九年级数学专题复习中的模型建构探讨

余世豪

【摘 要】数学模型是数学思维的支撑点，是数学知识的附着点，也是数学应用的突破点；数学模型思想的建立，是学生体会和理解数学与外部世界联系的基本途径。因此，在初中数学教学中，教师应重视模型思想的渗透，让学生经历建立模型，利用模型解题的过程。

【关键词】构建；基本模型；效率

一、教学片段与点评

片段一：构建基本模型，积累经验

出示原题：直线l表示草原上的一条河流，一骑马少年从A地出发让马去河边饮水，然后返回于B地家中，他沿怎样的路线行走，能使路程最短？作出这条最短路线。

生1：只要作点B关于直线l的对称点B，然后连接点B和点A，与直线l的交点为C，连接BC即可。所求的最短路线就是图中的A-C-B。

师：这样作图的依据是什么？

生2：三角形两边之和大于第三边。

生3：应该是“两点之间线段最短”。

师：其实两位同学说的都对。这个问题实际上是利用轴对称变换的思想，把A，B在直线同侧的问题转化为在直线的两侧，从而可利用“两点之间线段最短”，即“三角形两边之和大于第三边”的问题加以解决。我们可以把这个问题归纳为“马饮水”的数学模型，解决此类问题的方法就是通过作点关于线的对称点，实现化“同”为“异”，化“折”为“直”。

片段二：探究基本模型，深化认识

问题1：如图，BC=6cm，以BC为直径作⊙O，D是半圆BC的一个三等分点，E是半圆BC的一个六等分点，P是直径BC上一动点，连接DP、EP，则DP+EP的最小值是 cm。

生4：作点E关于BC的对称点E，连接DE， DE的长度就是所求的最小值……

问题2：如图，BC=6cm，以BC为边作△ABC，点D、E分别是AB、AC边的中点，且BC边上的高为4，BC边上有一动点P，使得△PDE周长最小。

①、请你在BC边上作出点P，保留作图痕迹，不写作法。

②、请直接写出△PDE周长的最小值： 。

生5：作点D关于BC的对称点D，连接ED， 利用勾股定理可求出ED的长度，也就是所求的最小值，所以答案应该是5。

生6：不对。5是PD+PE的最小值，△PDE周长的最小值应该再加上DE的长，正确答案是8……

片段三：拓展基本模型，提升思维

問题3：如图，一个底面半径为1cm，高度为2πcm的无盖圆柱形玻璃容器，A、B两点在容器顶部一条直径的两端，现有一只小甲虫在容器外部A点正下方1cm的M处.

（1）若容器外部B点正下方，距离底部1cm的N处有食物，则这只小甲虫要到N处，最短爬行的距离____cm。

（2）若N点是在容器的内部，则小甲虫最短爬行的距离是____cm。

生7：题（1）只要利用两点之间线段最短，在圆柱的侧面展开图上直接MN就可以了。

生8：题（2）与题（1）相同。

生9：我认为不同，因为食物是在容器的内部，小甲虫在容器外部，所以小甲虫从想点M爬到点N，必须先爬到容器口，所以应该在圆柱的侧面展开图中作点M关于AB的对称点M，连接MN，就可以用勾股定理求出最短路径是cm……

二、教学启示：

（一）数学教学要重视基本模型的构建与挖掘

教师要立足日常课堂教学，有意识地引导学生从中提炼出基本图形，帮助学生归纳和掌握其主要特征和性质，体会蕴涵的数学思想，并运用其解决问题，使学生真正做到解一题，会一类，通一片。这既有利于培养学生“透过现象看本质”的分析问题能力，又可以培养学生的发散性思维，提高解决问题的能力。

（二）数学教学要注重模型思想的渗透

我们在平时的教学中必须重视模型思想的渗透，将数学模型思想寓于具体的概念、法则、实际问题的解决以及一般数学问题的学习和探索中，使学生在对数学规律与方法的探索、归纳和提炼过程中，领会数学模型的涵义，认识数学模型的作用，感受数学模型的思想，体会数学的应用价值，树立数学应用的意识，初步获得发现问题、提出问题、解决简单实际问题的能力。

（三）数学教学要关注学生的最近发展区

作为复习课，教师更应关注学生的最近发展区，让学生主动参与、自主探索，让学生在探索和思考的过程中感悟数学思想，积累数学活动经验。通过教师的引领，让学生在互相交流中互相促进，掌握探究方法；在体验中自主提升，丰富数学思考；在反思中主动生长，构建自己的数学体系；在开放中和谐发展，感受数学之美！