基于衰减现象教学RC和RL暂态过程

赵　强，赵振杰

(华东师范大学 物理学系，上海　200241)



基于衰减现象教学RC和RL暂态过程

赵强，赵振杰

(华东师范大学 物理学系，上海200241)

结合现代教学理论，通过构建简单的物理衰减模型，从典型的简单衰减过程的视角，对RC和RL暂态过程进行了分析，并简洁明确地诠释了求解时常用的一阶线性方程的三要素法的表达式的物理含义，从而得出了比较通用且意义明确的分析和求解策略，达到了改善教学效果的目的.

暂态过程；衰减.

RC和RL暂态过程是普通物理、电路分析和电工技术等课程的基本内容.在教学过程中，发现学生或多或少地倾向于凭借机械记忆来应对这部分的学习，对教学效果产生不利影响.经过分析，发现造成学习障碍的主要原因之一是在通常的课程内容中，RC和RL暂态过程均有零状态响应、零输入响应和全响应的分类与次第，导致内容在表面上显得有些分散，不容易对暂态过程及其数学描述的深层的物理内涵构建出直观的诠释，导致不能较好地激发学生已有的知识记忆，以及与已有的知识记忆建立较强较深较广的关联，故而阻碍了高层次认知目标的达成.因此，如何在有限的课时内，引导学生构建较深层的意义，将会对本部分内容的教学效果带来显著影响.

虽然目前认知心理学中的信息加工理论模型和建构主义理论模型的合理性仍然遭受一些质疑，但其对教学决策的指导作用已被广泛认可.因此，在教学过程中，可以从深层的物理内涵出发，基于同学们熟悉的、简单的和直观的现象来构建问题分析模型，可以更好地引导学生提取具有高度相关性的已有记忆和激活有效的先验图式，进行富有意义和效果的编码过程，最终实现较深层次的记忆的重构[1-4].这样，不但有利于学生快速掌握学习任务，在新的任务中也能够快速有效地激活先验图式以及实现相关记忆的激活扩散，从而实现较好的远程迁移效果[3].

基于此，本文尝试在教学策略中，由简单的典型物理衰减现象入手构建模型，实现从衰减过程的角度诠释暂态过程，从而将暂态过程的更深层的物理内涵给予比较直观的揭示.最后，由得出的对一阶线性微分方程的三要素法的表达式的物理含义的诠释，实现改善教学效果的目的.

1　对常系数衰减现象的分析

教学中常见的衰减过程是典型的等系数简单衰减过程，如放射性物质的衰变和光在均匀介质中的衰减等现象.若定义I为衰减的物理量，α为衰减系数，t为变化的参数.其中，最简洁的情形是令t=0时I=I0，并且t=∞时I=0，这一过程可以用一阶线性微分方程

(1)

来表示，其解为

I=I0e-αt

(2)

然而，对终止状态It=∞≠0的情形，以及I随t增加的情形探讨的较少.这导致在遇到很多此类衰减现象时，教师和学生都因为先验图式的不足而很难激活与衰减过程相应的概念以及问题解决图式来解决问题，成为潜在的学习阻碍.

对于终态I∞≠0的情形，例如当所处的环境中相应的物质或能量的背景(本底)值不为零时，由于与周边环境的交换，均会导致I∞≠0，也就是物理量I发生了衰减的只有I0-I∞.以及I随t增加的情形可以看作是衰减系数为负所致，当然，这也可以看作是因为观察角度的不同所致，例如下课时教室中空座位会随同学们的离座而增加.对于这类情形，满足的方程为

(3)

若将I∞选作I的参考0值，为了方便表述，令Y=I-I∞，则有Y0=Yt=0=I0-I∞和Y∞=Yt=∞=I∞-I∞=0.也就是说，此时的衰减过程变为式(1)所描述的最简单的情形，则解为

Y=Y0e-at

即

I=I∞+(I0-I∞)e-at

(4)

因此，其含义可以由图1来诠释，若以终态为参考点，则这一过程反映的是初态与终态间的差值的衰减过程.另外，可以看出式(4)就是一阶常系数线性微分方程的三要素法的表达式

f=f∞+(f0-f∞)e-At

(5)

式中f∞和f0分别是t=∞和t=0时的值，A=1/τ(τ为时间常数).

图1　衰减过程示意图(Y0=I0-I∞)

基于上述的探讨，下面分别对RC和RL暂态过程进行分析.

2　对RC暂态过程的分析

如图2所示的RC回路，在时间t=0之前，开关S闭合于位置1，电路处于稳态，且电容器两端的电压uC=E1.因此，在t=0，S切换到位置2后，电路的暂态过程是由下式描述的全状态响应：

图2　RC回路

(6)

由i=(E2-uC)/R，可以看出，电路的暂态过程和式(3)给出的类似.因此，如果以uc(t=∞)=E2作为参考0电位(即以a点的电位为参考0电位)，那么b点电位uΔ=uc-E2，且

(7)

方程的解为

(8)

则

(9)

这一结果完全符合式(5)的描述.其物理含义可以简单诠释为：E1-E2是uΔ的初始值，反映的是电容器两端电压的初态与终态间的差值.若电容器C所存储的电量Q以uc(t=∞)=E2时的电量为参考0点，则S切换前，电容器存储的电量为Qt≤0=C(E1-E2)，而且S切换后电流i与Q成正比，因此，暂态过程就是这部分电量的等系数衰减过程.也就是说，电路的暂态过程是电量的初态和终态间的差值的衰减过程.

另外，式(9)也可以表达为

(10)

3　对RL暂态过程的分析

如图3所示的RL回路，在t=0时刻之前，开关S闭合于位置1，且电路处于稳态，流过电感的电流i=I1=E1/R，当t=0时，将S切换到位置2.则电路的暂态过程是由下式描述的全状态响应，并且当t=∞时，i=I2：

图3　RL回路

(11)

若以I2为电流的参考0值，则电流值可以被表示为iΔ=i-I2，且

(12)

(13)

则

(14)

这一结果完全符合式(5)的描述.其物理含义可以简单诠释为：电感中的磁通量Φ与磁通势F成正比，而磁通势F与电流i成正比，因此Φ=Ki，K是一个与电感结构等有关的常数.I1-I2是iΔ的初始值，反映的是电感L中磁通量的初态和终态间的差值.若电感中的磁通量以t=∞时的磁通量为参考0值，则S切换前，电感中的磁通量Φt≤0=K(I1-I2)，暂态过程反映的就是这部分磁通量等系数的衰减过程.当然，如果可以引入磁荷的观点，那么将会更加直观.

进一步，对电感L来说，可以将恒压源E1与E2分别和电阻R串联时组成的电压源分别等效变换为电流源I1与I2，如图4所示，则上述诠释会更为明显.

图4　RL回路的电流源模型

另外，式(14)可以表达为

(15)

式中第一项i′反映的是I2=0时的零输入状态响应.第二项i″反映的是I1=0时的零状态响应.而i是上述两个过程的线性叠加.也就是说，可以将电感中的磁通量看作是由两部分磁通量动态叠加的结果，其中一部分是零输入响应的电感中的初始电流所产生的磁通量，另一部分是进行零状态响应的电流产生的磁通量.

4　总结

暂态过程中，RC回路可以理解为电容器存储的电荷量(或电压)的衰减，RL回路可以理解为电感中磁通量(或磁通势)的衰减.如果以终态作为参考0值，则衰减过程变为一个由下式描述的零输入状态响应：

(16)

其解由式(5)给出.并且可以表示为

(17)式中第一项f ′反映的是f∞=0时的过程(零输入响应)，第二项f ″反映的是f0=0时的过程(零状态响应).而f反映的是更普通的过程(全状态响应)，而且可以认为是上述两个过程的线性叠加.

因此，可以基于典型的常系数衰减过程来类比分析RC回路和RL回路的暂态过程.对学生来说，可以有效地激活已有的知识记忆，并且建立意义明确的关联，实现了改善教学效果的目的.

[1]KinjoH，SnodgrassJG.Doesthegenerationeffectoccurforpictures[J].AmericanJournalofPsychology，2000，113： 95-121.

[2]McNamaraDS，HealyAF.Agenerationadvantageformultiplicationskilltrainingandnonwordvocabularyacquisition[M].Learningandmemoryofknowledgeandskills:Durabilityandspecificity.ThousandOaks，CA:SagePublicationsInc， 1995: 132-169.

[3]RadvanskyGA.Situationmodels，propositions，andthefaneffect[J].PsychonomicBulletin&Review，2005(12): 478-483.

[4]AnitaWoolfolk，EducationalPsychology[M]. 10thEdition.PearsonEducationInc,2007: 292-301.

TeachingRCandRLtransient state processes based on attenuation phenomena

ZHAO Qiang, ZHAO Zhen-jie

(Department of Physics, East China Normal University, Shanghai 200241, China)

According to the modern educational theories, a typical attenuation with a constant attenuation coefficient is analyzed to decipherRCandRLtransient state processes, and the essence of three-factor method for the first order circuit is revealed. Consequently, an active and meaningful strategy for solving these problems is obtained and therein lies a successful method of improving the learning effect.

transient state process; attenuation

2015-04-09；

2015-06-01

华东师范大学实验教学设备研制基金(41000-562930-14203/005)资助

赵强(1972—)男，新疆奇台县人，华东师范大学物理学系副研究员，博士，主要从事物理学科教学方向的研究和教学工作.

O441.1;G642.1;TM131.2

A

1000- 0712(2016)01- 0017- 03