“甲虫爬环”问题的解析

李　力，张　银

(1. 重庆清华中学，重庆　400054；2. 郑州轻工业学院 数学与信息科学学院，河南 郑州　450002)



“甲虫爬环”问题的解析

李力1，张银2

(1. 重庆清华中学，重庆400054；2. 郑州轻工业学院 数学与信息科学学院，河南 郑州450002)

比较简捷、直观地运用质点系动力学解析“甲虫爬环”问题，进一步解得甲虫以及原来与甲虫相接触的圆环上“标记点”的轨迹方程，并描绘出不同质量比情况下二者的轨迹，标记点的运动轨迹是圆内旋轮线.

甲虫爬环；标记点；圆内旋轮线

“甲虫爬环”情景的诸问题常出现在理论力学课程里，可集中表述如下：一甲虫质量为m1，在一质量为m2、半径为r的圆环上爬行.环放在光滑水平桌面上，甲虫和圆环所组成的系统初始是静止的.问：1)甲虫在圆环上爬行一周，环自身转过多大角度？2)若甲虫静止出发以相对圆环的恒定速率u沿逆时针爬行，求环心和甲虫分别相对于桌面的速度.3)如果把最初静止时甲虫与圆环的接触点称作“标记点”A，而甲虫以B点表示，试分别求出标记点A和甲虫B的运动轨迹.

问题1)和问题2)分别来自文献[1]、[2]，但求解方法各不相同，问题3)则是一个有趣的延伸问题.本文首先用统一的方法求解问题1)、2)，较文献[1]、[2]直观简捷，并进一步用复数方法研究标记点与甲虫各自的轨迹，用计算机描绘质量比不同情况下二者运动的轨迹图，发现了标记点的运动轨迹是圆内旋轮线.

1　转动角度的计算

因系统所受外力为零，则系统动量、角动量均守恒.又系统初始时静止，可知质心C恒不动.最初环心在O1点，甲虫和标记点在A1点，以C为极点，O1A1为极轴正方向，如图1所示，有

图1

(1)

又甲虫环心之间距离恒为r，且质心C不动，三者恒在一条直线上，从而甲虫B和环心O都绕C做圆周运动，半径分别为r1、r2.设甲虫绕C点逆时针转过α角，同时圆环顺时针转过β角，则由系统角动量守恒得

(2)

上式括号内是圆环对C点的角动量，它等于圆环质心对C的角动量加上圆环相对环心O的角动量[1].将式(1)代入式(2)后解得

(3)

(4)

当甲虫在圆环上爬行一周时，有α+β=2π，解得

(5)

如果m1=m2即λ=1，则α=4π/3,β=2π/3，与文献[1]的结果一致.

2　绝对速度的求解

由问题 2)的题意得

(6)

将式(6)与式(3)联立解得

(7)

故环心、甲虫相对桌面的速度分别为

(8)

且三速度u、V、v平行，这与文献[2]的结果一致，但这里的求解过程更加直观简捷.

3　运动轨迹的解算

注意到C为坐标原点，最初静止时O1A1为极轴正方向，易知甲虫B的轨迹为圆，可表示为位置复数：

(9)

(10)

从图1和式(10)可以得到手工描绘A点轨迹的方法：在甲虫的圆周上任找一点B，对应的夹角为α(逆时针)，反向延长CB至O，使CO=r1=r/(1+λ)，然后根据OA=r且与极轴正方向顺时针夹角β=α/(1+λ)，得到A点位置.改变α角，便画出了A的轨迹.

按照式(9)、式(10)，设定r=2,α∈[0,+∞)，用计算机软件绘出质量比λ=1、2、3、5、7.5、1/2、1/4、3/4情况下二者的运动轨迹，如图2—图9所示,其中圆周是甲虫B的轨迹.

图2　λ=1

图3　λ=2

图4　λ=3

图5　λ=5

图

图

图

图

甲虫在圆环上爬行一周，有α+β=2π，这意味着甲虫和标记点再度相遇.根据式(5)知圆环标记点A旋转的角度β=2π/(2+λ)，这就是每次相遇A需要转过的角度.λ越大，β越小，这是因为环越重则其运动幅度越弱的缘故.初始时甲虫和标记点都位于图中横坐标轴的相切点，然后甲虫逆时针运动，标记点顺时针方向运动，沿顺时针方向二者在两条轨迹的相切点处逐次相遇.

从这八张图片来看，标记点A的运动轨迹似乎不是普通的平面曲线.实际上，A的轨迹正是“圆内旋轮线(内摆线)”——半径为r1的动圆在半径为(r+r1)的定圆内作纯滚动时，动圆周上一点的轨迹.为证明此结论，先把通常直角坐标中圆内旋轮线的参数方程[4]化为：

b[(μ-1)cost+cos(μ-1)t]

(11)

b[(μ-1)sint-sin(μ-1)t]

其中a为定圆半径，b为动圆半径，t是参变数，由μ=a/b决定曲线形状.然后，将前面A点的图像沿逆时针旋转角度π/(λ+2)，相当于对ZA作复数乘法：

不难得到旋转后的A点运动轨迹在直角坐标系中的参数方程为：

(12)

[1]梁昆淼.力学(下册)理论力学[M].鞠国兴,施毅,修订.4版.北京:高等教育出版社,2012:28-29,24,25.

[2]李书民.经典力学概论[M].合肥：中国科学技术大学出版社,2007: 38-39.

[3]Tristan Needham.复分析:可视化方法[M].齐民友,译.北京:人民邮电出版社,2012:17-19.

[4]数学手册编写组.数学手册[M].北京:人民教育出版社,1979:396,397.

Analysis of beetle and ring problem

LI Li1，ZHANG Yin2

(1. ChongqingQinghua High School，Chongqing 400054, China；2. College of Mathematics and Information Science, Zhengzhou University of Light Industry, Zhengzhou，Henan 450002, China)

The “beetle and ring problem” is analyzed tersely and intuitively by mass-point set mechanics. The equations of beetle and marked point’s track are solved. Then the movement trajectories with different quality ratio are plotted and trajectory of latter is hypocycloid.

beetle and ring problem；marked point；hypocycloid

2015-10-18；

2015-11-22

李力(1972—)，男，重庆人，重庆清华中学高级教师、特级教师.

张银，E-mail:agerchang@hotmail.com

O313.2

A

1000- 0712(2016)08- 0022- 03