁、不枯燥，将其概念形象化，让学生懂得线性代数的计算有简明的程序，其应用极其精彩而广泛。

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