MATLAB在“函数重要极限”教学中的应用

徐森

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【摘 要】本文通过MATLAB的绘图功能，对函数的“重要极限”以及与之相似的四个函数的极限问题进行了研究，使学生印象更加深刻，便于理解。

【关键词】微积分；重要极限；MATLAB

高等数学是理工类学科的一门基础课程，在一些文科类学科中也有重要的应用。微积分是高等数学的重要内容，是以极限为研究工具，以函数为研究对象的一门学科。

极限的学习与理解对于整个高等数学的学习起到至关重要的作用，然而极限的概念作为微积分当中的第一个重要概念，相对比较抽象，尤其对于数学基础薄弱的同学，理解很吃力，影响正门课程的学习。如何调整教学方式方法，帮助学生更好的理解函数极限的概念成为高等数学这门课程的一个热点问题。

Matlab软件是美国MathWorks公司出品的商业数学软件，它将矩阵运算、数值分析、图形处理和编程技术结合在一起，具有良好的数据可视化和交互式环境。灵活运用这些功能可以使学生在实践中探索极限的概念，激发学生学习的兴趣。本文主要结合笔者的MATLAB应用实践，用数学实验的方法探索“重要极限”的概念。

先观察函数的图像，程序如下：

>> x1=0.1：-0.001：0.0001；

>> x2=-0.0001：-0.001：-0.1；

>> plot（x1，sin（x1）./x1，o，x2，sin（x2）./x2）；

>> title（y=（sinx）/x）；

>> xlabel（x）；

>> ylabel（y）；显示图像，如图1所示

首先通过描绘函数图像，研究函数的性质，程序如下：

>>subplot（2，2，1）；

>>fplot（sin（1/x），[-0.001，0.001]）；

>>title（y=sin（1/x））；

>>xlabel（x）；

>>ylabel（y）；

>>subplot（2，2，2）；

>>fplot（x*sin（1/x），[-0.001，0.001]）；

>>title（y=x*sin（1/x））；

>>xlabel（x）；

>>ylabel（y）；

>>x1=100：100：1000；

>>x2=-1000：100：-100；

>>subplot（2，2，3）；

>>plot（x1，sin（x1）./x1，x2，sin（x2）./x2）；

>>title（y=sinx/x）；

>>xlabel（x）；

ylabel（y）；

>>subplot（2，2，4）；

>>y1=（1./x1）.*sin（1./x1）；

>>y2=（1./x2）.*sin（1./x2）；

>>plot（x1，y1，x2，y2）；

>>title（y=（1/x）*sin（1/x））；

>>xlabel（x）；

>>ylabel（y）； 显示图像如图2所示：

本题考察的4个函数与“重要极限”的表达形式非常接近，学生经常混淆。本题从图像的角度，结合理论对函数极限的结论进行了说明，帮助学生区别这几类极限问题。

如何利用数学软件进行辅助教学是现代教育研究课题之一，传统的数学教学强调理论性、系统性、严密性的证明，枯燥的理论证明容易使学生失去学习的兴趣，本文通过MATLAB的画图功能，描绘出函数的图像，通过观察了解极限的概念，有助于巩固学生对重要极限的掌握和理解。

【参考文献】

[1]毛建生.高等数学中两个重要极限公式的教学模式探索[M].泸州职业技术学院学报，2013，1.

[2]王闪闪，陈晓，苏倩倩.MATLAB在“函数的极限”教学中的应用举例[M].电脑知识与技术，2015，24，11.

[责任编辑：杨玉洁]

用万分之一的天平分别称取各样品0.2g于小烧杯中，往小烧杯中加入5mL的浓硝酸于室温下浸泡至粉末变成土黄色，然后将烧杯置于80℃的调温板上加热约3h，使浓硝酸慢慢挥发，再将调温板调至120℃，使残余的浓硝酸全部挥发。冷却后，再加5mL的浓硝酸，继续加热，重复此过程直至烧杯中的溶液呈无色。最后，往烧杯中加入2mL的高氯酸，于200℃的调温板中缓慢蒸干直至烧杯中有无色晶体析出。待冷却后，加入10%的硝酸溶解样品并定容至2.5mL，以备用于ICP-AES测定。

1.3 数据统计方法

数据采用 Sigmaplot 8.0 软件进行处理，选用平均值和标准误差进行统计分析，使用 SPSS 13.0 对数据进行差异显著性分析。

2 实验结果

由表1可知，Cd处理 28d后，对照组旱柳植株各器官中没有检测到Cd，而处理组不同器官中的Cd积累量随着处理浓度的增高而显著增加。根系是Cd进入植株体内的最初器官，对镉有明显的富集作用。处理28天时根部Cd含量达到最大值2984.54？滋g/g，Cd向地上部分转移量少。镉在旱柳植株的根、幼茎、叶、老茎木质部、老茎韧皮部富集规律为：根>幼茎>老茎韧皮部>叶>老茎木质部。旱柳植株各器官中Fe和 Mn以及老茎韧皮部中Zn的含量随着Cd处理浓度增加而减少（P<0.05），Cu在老茎韧皮部中的含量几乎不变（P>0.05）。但是在旱柳植株除老茎韧皮部的各器官中，Zn和Cu的含量随着Cd处理浓度增加均呈现先升高后降低的趋势。

3 分析讨论

ICP-AES测定结果显示，在Cd胁迫下旱柳各个器官中Cd的含量大小顺序为：根>幼茎>老茎韧皮部>叶片>老茎木质部，并且，根对Cd的富集量要远远大于其他器官。因为根是最先感受逆境胁迫的器官，而且植物根部的特殊结构可能也为根固定大量的重金属提供了结构基础。由于根的皮层的存在明显增加了根的直径和表面积，这有助于皮层积累大量的Cd[7]。此外，根部细胞的初生细胞壁中的果胶质、纤维素和糖蛋白等形成的网架结构中的网孔，以及果胶质中多聚半乳糖醛酸的羧基基团，对于植物吸收和固定Cd离子均起到很大的作用[3]（表1）。

迄今为止，以植物叶片或地上部分（干重）含Cd量为100mg/kg作为Cd超富集植物的临界标准。吸收的重金属Cd可大量迁移至地面是超富集植物的特点之一[8]。本实验研究结果显示，10？滋mol/L处理组旱柳植株处理28天时，地上部分Cd含量达328.65？滋g/g。50？滋mol/L处理组旱柳植株处理28天时，地上部分Cd积累量达到511.47？滋g/g。100？滋mol/L处理组旱柳植株处理28天时，地上部分Cd积累量达到667.94？滋g/g。旱柳地上部分富集Cd的量达到了Cd超富集植物的标准，且在贾中民等[9]的垂柳和旱柳对镉的积累及生长光合响应比较分析研究结果也显示旱柳富集Cd的能力大于垂柳，所以旱柳在Cd污染土壤的植物修复应用方面有较大的前景和价值。

在Cd胁迫下，Cd 能够引起植物体内微量元素代谢失衡，而且进入植物体内的Cd会影响其它生长必需元素的吸收和转运，继而抑制植株的生长发育[10]。Zhang et al[11]，孙盛等[12]和万雪琴等[13]研究表明，Cd显著改变了番茄幼苗、黄瓜幼苗和杨树体内铁、锰、锌、铜的含量。一般认为Cd与Fe、Mn、Zn和Cu等二价金属元具有相似的化学性质，这些元素在根吸附位点竞争吸收，Cd对Zn、Cu、Mn和Fe等吸收与转运的影响与植物有关[14]。在旱柳中，Cd抑制根对Fe和Mn的吸收，同时也阻碍了根系中的Fe和Mn向叶部运输。在旱柳中Cd与Fe、Mn表现为拮抗关系。研究结果表明，低浓度Cd处理会增加旱柳植株对Zn 和Cu的吸收，而高浓度的Cd处理则会减少植物对它们的吸收，这与一些研究结果一致[13，15-16]。因此，Cd对旱柳对Zn 和Cu的吸收的影响具有明显的剂量效应，即每种元素存在一个Cd的临界阈值[13]。与此同时，高浓度的Cd可能会通过破坏细胞膜上的离子通道、转运蛋白和离子载体，从而使该种元素的吸收速率降低，这也是高浓度Cd处理会导致这些营养元素吸收量降低的原因之一。

【参考文献】

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[13]万雪琴，张帆，夏新莉，等.镉胁迫对杨树矿质营养吸收和分配的影响[J].林业科学，2009，45（7）：45-51.

[14]汪模辉，李鉴伦，曾江萍.镉及镉锌交互作用的植物效应艾伦弘[J].广东微量元素科学，2006，12（12）：6-11.

[15]徐勤松，施国新，周耀明，等.镉在黑藻叶细胞的亚显微定位分布及毒害效应分析[J].实验生物学报，2004，37（6）：461-468.

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[责任编辑：王楠]