应用拉格朗日中值定理逆向巧解数学问题
2016-10-21孙辉
孙辉
【摘要】随着我国新课程改革的不断贯彻和深入，在现阶段的高中课本中，逐渐引入了近代和现代数学思想，同时加入了导数的基础知识。因此，在高中数学中出现了很多相关数学模型，对高中學生的数学学习带来一定困难。通过对应用拉格朗日中值定理逆向巧解数学问题进行研究分析，希望能够为相关教育工作者提供一定的理论借鉴。
【关键词】拉格朗日中值定理 逆向 数学问题
前言：拉格朗日中值定理是微分学中的基本定理之一，同时也是高中学生必须掌握的定理，对高中生解答数学题具有至关重要的作用。在如今的高考试题中，常会出现考察高中生运用数学思想方法解题的问题，对学生数学能力要求较高。因此，高中数学教师需要在课堂教学活动中，加强对拉格朗日中值定理知识的渗透，保证所有学生能够扎实掌握此数学思想。
一、拉格朗日中值定理概述
如果函数f（x）满足：（1）在闭区间[a，b]上连续；（2）在开区间（a，b）内可导；那么在开区间（a，b）内至少有一点ε（a<ε 二、应用拉格朗日中值定理逆向巧解数学问题具体措施 在面对数学问题时，利用拉格朗日中值定理需要对问题详细解读，充分理顺定量之间的限定条件，学生全面掌握拉格朗日中值定理概念的基础上，对题目与定理之间的关系进行逆向思考，进而构建与问题有关联的函数，最终实现问题的解答。 2.1极限问题的求解 在高中数学学习阶段，有很多方法都能够解答极限问题，比如说洛必达法则、夹逼定理、或者泰勒公式。上述方法在面对极限问题时，不仅仅便于高中生进行操作，同时解题思路较为清晰明了，能够有效降低解题难度，有利于提升解题效果。但是，很多极限问题具有一定的困难性和复杂性，利用上述方法无法很好的解决。因此，可以选择拉格朗日中值定理进行求解。利用拉格朗日中值定理，可以将求积式型的极限替代差式的极限，改变题目，使解答过程更加简单。此外，面对求解极限问题时，必须充分找出极限问题与拉格朗日中值定理之间的关联，准确找出连接点，进而使方程式简化，以此实现问题的解决[2]。不仅于此，在具体计算阶段，还需要确认极限式满足拉格朗日中值定理的限定要求，避免出现解题错误的情况。 2.2不等式问题的求解 在高中数学不等式证明中，通常情况下进行函数的构建，以此明确导数与函数之间的关系，以此解答问题；使函数在某个限定条件下符合条件，进而实现不等式的证明。类似此种数学问题，很难利用初等函数进行求解，如果利用拉格朗日中值定理，能够快速准确的求出答案。利用拉格朗日中值定理证明不等式、或者求解不等式时，仅仅需要根据条件构建满足拉格朗日中值定理要求的函数即可，之后根据相应内容进行证明。 2.3证明问题的求解 在现阶段的高等数学阶段，普遍利用拉格朗日中值定理进行问题的证明。在问题的证明过程中，需要高中生能够对拉格朗日中值定理的详细内容做充分掌握，同时能够利用逆向思维，使思考从题目转回到定理中，根据具体问题，以此找出与拉格朗日中值定理相关的内容，进而将问题与定理合理联系起来。在解答数学问题时，通过利用逆向思维，找出证明途径，能够使问题难度降低，更加利于学生解答。 例如：假设g（a）在[0，1]中可导，并且0 存在性的证明：可以假设函数f（a）=g（a）+a-1，那么f（a）在（0，1）范围内可导。同时由于0 唯一性证明：可以假设f（a）=0，在（0，1）中，至少存在2个根a1a2，并且a1 2.4函数问题的求解 拉格朗日中值定理能够有效经导数与函数进行相连，中值定理通过联系起导数与函数之间的关系，可以进一步深入研究函数性质，对函数区间的连续性、单调性、凹凸性、以及符号全面解析，有利于学生在整体方面、局部方面掌握函数关系，拉格朗日中值定理是求解函数的主要方法。在面对函数问题时，同样需要做好逆向分析。根据拉格朗日中值定理、以及所求证内容，以此分析函数求证之间的关系，并且确认两者的一致性。有利于帮助学生准备而又快速的求证，简化函数问题，提升解题效率。特别注意的是，必须构建出最有效、最直接的辅助函数。 总结：通过上述论述能够看出，拉格朗日中值定理对高中生的数学学习影响深远。在高中学习阶段，学生不仅需要掌握基础性的数学知识，以及解题技巧，同时能够明确各知识之间的内在关联，充分掌握拉格朗日中值定理，结合逆向思维，利用其正确解答和证明数学问题，进而提高自身的数学解题技巧，提高数学成绩。 【参考文献】： [1]刘彬.拉格朗日中值定理在高中数学中的应用[J].数学学习与研究：教研版，2014（9）：126-127. [2]尹逊波，吴勃英，白红.拉格朗日中值定理在方程有根证明题中的应用[J].大学数学， 2015，31（2）：84-86. [3]王一棋.高观点下的中学数学——拉格朗日中值定理在中学数学中的应用[J].数学教学通讯：中等教育，2013（33）：63-64.
