L-双拓扑空间的LFα-p连通性的若干性质

徐小玲， 　马保国 ，　孙军娜

(延安大学西安创新学院 ，西安710100)



L-双拓扑空间的LFα-p连通性的若干性质

徐小玲1， 马保国2，孙军娜2

(延安大学西安创新学院 ，西安710100)

文[1]首先提出了L-拓扑空间中的p-开集、p-闭集等概念，本文以此为基础，引入了L-双fuzzy拓扑空间的α-p连通性的概念，并研究了其若干基本性质.

L-双fuzzy拓扑空间； α-p隔离集； α-p连通集

1　引　　言

自从Kelly1963年在文[2]中讨论了双拓扑空间后，许多作者从不同的角度出发，提出了各种各样的连通性，在文献[3]中，郑崇友研究了L-双fuzzy拓扑空间中的连通性，本文在文[3]的基础上，利用p-开集、p-闭集，引入了L-双fuzzy拓扑空间中若干新的连通性——α-p连通性、弱配α-p连通性、配α-p连通性，讨论了它们之间的关系与性质，进一步推广和丰富了L-双fuzzy拓扑空间中的连通性理论.

2　预备知识

定义1[1]设(LX,δ)是L-fts，A∈LX称为p-开集当且仅当存在开集U，使得A≤U≤A-；若A是p-开集，则称A′是p-闭集.

L-fts(LX,δ)中的所有p-开集记作LPO(LX)，所有的p-闭集记作LPC(LX).

L-fts中的闭集一定是p-闭集，反之一般不成立.

定理1[1]设(LX,δ)是L-fts，则

δ⊂LPO(LX)，δ′⊂LPC(LX).

定义2[1]设(LX,δ)是L-fts，A，B∈LX，

(a) 包含于A的一切p-开集的并叫做A的LF-p内部，记作AΔ，即

AΔ=∨{B∈LPO(LX)|B≤A}.

(b) 包含于A的一切p-闭集的交叫做A的LF-p闭包，记作A←，即

A←=∧{B∈LPO(LX)|A≤B}.

定理2[4]设(LX,δ)是L-fts，A，B∈LX，则

(a) A°≤AΔ≤A≤A←≤A-；(b) 若A∈δ∩LPC(LX)，则A∈δ′；

(c) 若A∈δ′∩LPO(LX)，则A∈δ；(d) 若A≤B，则A←≤B←，AΔ≤BΔ；

(e) (A∨B)←=A←∨B←，(A∧B)Δ=AΔ∧BΔ；

(f) p-闭集的任意交是p-闭集，p-开集的任意并是p-开集.

定义3设(LX,δ)是L-fts，A，B∈LX，α∈L-{0}，若A←∧B≤α′且A∧B←≤α′，则称A，B在(LX,δ)中是α-p隔离的.

定义4设(LX,δ)是L-fts，S∈LX，则不存在A，B∈LX，使得A，B在(LX,δ)中是α-p隔离的，且A∨B=S，A≤ α′，B≤ α′，则称S是(LX,δ)中的α-p连通集；特别的，当L中最大的L-fuzzy集1是(LX,δ)中的α-p连通集时，则称(LX,δ)为α-p连通空间；否则称(LX,δ)为α-p不连通空间.

定义5设(LX,δ)是L-fts，α∈L-{0}，A∈LX，当β≥α′时，若lβ(A←)=lβ(A)，则称A为α-p闭集，其中lα(A)={x∈X|A(x)≤ α}；若A′是α-p闭集，则称A为α-p开集.

定义6设δ1，δ2都是LX上的L-fuzzy拓扑，则(LX,δ1,δ2)称为L-双fuzzy拓扑空间，简称L-bfts.

注1若对任意的α1，α2∈L-{0}，都有α1∧α2≠0，则称L是正则的，本文中始终考虑L是正则的情形.

定义7设(LX,δ1,δ2)是L-bfts，S∈LX，α1，α2∈L-{0}，若S既是(LX,δ1)中的α1-p连通集，又是(LX,δ2)中的α2-p连通集，则称S是(LX,δ1,δ2)中的(α1,α2)-p连通集.特别当α1=α2=α时，则称S是(LX,δ1,δ2)中的α-p连通集.若LX中的最大元1是α-p连通的，则称(LX,δ1,δ2)是α-p连通空间.

定义8设(LX,δ1,δ2)是L-bfts，A，B∈LX，αi∈L-{0} (i=1,2)，若

(1)

或

(2)

则称A与B在(LX,δ1,δ2)中是弱配(α1,α2)-p隔离的.若(1)，(2)同时成立，则称A与B在(LX,δ1,δ2)是配(α1,α2)-p隔离的.

定义9设(LX,δ1,δ2)是L-bfts，S∈LX，α1，α2∈L-{0}，若不存在A，B∈LX，使得A与B在(LX,δ1,δ2)中是弱配(α1,α2)-p隔离的，且

A∨B=S，A≤ α′1∨α′2，B≤ α′1∨α′2，

则称S是(LX,δ1,δ2)中弱配(α1,α2)-p连通集；特别，当α1=α2=1时，则称S是(LX,δ1,δ2)中的弱配p连通集；若最大元1是弱配(α1,α2)-p连通的，则称(LX,δ1,δ2)是弱配(α1,α2)-p连通空间.

若不存在A，B∈LX，使得A与B在(LX,δ1,δ2)中是配(α1,α2)-p隔离的，且

A∨B=S，A≤ α′1∨α′2，B≤ α′1∨α′2，

则称S是(LX,δ1,δ2)中配(α1,α2)-p连通集；特别，当α1=α2=1时，则称S是(LX,δ1,δ2)中的配p连通集；若最大元1是配(α1,α2)-p连通的，则称(LX,δ1,δ2)是配(α1,α2)-p连通空间.

2　α-p连通的性质

定理3设(LX,δ1,δ2)为双满层的L-bfts，S，D∈LX，D≤S，D是弱配(α1,α2)-p连通集，α1，α2∈M(L)，且

则S是(LX,δ1,δ2)中的弱配(α1,α2)-p连通集.

证假设S不是(LX,δ1,δ2)中的弱配(α1,α2)-p连通集，则存在A，B∈LX，A与B为弱配(α1,α2)-p隔离的，使得

A∨B=S，A≤ α′1∨α′2，B≤ α′1∨α′2

且

令A1=D∧A，B1=D∧B，则

D=D∧S=(D∧A)∨(D∧B)=A1∨B1，

且

所以A≤α′1∨α′2，与A≤α′1∨α′2矛盾.

因此，S是(LX,δ1,δ2)中的弱配(α1,α2)-p连通集.

定理4设(LX,δ1,δ2)为双满层的L-bfts，S，D∈LX，D≤S，D是配(α1,α2)-p连通集，α1，α2∈M(L)，且

则S是(LX,δ1,δ2)中的配(α1,α2)-p连通集.

证与定理3类似，略去.

证假设S不是(LX,δ1,δ2)中的配(α1,α2)-p连通集，则存在A，B∈LX，A与B为配(α1,α2)-p隔离的，使得

A∨B=S，A≤ α′1∨α′2，B≤ α′1∨α′2

且

令A1=D∧A，B1=D∧B，则

D=D∧S=(D∧A)∨(D∧B)=A1∨B1，

且

又D是配(α1,α2)-p连通集，所以A1≤α′1∨α′2，B1≤α′1∨α′2，则由(LX,δ1,δ2)是双满层的，知

因此

=α′1∨α′2，

与A≤ α′1∨α′2矛盾.

A∨B=f(D)，A≤β′1∨β′2，B≤β′1∨β′2，

且

则

令E=f-1(A)，F=f-1(B)，故

D≤f-1f(D)=f-1(A∨B)=E∨F，

令G=D∧E，H=D∧F，则G∨H=D，且

又D是(LX,δ1,δ2)中的配(α′1,α′2)-p连通集，因此，G≤α′1∨α′2，H≤α′1∨α′2，所以

D=G∨H≤(α′1∨α′2)∨H，

f(D)≤f(α′1∨α′2)∨f(H)=f(α′1∨α′2)∨ff-1(B)≤f(α′1∨α′2)∨f(α′1∨α′2)∨B，

A=A∧f(D)≤f(α′1∨α′2)∨(A∧B)≤f(α′1)∨f(α′2)∨β′1∨β′2=β′1∨β′2，

与A≤ β′1∨β′2矛盾！

(b) 与(a)类似，略去.

(a) 若D是(LX,δ1,δ2)中的配p连通集，则f(D)是(LX,δ1,δ2)中的配p连通集；

(b) 若D是(LX,δ1,δ2)中的弱配p连通集，则f(D)是(LX,δ1,δ2)中的弱配p连通集.

证(a) 取α1=α2=1，则D是(LX,δ1,δ2)中的配p连通集，即为配(1,1)-p连通集，且

由定理6，f(D)是(LX,δ1,δ2)中的配(β1,β2)-p连通集，其中

则f(D)是(LX,δ1,δ2)中的配(1,1)-p连通集，所以f(D)是(LX,δ1,δ2)中的配p连通集.

(b) 与(a)类似，略去.

定理7设(LX,δ1,δ2)是L-bfts，α1，α2∈L-{0}，则

(a) (LX,δ1,δ2)中各配(α1,α2)-p连通分支之并为1；

(b) 若S1，S2为(LX,δ1,δ2)中的两个不同的配(α1,α2)-p连通分支，则D1∧D2≤α′1∨α′2；

(c) 若S是(LX,δ1,δ2)中的配(α1,α2)-p连通分支，则S∈δ′1∧δ′2.

证(a) 任取xα∈M*(LX)，则α∈M(L)，α′≠1，故存在β∈M(L)，β≤ α′.

令ϑ(xα)={A∈LX|xα≤A，且A为配(β1,β2)-p连通集}，故A(xα)=∨ϑ(xα).

(b) 假设D1∧D2≤α′1∨α′2，由推论2.2知，D1∨D2为弱配(α1,α2)-p连通集，与D1与D2的极大性矛盾，所以，D1∧D2≤α′1∨α′2.

[1]马保国，王延军，姜金平.L-拓扑空间中的p-良紧性[J].重庆师范大学学报，2006，23(4)：10-14.

[2]Kelly J C.Bitopological spaces[J].Proc.London Math.Soc，1963，13(3)：71-89.

[3]郑崇友.L-双fuzzy拓扑空间论的连通性[J].北京师院学报，1990，11(4)：1-6.

[4]马保国，王延军，车雨红.L-拓扑空间中的p-连通性[J].纺织基础科学学报，2008,21(4)：438-441.

[5]徐国华.L-双fuzzy拓扑空间的α连通性[J].模糊系统与数学，1994，18(1)：209-215.

[6]王国俊.L-fuzzy拓扑空间论[M].西安：陕西师范大学出版社，1988.

[7]徐小玲，马保国，马海红.L-双fuzzy拓扑空间的α-p连通性(Ⅰ)[J].西安：西安工程大学学报，2008,22(2)：220-225.

[8]杨海龙，李生刚.L-拓扑空间的δ连通性[J].纺织基础科学学报，2006,19(3)：189-192.

[9]徐小玲，马保国.L-fuzzy拓扑空间的α-p连通性(Ⅱ) [J]. 纺织高校基础科学学报. 2011，24(2)：180-184.

Some Properties of LF α-p Connectedness on L- Bitopological Spaces

XUXiao-ling，MABao-guo，SUNJun-na

(Xi’an Innovation College of Yan’an University, Xi’an 710100,China)

In the paper[1]，p-open sets and p-closed sets are firstly introduced in L-topological spaces.In this paper based on the notions，the concept of α-p connectedness is given in L-fuzzy bitopological spaces.Moreover，its basic properties are studied.

L-fuzzy bitopological space；α-p separated sets；α-p connected sets

2016-03-12；[修改日期]2016-04-28

徐小玲(1984-)，女，硕士，讲师,从事格上拓扑学的研究.Email:17113525@qq.com

O189.1

A

1672-1454(2016)03-0044-05