例析数学题型中条件变化类型

张丽红

在平时的教学中，我们经常会遇到这样的情况，试卷上的题目和以往见过的非常类似，但事实上却是要求不同的题目，部分学生在做这些题时会凭自己的感觉写上答案，错误非常普遍，学生的心理特点是容易理解和接受具体的感性认识。为了让学生在学习中了解概念的发生与形成过程，弄清概念之间的区别与联系，在头脑中形成相关概念的网络，以达到掌握并灵活运用的程度，我们有必要研究数学题目中那些似曾相识却又并非一样的几种相似题目类型，教会学生去分析比较，去区别，以下的例子在北师大版义务教育初三数学教材的习题中尤为常见：

一、数学题型变换类型分析

1.相似三角形的性质的运用中，题目条件中的符号“∽”相似，与文字“与”相似的不同

例（课本P123，22题）：如上图，AB⊥BD，CD⊥BD，AB=6，CD=4，点P在BD上移动，当P，C，D为顶点的三角形△ABP相似时，求PB的长。

分析：题目中，只是要求△PCD与△ABP相似，它们的顶点除了直角顶点自然对应外，另外两个顶点是可以有两种对应的，即本题应该分类讨论进行求解：

（1）当∠A=∠CPD时； （2）当∠A=∠C时。

倘若把题目改为：如图 AB⊥BD ， CD⊥BD，AB=6，CD=4，点P在BD上移动，△PCD∽△APB时，求PB的长。

分析：本题两个三角形相似的每个顶点之间的对应关系都已经确定了，所以答案就只有一种情况。

2.题目本来的文字意义不同，引起题目的结论要求不同

例：（1）连续掷两枚质地均匀的硬币，求恰好有一次正面朝上的概率。

（2）连续掷两枚质地均匀的硬币，求至少有一次正面朝上的概率。

分析：在做这类概率题目时，学生总是因为不能理解“恰好有一次”和“至少有一次”的准确含义而导致解答错误：“恰好有一次”含义：有且只有一次正面朝上；“至少有一次”含义：指一次或者两次正面朝上，即包括一次和两次朝上的所有情况。

3.在利用方程解应用题的教学中，因为题目多一个词而引起结论的不同

例（课本P55）：随堂练习某批发市场柜台春节期间购进大量贺年卡，这种贺年卡平均每天售出500张，每张赢利0.3元，为了尽快减少库存，摊主决定采取适当的降价措施。调查发现，如果这种贺年卡的售价每降价0.05元，那么平均每天可多售出200张，摊主要想平均每天赢利180元，每张贺年卡应降价多少元？

分析：本习题要特别关注“为了尽快减少库存”这一句话的含义要求，也就是说，在所求出两个满足方程的正数解中，应该把较小的这个解舍去，因为降的价钱越大，库存减少得越快，但是，倘若题目中，把“为了尽快减少库存”去掉，那么满足方程的两个正数解都符合要求，不能舍去。学生在解这些应用题时，经常会因为理解这句话的存在意义而把结果搞错，或者就是无视这句话直接导致解答出错。

4.反比例函数值大小比较的问题中，如果已知反比例图象上的两点与已知反比例函数某一支上的两点，函数值的大小也会有较大的差异

例1.（课本P157）数学理解：已知点（x1，y1）（x2，y2）都在反比例函数y=的图象上，且x1>x2，比较y1与y2的大小。

例2.已知点（x1，y1）（x2，y2）是第三象限上的点，且都在反比例函数y=的图象上，且x1>x2，比较y1与y2的大小。

分析：例1没有说明点（x1，y1）（x2，y2）的具体位置，所以需要分两种位置情况进行思考讨论：（1）（x1，y1）在第一象限，（x2，y2）在第三象限，体现数学学科的分类思想；（2）点（x1，y1）（x2，y2）都在反比例函数的同一支曲线上，从而进行比较函数值y1与y2的大小；而例2说明了这两个点的具体位置，都在反比例函数的同一支曲线上，所以只有一种结果。

5.在研究方程的根的条件时，学生往往不懂全面理解题目隐含意思，使得答案出错

例1.已知关于x的方程（k-1）x2-（k-1）x+ =0，有两个相等的实数根，求k的值。

例2.已知关于x的方程（k-1）x2+3x+=0，有實数根，求k的范围。

分析：这些题型一般会出现在试卷的选择题或者填空题，学生的解答大多数都是不对的，比如例1：学生会错答成：k=1或k=2，原因是学生对题目隐含的条件：二次项的系数（k-1） 不等于0总会忽略掉，深究其原因，是学生没能真正理解一元二次方程的实质性含义； 至于例2：学生会错答成：k≤9，且k≠1，学生对题目中的“关于x的方程”并没有关注，只关注了有实数根，就认定（k-1）x2+3x+=0只是一元二次方程，没有意识到当k=1时方程（k-1）x2+3x+=0变成一元一次方程：3x+=0，也是有实数根的。

二、总结

数学问题千变万化，数量繁多，如果只盲目地追求解题数量，而不注意解题类型、知识点的完整性，解题效果是不会理想的。各种考试中，多数试题都是取材于教科书。试题的构成通常是在教材的例题、练习题、习题的基础上通过类比、加工改造、加强条件或减弱条件、延伸或扩展而成的。所以对于做过的题目，我们要善于总结归类，想一想这道题在知识结构上属于哪一类？在解题思路和方法上属于哪一种？在解决问题的过程中，要为学生提供展示自己聪明才智的机会，同时教师要及时发现学生分析问题、解决问题的独到见解，以及思维的误区，把习题按涉及的知识、方法进行分类、归纳，可以举一反三，触类旁通，做到“一法懂，万法通”“做一题，解一类”，这样就能得心应手地应对在数学问题中出现的同类型不同条件的题目。总之，细心将能决定学生在数学答题中的准确度。

三、教学建议

只是知道题目类型是很难做到随机应变的，所以我们作为教师要懂得如何引发学生的兴趣，因为学习兴趣是推动学生学习的动力，学生如果能在学习数学中产生对数学的兴趣，就会形成较强的求知欲，就能积极主动地去参与学习。培养学生数学学习兴趣的途径有很多，如让学生积极参与教学活动，并让其体验到成功的愉悦；创设一个适度的学习竞赛环境；发挥趣味数学的作用。

参考文献：

蔡网兰.中考添加条件证几何新题型例析[J].数学学习，2002（6）.

编辑 谢尾合