惯性导航位移参数在大地坐标系中的严密计算方法

宋韬 梁海军

【关键词】GNSS/INS 组合导航 大地坐标系统 参考椭球 导航位移参数 严密算法

1 引言

为指引航空器按照预定航线以正确的飞行姿态抵达目的地，需要采用导航系统对其进行定位和航迹引导。而运用于航空器领域的导航系统必须适应远距离航行及高速移动的特殊要求。

目前，民用航空领域多采用基于甚高频全向信标和测距仪（VOR/DME）的陆基导航设备进行导航。陆基导航设备不能准确测量目标相对于导航台的俯仰角，未将地球曲率对距离和航空器导航精度和空域资源的有效利用均受到陆基导航系统的限制。

具有全球性、高精度和全天候等特点的全球导航卫星系统（GNSS）和不依赖外界信息且受外界环境影响而降低精度，且在测量高速移动的目标时容易失锁，从而影响导航的稳定性和连贯性；而 INS 为一种以牛顿运动定律为基础，不接收外界信息，不向外辐射能量且不依靠外部参考基准的自主式导航系统。该导航系统通过各正交轴向的加速度传感器进行自主定位。INS 几乎不受自身运行状态和外界环境的干扰，但缺少外部参考基准的特点，使其定位航要求。

上述两种导航系统在导航方式和适用范围上互相补充。因此，可以综合利用两种导航系统，将其导航数据进行融合，构成 GNSS/INS 组合导航系统，从而使 GNSS 导航电文易受干扰、易失锁及 INS 导航精度随着时间的推移而降低的问题得到解决。

对两种导航系统基于不同坐标基准的导航参数进行精确数据融合是實现组合导航的关键问题之一。即将 INS 测得的在三个正交轴上的位移参数换算到 GNSS 所在大地坐标系参考椭球的大地经度、大地纬度和大地高上。从而使惯导系统的位移参数与大地坐标建立联系，为之后的滤波分析和位置解算提供准确可靠的基础数据。

2 惯导位移参数在近似正球体中的概略计算

2.1 卫星导航系统与惯导系统的测量基准

由于地球重力场的不均匀分布，使大地水准面所包围的形体（大地体）呈现为两级略扁的不规则球体，难以用数学公式严密表达。因此，在卫星导航中通常采用几何中心与地球质心重合，以地球自转轴为旋转轴的旋转椭球近似代替大地体，称为参考椭球。而卫星的导航定位是以基于参考椭球的大地坐标系统为基准的，即：大地经度 L、大地纬度 B 和大地高 H（如图 1 所示）。

而惯性导航系统根据惯性单元安装部位和测量模式的不同，可分为平台式与捷联式两种。

它们均利用三轴加速度计得到运动载体沿真北方向、铅垂线方向及与两者正交向东的第三个方向的瞬时加速度值，并利用牛顿运动定律换算为三轴位移参数进行累加计算定位。

2.2 基于近似正球体的位移参数概略计算

如上文所述，卫星导航系统与惯导系统的测量基准存在较大差别，而要想实现两者的数据融合进行组合导航，就需要统一坐标基准。目前，针对 GNSS/INS 组合导航系统的导航参数转换，通常将参考椭球近似看作半径恒定的正球体进行计算。若已知初始定位点P0的大地坐标为（L0，B0，H0），惯导系统所得三个正交方向的位移参数分别为?SN、?SH、?SE，则基于近似正球体的大地坐标概略值计算式为：

在上式中，R′为参考椭球的近似球体半径，介于赤道半径与极半径之间。

如图 2，为参考椭球和近似正球体的四分之一子午圈示意图。从图中可知，同一点P0在参考椭球和近似正球体中的大地坐标存在一定偏差。近似计算方法思路简便，算法复杂度低且易于程序实现，但忽略了卫星导航系统参考椭球中赤道半径（椭球长半轴 a）与极半径（椭球短半轴 b）之间存在约 21km 偏差的特点，故使得概略计算结果与真实情况存在差距。在对定位精度有较高要求，或在较长时间内无法使用全球导航卫星系统对惯导系统的定位结果进行校正时，这种近似计算方法难以得出精确可信的结果。

3 基于大地坐标系统的惯导位移参数严密算法

假设在参考椭球附近有一点P0为已知初始定位点，其大地坐标为（L0，B0，H0）。在经过时间?t后，到达P1点。根据惯导系统测得，由初始定位点P0到P1的过程中，沿真北方向、铅垂线方向和与两者正交向东的第三个方向的位移参数分别为：?SN、?SH、?SE，欲根据位移参数得到P1点相对于参考椭球的精确大地坐标（L1，B1，H1）。

3.1 大地纬度方向位移量的计算

如图 3 所示，为参考椭球子午面直角坐标系示意图。其中，子午面坐标系xOy是以地球质心O为原点，地球自转轴为y轴，x轴位于初始定位点P0所在子午面的平面直角笛卡尔坐标系。图中椭圆代表经过P0点的子午圈。

由已知条件，在子午面直角坐标系中，从P0到P1，物体沿着与子午圈平行的路径向真北方向的位移量为?SN（如图 3），则未知点P1的大地纬度计算方法推导如下：

设初始定位点P0沿参考椭球法线方向与椭球面的交点为A0，它在子午面直角坐标系中的坐标为（x0，x0）。根据椭圆参数方程（如图 3 所示），该点坐标值表示如下：

（1）

上式中，a、b分别为参考椭球参数中的长半轴与短半轴，θ0为角度参数，其几何意义如图 4 所示。

过点A0作子午圈的切线，该切线斜率K0和该点处法线斜率（点P0纬度正切值）tan B0计算分别如下所式所示：

通过（3）式即可得A0点大地纬度B0和对应的子午圈椭圆参数方程中的角度参数θ0之间的关系：

根据（1）式与（4）式可得P0在参考椭球面的投影点A0在子午面平面直角坐标系的坐标（x0，y0）。

从而根据过A0点的法线方程，计算得到法线在子午面平面直角坐标系中的x轴截距x0′（如图 3）：

因此，在参考椭球上，初始点P0沿法线方向到赤道面的距离DP0P0′为：

A0处的子午圈椭圆曲率半径计算式如下：

为求得点P1的纬度概略值B10作为迭代计算的初始值，将子午圈椭圆近似看作半径为RA0的正圆，则B10计算式如下：

此时，根据弧长曲线积分，得此时沿真北方向的实际位移量为：

其中，θ10为P1点概略纬度所在位置对应的椭圆参数方程角度参数。根据（3）式得θ10计算式如下：

根据定位精度要求，设定迭代阈值ε，作为实际位移量与实测位移量的容许偏差，若：

则重新计算未知点P1的纬度概略值：

迭代计算（8）到（10）式，直至|?SN0 -?SN| ≤ ε为止，即可得到满足容许偏差要求的未知点P1的大地纬度精确值B1。

3.2 大地经度与大地高方向位移量的计算

如图 4 所示，与子午圈不同，参考椭球的卯酉圈（纬线圈）为正圆，因此可以利用圆的弧长公式对大地经度进行计算。由上文可知，P0在参考椭球的投影点A0所对应的卯酉圈半径为A0横坐标x0，故大地经度计算如下：

沿东西方向位移量?SE在参考椭球面上平行于卯酉圈方向的投影长度?SE′为：

故未知点P1的大地经度值L1计算式如下：

大地高为某点沿法线方向到参考椭球面的距离，该方向与惯导系统所依据的铅垂线方向存在角度差异，即垂线偏差。垂线偏差的大小与地球重力场密切相关。由于垂线偏差一般仅有数秒，它所引起的物体在法线方向和铅垂线方向的位移量偏差并非惯导系统在大地坐标系中的主要误差来源。若要将垂线偏差的影响考虑在内，可通过 EGM2008 地球重力场模型解算，得待测目标所在位置的垂线偏差子午圈分量（南北分量）ξ和卯酉圈分量（东西分量）η。则待测点大地高的计算式为：

4 计算实验

为验证上文所述位移参数在大地坐标系中的严密算法，以全球定位系统 GPS 所采

用的 WGS-84 大地坐标系作为解算基准（如表 1 所示），选取北半球中纬度地区某一范围进行

仿真计算实验。

设已知初始定位点P0大地坐标（大地纬度、大地经度和大地高）为：B0= 31°28′12.31′′ N；L0=104°00′00.00′′ E；H0=8900m。经一定时间后，惯性导航系统三轴累积位移量为：?SN=1014872.756m；?SE=500000.000m；?SH= 600.000m。

利用计算机辅助设计软件 Auto CAD 依据该仿真计算的初试设定参数进行建模，得到WGS-84 大地坐标基准下的位移参数真实值作为参考。并分别以半径R=6367445m的近似球体和 WGS-84 椭球为基准，对三轴位移参数进行大地坐标换算。CAD 建模参考数据及两种算法计算结果如表2所示。

从计算结果对比表中的相关数据可以看出，以 WGS-84 大地坐标系为基准的严密算法所得结果中的大地纬度与大地经度同建模数据更为接近，偏差均在1′′以內，换算为椭球面距离偏差约为 3.6m；而以半径恒定的正球体为基准进行近似计算，所得大地纬度与大地经度同建模数据偏差的绝对值均超过50′′，换算为椭球面距离偏差约为 2238.2m。由于严密算法与近似算法的大地高计算方法相同，垂线偏差对大地高的影响十分微小，因此三者的大地高计算结果一致。该计算实验表明，相较于近似算法，严密计算方法明显与建模数据更为接近，计算偏差值更小。

5 结论

通过对参考椭球和大地坐标的分析，并对基于大地坐标系的惯性导航位移参数转换算法

进行严密推导，可得结论如下：

全球导航卫星系统（GNSS）与惯性导航系统（INS）在诸多层面互为补充，能够满足高精度航空导航的要求；GNSS 以极半径和赤道半径存在差值的参考椭球作为大地坐标测量基准。若以正球体代替参考椭球对 INS 位移参数进行换算，则计算结果与真实情况存在偏差，难以满足较高的导航精度要求；通过基于大地坐标系参考椭球的严密算法，可以实现惯性导航系统（INS）在三个正交方向位移参数基于全球导航卫星系统（GNSS）大地坐标增量的严密计算，从而增强了 GNSS/INS 组合导航系统的稳定性、可靠性和导航数据的精确性。

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