考研线性代数重点内容及常见题型

戴立辉　陈翔

摘要：本文依据考研大纲，对考研线性代数的重点内容及常见题型进行归纳和总结，从而将线性代数课程要求学生掌握的知识体系体现出来，可作为教师进行线性代数教学时参考。

关键词：考研；线性代数；重点内容；常见题型

中图分类号：G643 文献标志码：A 文章编号：1674-9324（2016）47-0202-02

线性代数是考研数学（含高等数学或微积分、线性代数、概率论与数理统计）重要组成部分之一，由于它的内容的抽象性，因此在理解上有一定的难度，使许多学生对该课程的考题有无从入手的感觉。因此要求学生首先要充分理解线性代数的基本概念，在此基础上，熟练掌握相关基本定理或基本性质，最终熟练掌握基本计算方法，并及时将所学知识进行总结并提高，以达到融会贯通、举一反三的目的。考研线性代数内容包括行列式、矩阵、向量与向量空间、线性方程组、矩阵的特征值与特征向量、二次型等[1]。本文依据考研大纲[2，3]，对考研线性代数的重点内容及常见题型进行归纳和总结，从而将线性代数课程要求学生掌握的知识体系体现出来，可作为教师进行线性代数教学时参考。

本文中，|A|表示方阵A的行列式，R（A）表示矩阵A的秩，A表示矩阵A的转置，A表示矩阵A的伴随矩阵，其他符号可参见文献[1]。

一、行列式

行列式作为一种重要的数学工具，在线性代数课程中，如在计算矩阵的特征值中起着必不可少的作用。重点内容是计算行列式（具体的或抽象的行列式的计算），计算的主要方法有：用行列式定义计算行列式、用行列式的性质计算行列式（重点是化行列式为三角行列式）、按行或列展开定理（包括拉普拉斯展开定理）计算行列式、化行列式为范得蒙德行列式、用递推法或数学归纳法或加边法计算行列式、用方阵的特征值计算行列式（方阵的行列式等于它的全部特征值的乘积）。对于抽象的方阵的行列式的計算，目的是等的相关性质以及方阵特征值的性质。常见题型：（1）直接计算给定的低阶或高阶行列式；

（2）已知方阵A的行列式|A|，考察与A考察与 等相关的矩阵的性质；（3）已知方阵A的特征值，求其多项式φ（A）的行列式。

二、矩阵

矩阵在线性代数中占有极为重要的位置，内容多，影响深远，线性代数的各个章节中都要涉及到它，是数学及其他学科的一个不可缺少的重要工具。重点内容：（1）可逆矩阵、伴随矩阵、分块矩阵、矩阵的初等变换、矩阵的秩、初等矩阵、矩阵的相抵（即等价）及标准形等概念；（2）矩阵的加法、数乘、乘法、转置、方幂、多项式、分块等运算（包括运用矩阵的性质对抽象矩阵进行运算）；（3）数量矩阵、对角形矩阵、三角形矩阵、对称矩阵与反对称矩阵等的基本性质，伴随矩阵的常用性质，矩阵可逆的充分必要条件，矩阵的秩基本性质。常见题型：（1）矩阵的加法、数乘、乘法、转置、行列式、逆、方幂、多项式以及它们的混合运算；（2）判断矩阵的可逆及求矩阵的逆矩阵（或抽象的，或具体的，或用定义法，或用伴随矩阵法，或用初等变换法，或用矩阵分块法）；（3）矩阵与其伴随矩阵的关系，伴随矩阵性质的证明及应用；（4）用矩阵的逆或矩阵的初等变换解一些如AX=B（|A|≠0）或XA=B（|A|≠0）的矩阵方程；（5）用初等行变换化矩阵为行阶梯形以及行最简形；（6）用矩阵的初等变换计算矩阵的秩，与矩阵的秩相关的若干计算或证明问题；（7）矩阵的相抵及初等矩阵的性质与应用；（8）利用矩阵的分块法，求矩阵的乘积、方幂、行列式、逆、秩等。

三、向量与向量空间

向量与向量空间涉及的理论知识较抽象，内容也比较多。主要包括向量的线性关系以及向量空间的初步知识。重点内容：（1）n维向量的线性运算（加法与数乘），向量的线性组合或线性表示，向量组的线性相关与线性无关，极大线性无关组，向量组的线性表示与等价，向量组的秩；（2）向量空间的基、维数、坐标等，n维向量空间的基变换公式与坐标变换公式，过渡矩阵；（3）向量内积的概念与基本性质，正交向量组，正交基与标准正交基，正交矩阵及其性质。常见题型：（1）判别向量组是线性相关还是线性无关、判别向量可否由向量组线性表示；（2）利用矩阵的初等行变换求向量组的向量组的秩以及求一个极大线性无关组，并将其余向量用所得极大线性无关组线性表示出来；（3）判别向量组之间的线性表示或等价，并写出表示系数；（4）计算向量的内积﹑长度﹑夹角等，将线性无关向量组进行施密特正交单位化，求向量空间的一个标准正交基；（5）求具体的向量在给定的一个基下的坐标，求从一个基到另一个基的过渡矩阵（基变换公式），求向量在两个不同基下的坐标（坐标变换公式）；（6）判断矩阵是否为正交矩阵。

四、线性方程组

线性方程组的问题主要有线性方程组的求解法、解的判定法和解的结构等。重点内容：（1）线性方程组求解的消元法，线性方程组有解的充分必要条件，线性方程组解的基本性质；（2）齐次线性方程组的基础解系与通解，齐次线性方程组有非零解（或只有零解）的充分必要条件，非齐次线性方程组的通解；（3）克拉默法则。常见题型：（1）用消元法（即矩阵的初等行变换法）解线性方程组；（2）求齐次线性方程组的基础解系和通解；（3）判别非齐次线性方程组是否有解，若有解求出方程组的通解；（4）用克拉默法则求解方程个数等于未知量个数的线性方程组。

五、矩阵的特征值与特征向量

矩阵的特征值与特征向量和矩阵的相似是矩阵理论的重要组成部分，它们在数学的各个分支和其他科学技术领域也有广泛的应用。重点内容：（1）矩阵特征值、特征向量、特征多项式的基本概念与性质，相似矩阵的概念与基本性质；（2）矩阵可对角化（相似于对角形矩阵）的充分必要条件及对角化的方法；（3）实对称矩阵的特征值、特征向量的基本性质，实对称矩阵的对角化方法。

常见题型：（1）求矩阵的特征值与特征向量，对具体的数值矩阵A，用特征方程|λE-A|=0及（λE-A）x=0求A的特征值和相应的特征向量，而对抽象的矩阵A，可用定义Ax=λx求；（2）矩阵特征值、特征向量基本性质的应用；（3）判别矩阵是否可对角化，若可以，将矩阵对角化；（4）将实对称矩阵对角化；（5）已知矩阵 的特征值、特征向量来确定A的参数或确定A，若A是实对称矩阵，可用实对称矩阵特征值、特征向量的性质，当然有时还可以由已知特征值λ 的特征向量确定出特征值λ（λ ≠λ）相应的特征向量，从而确定出A。

六、二次型

二次型的理论主要有标准形问题以及正定性问题。重点内容：（1）二次型的基本定义，二次型的矩阵，矩阵的合同；（2）二次型的标准形与规范形；（3）定二次型与正定矩阵，其他二次型（如负定二次型，半正定二次型，半负定二次型等）。常见题型：（1）用拉格朗日配方法或矩阵的初等合同变换法化二次型为标准形；（2）用正交线性变换法化实二次型为标准形（这和实对称阵正交相似于对角形矩阵是一个问题的两种提法）；（3）求实二次型的正惯性指数、负惯性指数、符号差；（4）判别矩阵是否合同；（5）化二次型为规范形；（6）判断实二次型是否为正定二次型，或判断实矩阵是否为正定矩阵（对具体的实二次型或实对称矩阵，一般可用对应的顺序主子式是否全部大于零来判断，而对抽象的实二次型或实对称矩阵，可用相关定义或相关充分必要条件来判断）。

在考研真题中，常见的是有关矩阵、向量、线性方程组的综合试题。因此，我们要指导学生认真总结，要开拓思路，要善于分析，彻底弄清楚诸多知识点之间的内在联系，达到熟练掌握和灵活运用所学知识的目的。

参考文献：

[1]戴立辉.线性代数教程[M].上海：同济大学出版社，2013.

[2]教育部考试中心.全国硕士研究生招生考试数学考试大纲[M].北京：高等教育出版社，2015.

[3]教育部考试中心.全国硕士研究生入学数学考试分析[M].北京：高等教育出版社，2000.