数学归纳法两种教法下课堂效果对比

杨昉

数学归纳法是作为高中阶段最重要的一种数学方法，蕴含了非常丰富的数学思想，而我们在教学中往往忽略了它所体现的数学本质，取而代之的是形式化的教学。在高中课程标准中明确指出：“在数学教学中，学习形式化的表达式一项基本的要求，但不能只局限于形式化的表达，要强调对数学本质的认识，否则会将活泼的数学思维活动淹没在形式化的海洋里。”所以，这就要求我们在教育教学中，凸显出数学归纳法产生的背景，推导的过程以及结果的可信性，注重体现其数学本质，不能浅尝辄止。

在教学中，我以两种不同的教学策略分别对两个学习层次相同的班级进行教学。并从课堂效果、学生反馈、作业反馈等几个方面进行对比分析，谈谈本人对本堂课教学中如何提高课堂有效性的一些思考。

一、教学案例

案例1（授课班级：6班）

1、多米诺骨牌实验

要使所有的多米诺骨牌一一倒下？需要几个步骤才能做到？

（1）第一张牌被推倒 （奠基作用）

（2）任意一张牌倒下必须保证它的下一张牌倒下 （递推作用）

于是可以获得结论：多米诺骨牌会全部倒下。

2、归纳总结

数学归纳法证明步骤：

（1）验证当 取第一个值 （如 =1或2时）命题正确。

（2）假设当 时 命题正确，证明 时命题也正确。

3、例题讲解

例1、证明：

4.课堂反馈

练习：用数学归纳法证明：

5、课堂小结

（1）理解数学归纳法的原理

（2）数学归纳法的两个步骤缺一不可，前者是基础，后者是递推依据，最终给出结论。

（3）数学归纳法主要应用于解决与正整数有关的数学问题。

案例2（授课班级：7班）

1、 设置问题，引起思考

在这一环节中，为了引起学生思考的积极性，我选取了教材中出现但又未证明的公式作为题目“ ”。

我先以合情推理的让学生观察下列等式，并进行归纳：

2、 通过类比，引出递推思想

合情推理的结论不一定正确，我们怎样证明这个等式呢？提出问题：“可否依次进行验证”。让学生自主验证 等式的成立。在验证过程中，学生通过比较 时等式的左边，不难发现都有 这个项，自然想到利用“ ”来证明“ ”于是引导学生观察以上过程就会发现： 时结论成立推出 时结论也成立， 时结论成立可以推出 时结论成立，以此类推，此时我们就可以把这个过程一般化，當 时结论成立推出 时结论也成立。

3、 总结归纳得出数学归纳法

数学归纳法证明步骤：

（1）验证当 取第一个值 （如 =1或2时）命题正确。

（2）假设当 时 命题正确，证明 时命题也正确。

4、通过实例，理解数学归纳法

多米诺骨牌实验

（1）验证当 取第一个值 （如 =1或2时）命题正确。

类比骨牌：第一张牌被推倒 （奠基作用）

（2）假设当 时 命题正确，证明 时命题也正确。

类比骨牌：任意一张牌倒下必须保证它的下一张牌倒下 （递推作用）

（3）等式成立。

类比骨牌：多米诺骨牌会全部倒下。

由多米诺骨牌加深对数学归纳法两个步骤的理解，使学生对数学归纳法有更深刻、清晰、形象化的认识。

5、 例题讲解

例 证明：

6、课堂反馈

练习：用数学归纳法证明：

7、课堂小结

（1）理解数学归纳法的原理

（2）数学归纳法的两个步骤缺一不可，前者是基础，后者是递推依据，最终给出结论。

（3）数学归纳法主要应用于解决与正整数有关的数学问题。

二、对比反思

本节课的关键就是要求在教学过程中，学生学到的不仅仅是形式和抽象的理论，而是让数学归纳法的思想真正的走人学生的心中。在案例1中，我引入多米诺骨牌，通过这一生活中的具体事例来引导学生类比得出数学归纳法公理。但数学家在发现数学归纳法过程中，并不是由生活中的某些特殊的现象通过观察推理得来的，而是在解决一些具体的有关正整数的数学问题中，归纳推理得来的，而例如多米诺骨牌这类生活中的具体事例，只是教材在编写的时候，为了更好的让大家理解数学归纳法而提出的。因此我认为本节课的重点应放在数学归纳法以及代数问题本身，而不应该过多的去纠缠多米诺骨牌等实际问题。

在案例2中，为了寻求事物的一般规律，我们先考察一些特殊的实例，再通过不完全归纳形成猜想，然后再试图用演绎推理对之进行证明。这也是世界上很多著名的数学问题的求解方法，这种方法对于学生思维的提高很有帮助。本案例中我们以：“由 时结论成立可以推出 时结论成立”归纳出一般的 “假设 时结论成立，则 时结论也成立”并且以此类推，让学生充分体会到数学归纳法是用有限个步骤，能够处理完无限个对象的方法。同时，也让学生真正认识到了两个步骤的实质：第一步验证的意义是归纳奠基，只有在第一步成立的前提下第二步才有递推的可行性；第二步是归纳递推，由第二步形成的“证明的小循环”保证了这种数学关系成立的“永恒”性。

通过以上两种不同的教法的课堂教学，可以明显的感受到运用案例2中的教法，课堂教学效果较好，学生反应较为迅速，这也说明了学生对本堂课知识掌握更到位。学生通过对数学归纳法本质的理解，再以多米诺骨牌这一实例加以辨析和辅助记忆，使学生更好的理解了数学归纳法，同时也保证了数学归纳法本身的主体性。

对比两堂课的教学反馈，不难看出，案例1的教学方法更能调动学生学习的积极性，但是教学效果相对较差；案例2中的教学方法，让学生更清晰的认识理解所学习的知识，教学效果良好，使课堂得以高效的进行。

在数学的教学过程中，与生活联系是必要的，但是要凸显出知识的本质还得依靠数学本身。因此在这两堂教法不同的课上，我倾向于案例2中的教法。我们不能只追求课堂的趣味性，更应努力最求课堂的高效性。只有这样才能使学生的知识、能力、素质得到最大限度的发展。