多视角计算内含报酬率

摘要：骆竹梅副教授在《财会月刊》发表的《数学视角下内含报酬率的测算》描述了运用相似三角形计算内含报酬率的详细过程，但是还有几个小问题亟待完善。为此，笔者以李强拟购买国债的案例，分别利用图解法、差值法和函数法等多视角来阐述，为不同层次的研习者揭开计算内含报酬率的“神秘面纱”。

关键词：多视角；内含报酬率；计算方法

骆竹梅副教授在《财会月刊》2014年7月第14期发表了《数学视角下内含报酬率的测算》（以下简称《骆文》），该文“图2”中描述了运用相似三角形计算内含报酬率的详细过程。《骆文》以新颖、直观和易懂的方式阐述了内含报酬率的详细计算过程，值得学习和借鉴，笔者认为还有几个小问题不容忽视：第一，计算内含报酬率本质上是解一元n次方程，所以关于折现率i的几何图形不会是简单的直线。第二，BD线段与横轴相交的C点横坐标，未必就是内含报酬率，它只是近似代替。第三，没有点明计算内含报酬率一元n次函数严格单调递减的特性。为此，现举例来阐述。

一、案例分析

[案例]2015年1月1日有一份面值50万元、期限10年、每年固定收益为1.2万元、每年12月31日支付利息、到期归还本金的国债摆在李强先生面前，假设仅考虑经济因素，他购买该份国债是否划算（相对于同期银行存款的税后收益率）？

经过分析上述案例资料，李强是否应该购买案例中的国债，属于独立投资决策方案，关键要测算该份国债的内含报酬率（IRR），然后将其与同期银行存款税后收益率进行比较，假若前者不小于后者，则符合投资目标；反之，则不能购买。

根据分期付息到期一次还本的债券估值模型：

公式1

其中：At为债券各期支付的利息，i为债券的折现率，n为债券的总期数，F为到期后债券归还的本金。若债券每期支付的利息是等额的，则将公式1简化为：

公式2

套用公式2，则本案例中的国债估价等式为：

等式1

下文从多个视角来计算等式1中的内含报酬率。

二、多视角求解内含报酬率

（一）图解法

将等式1左边的50移项至右边，同时令左边等于f（i），将等式1演变成：

等式2

等式2中的f（i）明显是一个关于利率i的一元10次方、严格单调递减的函数（证明从略）。利用“试误法”对等式2进行逐步测试可得：f（3%）=-2.5591万元（47.4409-50）<0，f（2%）=1.7965万元（51.7965-50）>0，由此推测内含报酬率介于2%与3%之间。

根据图1所示，若以横轴表示利率（折现率），纵轴表示净现值（NPV），可将A点（2%，1.7965）和B点（3%，-2.5591）在二维坐标中描绘出来，A点、B点均在f（i）的曲线上；设曲线与横轴的交点为C点，C点横坐标即为将要计算的内含报酬率，要计算出内含报酬率就转化为找出C点的横坐标。当A点与B点之间的绝对距离趋于0时，利用“化曲为直，以直代曲”的数学思想，则曲线ACB以直线AC'B代替，C点以C'点代替，所以要计算C点的横坐标则可以用C'点的横坐标来近似代替，设C'点的横坐标为i。

为了方便阐述，在图1中增加虚线AD（长度为A点的纵坐标）和虚线BE（长度为B点纵坐标的绝对值），利用平面几何知识可得：?ADC'∽?BEC'，相似三角形对应边成比例，则有AD/BE= DC'/ EC'，即1.7965/2.5591=（i-2%）/（3%-i），解得i=2.41%，从而近似求得内含报酬率。

图1 图解法

（二）差值法

令前文等式1的右边（债券本息和的现值）等于y，即：

图2 差值法

当i=2%时，y=51.7965；设内含报酬为（2%+x），则当i=（2%+x）时，y=50；当i=3%时，y=47.4409；将这3组数据依次列在图2中，然后第2组数据对应减第1组，可得（x，-1.7965）；第3组数据对应减第1组，可得（1%，-4.3556）。

当第1组数据与第3组数据的平面坐标点之间的绝对距离趋于0时，则两组差值之间存在近似的线性关系，即：x/1%=（-1.7965）/（-4.3556），解得x=0.41%，从而计算出内含报酬=2%+x=2.41%。

（三）函数法

根据图3所示，利用Microsoft Excel软件求解内含报酬率，其操作步骤为：首先，在单元格A1：K1中录入各年年序；然后，在单元格A2：K2中输入各年发生的净现金流量，正数为净现金流入（债券每年支付的利息和债券到期收回的本金），负数为净现金流出（债券的初始投资成本）；最后，设置L2=IRR（A2：K2），就能计算出实际报酬率。

三、结论

根据中国人民银行2015年8月26日公布的《人民币存款利率表》，5年期以上的整存整取利率为3.05%。显然，案例中的国债内含报酬率2.41%远低于同期银行存款税后净收益（存款利息所得暂免征收个人所得税），仅仅考虑经济因素的话，李强先生投资该份国债显然是不划算的。

参考文献：

[1]骆竹梅.数学视角下内含报酬率的测算[J].财会月刊，2014（14）.

[2]周志勇，吳艳红，蒋昕.多视角教学方式计算工资薪金个人所得税[J].财会月刊，2013（20）.

（作者单位：广东海洋大学寸金学院）