由一道期末试题引发的思考

熊敏

我在过去的一学期里参与命制初一期末数学试卷。其中23题，叙述并证明勾股定理的逆定理，像预料之中的一样，得分率极低，别说证明，很多学生连勾股定理的逆定理内容都叙述不清楚。是哪里出了问题？学生说老师没有讲过，老师说教学目标没有要求，我不想去争论这道题目该不该考察的问题，只是这道题目引发了我一点点思考，希望能和大家一起探讨。

思考一：教师的根本素养在教材的深入研究

我们要思考一下下面几个问题：

（1）为何要学习“勾股定理的逆定理”？

（2）“勾股定理的逆定理”认知基础是什么？

（3）本内容对学生培养学生的数学思维的哪些方面？

（4）证明“勾股定理的逆定理”的方法是怎么想到的？

（5）符合学生的认知结构吗？

首先，作为一流名校的学生，有很好的认知能力，勾股定理的逆定理证明基于构造全等的直角三角形三角形，这正是七年级上册的重点、难点内容，学生掌握的较好，能把新旧知识联系起来，应该启发学生自己去讨论钻研，但是我们教师缺乏引导。

其次，我们的教师有很好的科研能力，有老师说这是旧教材的内容，与新教材不符，站在学习数学的角度来看，我们可以根据学生的水平，不同程度的去参透，像这样的问题需要学科组讨论，该怎样讲？讲到什么程度？特别是给青年教师一个指引，学会用教材教，而不是教教材。

记得上学期末的时候，特级教师李慧珍老师到了我们年级听了每位数学老师的课，她给我评课的时候，除了给予好评之外，她很严肅的提出，为什么不用书上的课堂练习？而自己额外补充练习？说实话，当时我不是很理解。经过一段时间的思考，我能感悟到其中的道理，我们常常谈到的教学基本功，往往提到语言表达能力，课堂调控能力，以及板书、情感、教态等。其实，最关键的是教师对教材的理解准确不准确、深刻不深刻。不准确会产生误导，不深入必然流于浅薄。没有对数学内容的准确把握、深刻理解，即使有高技巧的华丽教学，也不会有高水平的数学教学。因为，学生新认知结构的构建需要提供知识结构的优质素材，“教什么”比“怎样教”更重要。所以，教学中教师要实现有“教教材”向“利用教材来教”的观念和行为转变，努力做好联系实际，还原教材生活本色。似真发展，还原知识的生长过程。民主教学，促进教材动态生成。改编习题，促进学生发散思维能力的发展。拓展教材，促进课程资源有效开发。

思考二：教师应该关注知识的生长过程，培养推理能力

注意知识方法过程教学，特别是数学定理、公式的推导过程和例题的求解过程，基本数学思想和数学方法、基本的解题思路方法被想到的过程，要敢于、勇于向学生暴露自己的思维、展现自己的思维，让学生了解感悟教师的求解过程的思路方法，避免教师一说就对、一猜就准、一看就会，只给学生现成结论局面的出现。教学中，要将数学教学作为一种数学思维活动来进行，要让学生亲身经历数学问题的提出过程、解决方法的探索过程、方法能力的迁移过程。让学生在参与数学思维活动、经历知识产生发展过程中，逐步提高数学能力。由于受“应试教育”惯性的影响，传统教学过程中存在一些弊端，突出表现在：萎缩和削弱知识产生、发展的过程，过分膨胀应用的过程，即概念公式一带而过，大量时间用于练习应用。要改变上述现象，必须提高认识，变“结果”教学为“过程”教学，即在课堂教学中充分揭示数学思维过程，加强知识产生发展过程的教学，也就是要认真研究概念被概括的过程、结论被推导的过程和解题方法被想到的过程。

就说勾股定理的逆定理的证明过程，是不是容易能被想到呢？笔者认为未必。在不了解同一法时，能想出来的可能性很小。但是在讲解这个证明的过程中对学生的推理能力，能够有很好的锻炼，也积累了新的一种数学方法。对本节内容，教学目标之一经历直角三角形的判别条件（即勾股定理的逆定理）的探究过程，进一步发展学生的推理能力。这里我就想谈谈推理。

推理一般包括合情推理和演绎推理，合情推理是根据已有的事实和正确的结论（包括定义、公理、定理等）、实验和实践的结果，以及个人的经验和直觉等推测某些结果的推理过程，归纳、类比是合情推理常用的思维方法。在解决问题的过程中，合情推理具有猜测和发现结论、探索和提供思路的作用，有利于创新意识的培养。演绎推理是根据已有的事实和正确的结论（包括定义、公理、定理等），按照严格的逻辑法则得到新结论的推理过程。培养和提高学生演绎推理或逻辑证明的能力是高中数学课程的重要目标，合情推理和演绎推理之间联系紧密、相辅相成。初中阶段，我们应该从合情推理入手，波利亚呼吁。“让我们教猜想吧！”再联想到有关团体对中外学生调查结果显示的中国学生科学测验成绩较差的信息，不能不使我们感到加强对推理能力的培养已是刻不容缓。因此，“既教证明，又教猜想”，不至于在上了高中以后，觉得很不适应。若在教学中能正确地使用推理的教学模式，至少不会削弱学科教学的技术功能，而文化教育功能将得到明显的加强，学生有效地应用推理的技能得到提高，创造能力得到加强。

罗增儒教授在解题学引论中指出：“编拟数学题需要深厚的数学知识功底，良好的思维素质和熟练的编题技巧。有时候，创造一个问题比解决一个问题更为困难。”这就告诉我们试题的创新应扎根于教学研究之中，不断学习，加强解题研究是试题创新的条件。我们要不断努力探索，将培养和发展学生数学思维能力，提高教师的专业素养。

【参考文献】

[1]中学教学参考

[2]乔治.波利亚，阎育苏译.怎样解题[M].北京：科学出版社，1982

[3]乔治.波利亚，李心灿译.数学与猜想（第一卷）[M].北京：科学出版社，1984

（西安交通大学附属中学分校）