浸润数学文化的极限概念案例教学

张晓光，王新霞，王春，任秋萍，张亚平



浸润数学文化的极限概念案例教学

张晓光，王新霞，王春，任秋萍，张亚平

（黑龙江科技大学 理学院，黑龙江 哈尔滨 150022）

在高等数学教学中浸润数学文化是培养大学生良好数学素养的有效手段．将诗歌、数学史以及具有数学文化背景的具体案例引入数列极限概念教学，再应用类比法进行函数极限概念教学，有利于降低极限概念的抽象度，提升学生的数学素养．

数学素养；数学文化；极限；案例教学；类比法

高素质、创新型和复合型人才是21世纪高等学校的人才培养目标，而良好的数学素养是高素质、创新型和复合型人才必备的基础．数学素养主要包括5个方面的基本素质：主动探寻并善于抓住数学问题中的背景和本质的素养；熟练地用准确、简明、规范的数学语言表达自己数学思想的素养；具有良好的科学态度和创新精神，合理地提出新思想、新概念和新方法的素养；对各种问题以数学方式的理性思维，从多角度探寻解决问题的道路的素养；善于对现实世界中的现象和过程进行合理的简化和量化，建立数学模型的素养[1]．

在高等数学教学过程中浸润数学文化，是培养大学生良好数学素养的有效手段．数学文化有狭义和广义的2种解释[2]．狭义的数学文化，是指数学的思想、精神、方法、观点、语言，以及它们的形成和发展；广义的数学文化，则是除这些以外，还包含数学史、数学美、数学与人文的交叉、数学与各种文化的关系．高等数学的案例教学，是指教师以案例为基本素材，创设（问题）情境，通过师生及学生间多向互动，激发学生有意义的学习，使其加深对基本原理和概念的理解，以达到建构知识与提高学生分析问题和解决问题能力的一种特定教学方法，是一种理论与实际有机结合的重要教学形式．在高等数学的教学过程中融入数学文化，并结合专业以及生产、生活中的案例进行教学，不仅使学生更加明确学习和生活的目标和意义，还可以使学生受到数学文化的熏陶、感染和激励，从而达到提高高等数学教学质量，提升学生数学素养的目的．

极限思想是高等数学的基本思想，高等数学就是用极限来研究函数的一门学科．极限作为一条主线，贯穿于高等数学的始终．学生对极限理论的理解与掌握，直接影响到其对微积分理论和级数理论的学习效果，进而间接影响到数学素养的提升．数列极限的定义、函数极限的定义与定义具有高度抽象性和深刻性，这部分内容的学习即使对于数学专业的学生而言都是非常困难的，更何况其他非数学专业的学生．本文结合教学实践，对极限理论浸润数学文化的案例教学进行探讨，希冀对各专业大学一年级的极限理论教学有所助益．

1极限概念教学前的文化浸润

1.1有限与无限

有限和无限是相互对立的2个概念．直觉上讲，无限就是数不完．极限理论是以无限概念为基础的[3]147．

有限与无限，具有很多美好的诗歌意境．适当利用诗歌营造数学文化氛围，从教育心理学的角度，可以引发无意注意，激发有意注意．

1.1.1有限的诗歌意境南宋抗金名将岳飞的《满江红》中“三十功名尘与土，八千里路云和月”，“三十”与“八千”刻画的是有限，言简而意赅；北宋词人李之仪的《卜算子》中“我住长江头，君住长江尾，日日思君不见君，共饮长江水”，“头”与“尾”描述的也是有限，言短而情长．

1.1.2无限的诗歌意境唐代诗人陈子昂著乐府诗名篇《登幽州台歌》：“前不见古人，后不见来者，念天地之悠悠，独怆然而涕下”．其中，“前不见古人，后不见来者”二句，生动描绘出时间的无限，即时间的正负无穷．德国18世纪著名诗人席勒曾写过这样的诗：“空间有三个维度．它的长度绵延无穷，永无间断；它的宽度辽阔广远，没有尽头；它的深度，下降至不可知处”[3]150．该诗从长度、宽度和深度3个维度直观地刻画了空间的无限．

1.2极限简史

因为极限是微积分的理论基础，因而高等数学教材基本上都是按着极限——连续——微分学——积分学——微分方程——无穷级数这样的逻辑顺序来组织教学内容的．但事实上，微积分诞生于17世纪，而严格的极限理论却是到19世纪才建立起来的．让学生知晓这种数学理论的学术形态与历史形态的巨大差异，能给他们带来很大的震撼与触动，有助于打破僵化、固化的思维，提升数学素养．

从古至今，人们对极限概念的认识经历了2 000多年的漫长历程．

1.2.1朴素的极限观古希腊的安蒂丰最早表述了“穷竭法”，他在研究“化圆为方”问题时，提出了使用圆内接正多边形的面积“穷竭”圆面积的思想，这是世界上最早的极限思想．古希腊数学家欧多克索斯改进了安蒂丰的穷竭法，将其定义为：任意给定2个正的量，在一个量中减去比其一半还大的量，不断重复这个过程，可以使剩下的量变得任意小．微积分学的先驱——阿基米德进一步完善了“穷竭法”，并将其广泛应用于求解曲面面积与旋转体体积．

朴素直观的极限观在我国古代的文献中就有记载．《庄子·天下篇》中记载了惠施的一段话，将其称为“截杖问题”：一尺之棰，日取其半，万世不竭[4]．意思是说，一尺长的木棒，每天截下去它的一半，这个过程可以永远进行下去．这里“棰”是木字旁，意思是木棒，有人将其误写为“锤”，就不对了．当然，这段话的正确性要建立在物质无限可分的前提条件下．我国三国时期魏国数学家刘徽在《九章算术注》中用“割圆术”求圆的面积，即作圆的内接正六边形，然后逐渐倍增边数，依次算出内接正6边形、正12边形、……、正192边形的面积．“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆合体而无所失矣”——这是“割圆术”所反映的朴素的极限思想．刘徽的“割圆术”与安蒂丰的“穷竭法”不谋而合[5]41．

1.2.2神秘的极限观——第2次数学危机17世纪，笛卡尔创立了解析几何学，将变量和函数引入数学，使描述运动和变化成为可能．17世纪下半叶，英国的数学家牛顿和德国数学家莱布尼兹在前人大量工作的基础上，分别在研究力学与几何学的过程中创立了微积分．然而，他们的微积分中涉及的极限概念十分含糊不清，常常不能自圆其说．如牛顿在1704年发表了《曲线的求积》一文，其中确定了的导数（他当时称为流数），牛顿的方法意译如下：当增长为时，幂成为，即，它们的增量分别为和，这2个增量与的增量的比分别为1与．然后让增量消失，则它们的最后比将为1∶，从而对的变化率为．其中：叫作“瞬”，表示的无穷小增量．这里既可以做分母，又可忽略，即既不等于零，又等于零．这一缺陷被英国著名的唯心主义哲学家贝克莱主教抓住，他在《分析学家》中对微积分的基础进行了强有力的批评，嘲笑是“消失的量的幽灵”，从而引发了数学史上的第二次危机．直到19世纪严格的极限理论建立，第二次数学危机才消除．

1.2.3严格的极限理论为了克服无穷小带来的困难，在18~19世纪，数学家提出了许多方案．第1个为补救第2次数学危机提出真正有见地的意见的是法国数学家达朗贝尔，他给出了极限的较明确的定义：一个变量趋于一个固定量，趋于程度小于任何给定量，且变量永远达不到固定量．可惜的是达朗贝尔也没有把它公式化，这就使得他的极限概念仍是描述性的、通俗的．但是他所定义的极限已初步摆脱了几何和力学的直观原型．因此，达朗贝尔的极限概念被看作是现代严格极限理论的先导．

到了19世纪，数学家开始转向微积分基础的重建．许多微积分中的重要概念，如极限、函数的连续性和级数的收敛性等都被重新考虑．1817年，捷克数学家波尔查诺首先抛弃无穷小概念，用极限观念给出导数和连续性的定义，并得到判别级数收敛的一般准则，还建立了确界存在原理，可惜他的工作被长期埋没．

严格的极限理论是由法国数学家柯西初建，由德国数学家魏尔斯特拉斯完成的．

1821年，柯西在《分析教程》中写道：当一个变量逐次所取的值无限趋于一个定值，最终使变量的值和该定值之差要多小有多小，这个定值叫做所有其它值的极限．可见，柯西使极限概念明确地成为算术的，而摆脱了长期以来的几何说明．他提出了极限理论的方法，把整个极限用不等式来刻画．他引入“lim”来表示极限，并且用希腊字母表示任意小的差，但更多时候用表示任意小的差．以极限定义为基础，柯西给出了无穷小和无穷大定义，澄清了无穷小的概念，把无穷小量从难圆其说的尴尬境地中解脱出来[5]42．

在19世纪末，魏尔斯特拉斯完成了数学分析算数化的2个规划：（1）逻辑地构造实数系；（2）从实数系出发去定义极限概念、连续性、可微性、收敛和发散．规划的第2部分是由引进精确的语言而完成的，现今的高等数学教材上函数在有限点处的极限定义正是同样的语言．这一语言给出了极限的准确描述，消除了历史上各种模糊的用语，诸如“最终比”、“无限地趋近于”等．

以上即是极限理论的简史．极限理论的严格化对微积分基础的建立有着十分重大的意义，它使微积分的发展达到了一个全新的、广阔的境界．

上官星雨小心翼翼地唱，她有着天籁一般的好嗓子，李离听着，不由得上前一步，将她空出来的左手拉起来。这个可怜的姑娘，她的姓氏，会给她带来才华天分，也会带来血光剑影吧，谁知道，她在逃出长安之前，经受过多少孤单与恐惧。她歌声甫歇，余音缠绕在山洞里，久久不散，等最后一丝歌声消失掉的时候，她手中的火把也烧到了尽头，李离赶紧松开她的手，将自己灭掉的火把又重新点燃起来。

2浸润数学文化的极限案例教学

极限理论是高等数学学科体系建立的基石，而数列的极限是极限知识结构体系中最为简单的部分．因此，高等数学教材中极限定义都是先数列而后函数．虽然现在的大一新生在高中都学习过简单的极限定义和极限计算，但高等数学中的极限定义具有高度抽象性和深刻性，这部分内容对于各个学科专业的学生而言都是非常难于理解的．因而，数列极限的定义为极限理论教学的重中之重，只要学生理解了数列极限，函数极限的理解自然迎刃而解．

为避免不必要的重复，以下略去教学设计与实施中的多数常规部分，而重点对浸润到极限概念教学中的数学文化以及案例教学部分作以简要介绍．

2.1数列的极限

列举几个有代表性的数列，学生观察、判断它们的敛散性以及收敛数列的极限：（1）

数列（3）的数学文化背景为分形几何中的Koch雪花（见图1）[6]．在分形几何中，Koch雪花可通过递归的方法生成．设正三角形的周长为，即周长（见图2）．将每边三等分，以中间三分之一段为边向外做正三角形，每一条边生成４条新边，新边长为原来连长的，故六角星总周长（见图3），依次进行下去，得，…．

本节课的目的是要寻求精确的、定量化的数学语言来刻画数列极限的定义，关键问题是如何用数学语言刻画“无限接近”．按照由特殊到一般的研究问题的方向，以数列（5）为例，令，借助刻画与接近的程度，再引入任意小的正数来限制与接近的程度，进而通过归纳得到数列极限的语言．

定义1[7]20若存在，对于任意（无论它多么小），总存在，当时，恒有成立，则称收敛于，或称为的极限，记作或（）．

表1　极限定义中自变量变化趋势与因变量变化趋势的刻画

此外，数列极限的唯一性、收敛数列的有界性以及收敛数列的局部保号性的证明，都采用了化一般为特殊的解决问题的方式，即构造与性质和命题有关的特殊的．

2.2函数的极限

简单地说，通常的函数与数列相比，不同之处在于函数的自变量在数轴上是连续取值的，而数列的自

变量是在数轴上的正整数点处离散取值的．函数的极限分自变量趋于有限值时函数的极限与自变量趋于无

穷大时函数的极限２种，通常的高等数学教材都是先介绍自变量趋于有限值时函数的极限定义，而后才是自变量趋于无穷大时函数的极限定义．为了利于将抽象的数学符号语言所代表的新知识与学习者认知结构中已有的语言建立非人为和实质性的联系，激发有意义的学习，在实践中调整了2种极限的教学顺序，采用类比法进行函数极限概念的教学．

定义2[7]20若存在，对于任意，存在，当时，恒有，则称为时的极限，记作或（）．

定义3[7]23若存在，对于任意，存在，当时，恒有，则称为时的极限，记作或（）．

定义4[7]26若存在，对于任意，存在，当时，恒有，则称为时的极限，记作或（）．

将定义2与定义4合并起来，即可得到自变量趋于无穷大时函数的极限定义．

定义5[7]28若存在，对于任意，存在，当时，恒有，则称为时的极限，记作或（）．

2.2.2自变量趋于有限值时函数的极限依旧从特例出发，引导学生应用类比思维，依据因变量的刻画方式自行探究与发现自变量的刻画方式：．由于的过程中≠，因而自变量的精确刻画方式为（见表1），得到自变量趋于有限值时函数极限的定义．

定义6[7]30若存在，对于任意，存在，当时，恒有，则称为当时的极限，简称在点的极限，记作或（）．

3结语

极限思想是人们在认识数学世界过程中逐步形成的，它使人们对数学世界的认识实现了由有限到无限的质的飞跃．高等数学教学的首要任务是培养学生的极限思想，从而为进一步培养微积分思想打下基础．

浸润数学文化的极限概念案例教学，通过有限与无限的诗歌意境、极限简史的介绍和具有数学文化背景的具体案例的引入，引起学生的无意注意，激发有意注意与有意后注意[8]．进行数列极限概念教学，并以此为基础，通过类比法进行函数极限概念教学，化难为易，使学生在理解抽象的数学符号语言的同时，将数学思想、数学方法和文化背景内化为自身的数学素养．

[1] 包长明．如何培养中学生的数学素养[J]．吉林省教育学院学报：中学教研版，2009（6）：59-59

[2] 顾沛．数学文化课中的素质教育[C]//大学数学课程报告论坛2006年论文集．北京：高等教育出版社，2007：58-63

[3] 张顺燕．数学的美与理[M]．北京：北京大学出版社，2004：147-150

[4] 汤炳兴．在概念教学中“学数学 做数学 用数学”[J]．数学教育学报，2002，11（4）：38-41

[5] 王晓硕．极限概念发展的几个历史阶段[J]．高等数学研究，2001（9）：40-43

[6] 李心灿．高等数学应用205例[M]．北京：高等教育出版社，1997：31-33

[7] 同济大学数学系．高等数学（上册）[M]．7版．北京：高等教育出版社，2014：20-31

[8] 夏凤琴．教育心理学[M]．北京：高等教育出版社，2013：80-83

The case teaching of limit concept infiltrated with mathematical culture

ZHANG Xiao-guang，WANG Xin-xia，WANG Chun，REN Qiu-ping，ZHANG Ya-ping

（School of Science，Heilongjiang University of Science and Technology，Harbin 150022，China）

Infiltrating mathematical culture into the teaching of higher mathematics is an effective means to cultivate students' good mathematical accomplishment. Introducing poetry，mathematics history into the sequence limit concept teaching together with specific cases with mathematical culture background，then using analogy method for the function limit concept teaching，will help to reduce the abstract degree of limit concept，and enhance students' mathematical accomplishment.

mathematical accomplishment；mathematical culture；limit；case teaching；analogism

O171∶G642.0

A

10.3969/j.issn.1007-9831.2016.04.015

2016-01-03

黑龙江省高等教育教学改革项目（JG2013010493）；黑龙江省高等教育学会“十二五”高等教育科研项目（14G106）；黑龙江科技大学教学研究项目（JY14-133）

张晓光（1974-），女，黑龙江哈尔滨人，副教授，硕士，从事数学教学论研究．E-mail：zxgwwm@sohu.com

1007-9831（2016）04-0053-06