高中数学解析几何的教与学

陈学林

解析几何是各省市及全国高考中的难点和热点。每次和学生谈及高考数学，大家似乎都有同感：高中数学难，解析几何又是难中之难。其实不然，解析几何题目有规律可循，方法可依。只要掌握解析几何的本质和基本方法、技巧，解析几何问题就会迎刃

而解。

首先，了解解析几何的产生和本质很有必要。解析几何是17世纪数学发展的重大成果之一，是当时法国数学家笛卡儿创立的，大大促进了物理学和天文学的发展。恩格斯当时给予了高度评价，本质是用代数的方法研究几何问题。体现了数形结合的重要思想。使形象生动的几何图形与精确描叙述的代数语言有机结合，使形与数可以相互转化。

其次，了解解析几何研究的主要问题，解析几何研究的主要问题是：（1）根据已知条件，求出表示曲线的方程。这就要掌握求曲线方程的基本方法。如：直译法，相关点法（代入法），定义法（待定系数法），交轨法等基本方法。（2）通过曲线的方程，研究曲线的性质。如通过研究椭圆的方程就可以知道椭圆的长轴和短轴，离心率等基本知识。通过研究函数的解析式就可以画出其图像，继而研究其性质如单调性和奇偶性，定义域，值域也属于这一范畴。

第三，注重圆锥曲线（圆，椭圆，双曲线，抛物线）定义和初中平面几何知识的运用。圆锥曲线的定义有两面性，一是作为定义可以用来判断动点的轨迹是否是某一类曲线的依据。另一方面也可以作为性质来用，只要点在曲线上，它就具有这一性质。比如，已知一点在椭圆上，那么这一点到两焦点的距离之和一定为常数2a。另外，熟练掌握初中平面几何知识有时对于我们了解解析几何问题有事半功倍的效果。我们在求直线截圆所得的弦长时，就是用初中的垂径定理和勾股定理来解决的。近年的高考题都有所体现，如2015四川高考理科压轴题第20题第（2）问，由角平分线的性质可得Q点一定在y轴上，这样就会减少运算量，2015全国新课标Ⅱ理科第20题第（2）问也考查平行四边形的对角线互相平分的性质。

第四，在教学中适时用多媒体辅助。多媒体教学具有形象、生动、直观的特点。多媒体教学更能体现现代教学理念。更能激发学生的兴趣，俗话兴趣是最好的老师，有了兴趣，学生才会有求知欲。通过这种渠道获得的知识，学生才会印象深刻，记忆才会牢固。圆锥曲线的很多性质通过多媒体展现出来，更显得生动。如借助信息技术，通过改变椭圆的长轴长，短轴长或焦距等，可以帮助我们发现椭圆的几何特征及其基本性质（变化中保持不变的特征）。此外，多媒体教学工具为我们创造了一个通过演示实验，发现问题、形成猜想、获得结论的环境，通过在多媒体的动态演示，观察动点轨迹形成的过程，发现问题，得出结论。教材在这方面给我们作了很好的范例，在引入椭圆、双曲线、抛物线的定义时，先给我们示范了一个简单易行的演示实验。这些演示实验如果能让学生亲手做一遍，效果会更好。

第五，熟记一些常见的基本结论，掌握一些基本方法。熟记圆锥曲线中的一些基本结论有利于帮助我们提高解题的速度。常见的基本结论有椭圆与双曲线的焦半径公式（如2015全国新课标Ⅰ理科第5题）、半通径公式（如2015重庆文科第9题），焦点三角形的面积公式。抛物线的焦点弦长公式，抛物线的通径公式。等轴双曲线的离心率和渐近线公式。另外，掌握一些基本方法也很有必要，例如：中点弦问题常用点差法（如2015全国新课标Ⅱ第20题第1问）。直线与圆锥曲线往往要联立方程组再结合韦达定理进行处理。

第六，注意把前后知识进行衔接，正确把握教学要求，提高学生综合运用知识的能力。解析几何的内容不仅包括圆锥曲线部分，还包括必修2的直线和圆，选修4的极坐标和参数方程。教学时不能把它们割裂开来。近年的高考解答题中有的是以圆为载体来考察解析几何知识的。圆其实也是圆锥曲线的一种。圆锥曲线的参数方程要正确地掌握。其中直线和圆及椭圆要求掌握，双曲线，抛物线只需了解就可以了。圓锥曲线的统一的极坐标方程也应掌握，在涉及焦半径的题目时，用极径ρ的表达式会更简单。我们在教学时应把各部分知识融会贯通，提高学生综合运用知识解决的能力。

第七，培养学生锲而不舍的吃苦精神，提高学生的解题能力。提高学生的运算能力是新数学课程标准对基本能力认识的一个发展，是课程目标对数学能力的基本要求。高考对考生的运算能力的考查主要是通过解析几何题目来体现的。解析几何对大部分学生来说是一个难点，也是因为其运算量比较大。解析几何的解答题常常与向量、三角、平面几何等知识明交暗织，有时还要考察求最值的方法。对学生运算能力和综合运用知识的能力。当我们遇到此类题目时，只要思路正确，方法恰当，就要勇往直前地走下去，即使得不出最终结果，也要尽量多得步骤分。无论我们未来从事怎样的活动，锲而不舍的钻研精神和科学态度都是我们应具备的重要素质。相对于数学课程的其他章节的学习，解析几何的学习更有不怕困难，勇往直前的意志品质。

总之，我们在教学中搞清解析几何的来龙去脉，让学生掌握处理解析几何的基本方法和技巧，注重培养学生的意志品质。同时在教学中不断总结经验，经常进行教学反思。在这一部分的教学中，学生就会学得轻松，教师就会教得顺心。

参考文献：

李永清.“几何画板”在高中数学教学中的应用.内蒙古师范大学学报：教育科学版，2006（S2）.