区间映射与其诱导函数包络序列熵关系

赵海林

(合肥工业大学数学学院，合肥230009)



区间映射与其诱导函数包络序列熵关系

赵海林

(合肥工业大学数学学院，合肥230009)

研究了区间映射的拓扑序列熵与其诱导的函数包络上的拓扑序列熵之间的关系.证明了区间映射诱导的函数包络的拓扑序列熵只能为0或+∞，并且当区间映射的拓扑序列熵大于0 时，其诱导的函数包络上的拓扑序列熵为+∞.

区间映射； 函数包络； 拓扑序列熵

1　引　　言

一个自然的问题便是，对于序列熵是否有类似的结果.本文说明了对于区间映射，其函数包络 (S(X),F) 的拓扑序列熵也只有两个可能值 0 和 +∞，并且区间映射的拓扑序列熵大于0 时，其诱导的函数包络上的拓扑序列熵为+∞.

2　预备知识

下面主要介绍本文将会用到的一些相关概念和命题.首先介绍Hausdorff 度量和一致收敛度量.

定义2.1设 (X,d) 是以 d 为度量的一个度量空间，X 中的集合 A1和 A2之间的Hausdorff度量定义为

设 (X,d) 是紧致度量空间， f∶X→X 为连续自映射，(X,f) 是一个动力系统.记 S(X) 为空间 X 上所有连续自映射的集合.

对任意 φ1，φ2∈S(X)，两个连续映射 φ1，φ2之间的Hausdorff度量定义为

其中Grap(φ1)，Grap(φ2) 分别指 φ1，φ2的图像.并且对于点 (x1,y1)，(x2,y2)∈X×X，

该 Hausdorff 度量 dH是由 dmax推导出来的，并应用到连续映射的图像上.相应的度量空间记作 (SH(X),dH)，简记 SH(X).

定义2.2若 (X,d) 是一个紧致度量空间，则对任意 φ1，φ2∈S(X)，两映射 φ1，φ2之间的一致收敛度量可定义为

相应的度量空间记作 (SU(X),dU)，简记 SU(X)，且一致收敛度量 dU应用到连续映射的图像上.

其次介绍函数包络的概念.函数包络的概念是2007 年 Auslander，Kolyada 和 Snoha[4]引入的.

定义2.3设X是一个紧致度量空间，f是X上的一个连续自映射，对于一个动力系统 (X,f)，定义自映射F∶S(X)→S(X)，若对任意ξ∈S(X)，F(ξ)=f∘ξ，并且对任意n≥0，有Fn(ξ)=fn∘ξ，则(X,f)称为原系统，系统 (S(X),F) 称为原系统 (X,f) 的一个函数包络.

该函数包络 (S(X),F) 的拓扑空间 S(X) 是由 X 的所有连续自映射构成的，且赋予紧致开拓扑的空间，可以被看作是赋予一致收敛度量或Hausdorff度量的一个度量空间.

记Const(X) 是由所有的常数映射constx∶X→x 构成的集合 {constx∶x∈X}，则有以下的命题.

命题2.4[4]若紧致度量空间 X 的元素个数card(X) 不少于 2，则系统 (S(X),F) 包含与原系统 (X,f) 拓扑共轭的一个系统 (Const(X),F).

接下来介绍拓扑序列熵的定义.按照Bowen 的定义方式来引入拓扑序列熵.

如果任意x,y∈E⊆K(x≠y)，存在i∈{1,2,…,n}，使得d(fsix,fsiy)≥ε，那么E⊆K称为一个 (S,n,ε,f,K)-分离集.用Srf(S,n,ε,K) 表示K相对于f的具有最多元素个数的(S,n,ε,f,K)-分离集的元素个数；

则 K 相对于 f 的沿着序列 S 拓扑序列熵定义为

映射 f 沿着序列 S 的拓扑序列熵定义为

下面介绍等度连续性和预紧性，以及与之相关的命题.

定义2.6设 (X,d) 是一个紧致度量空间，D⊆C(X)(X 上连续函数的全体)称为等度连续的是指对任意 ε>0，存在 δ>0，使得

|f(x)-f(y)|<ε

对任意的 x,y∈X 满足 d(x,y)<δ 以及任意的 f∈D 成立.

D⊆C(X) 称为一致有界的是指存在常数M，使得

|f(x)|≤M

对任意的 x∈X 以及 f∈D 成立.

命题 2.8[8](Ascoli-Alzela 定理)设 (X,d) 是一个紧致度量空间，D⊆C(X)(X 上连续函数的全体)是预紧的当且仅当 D 是等度连续且一致有界的.

3　主要结果及证明

由命题 2.4可引出原系统 (X,f) 与其函数包络 (S(X),F) 沿着非负整数序列 S 的拓扑序列熵之间的联系，于是给出以下引理.

证由命题 2.4 可得，拓扑共轭的两个系统 (X,f) 和 (Const(X),F) 的序列熵之间的关系

并且函数包络 (S(X),F) 与其子系统 (Const(X),F) 之间的序列熵满足

所以

若映射F的拓扑序列熵为μ，其中 0<μ<+∞，则对任意σ>0且μ-σ>0，存在一个紧致子集 Kσ⊆S(I)，使得

接下来我们将详细探讨区间映射与其诱导的函数包络之间拓扑序列熵的关系，并给出下面的主要定理.

证令 I=[0,1]，K⊆S(I) 是紧致集.把单位区间 [0,1] 均分三等份，即

[0,1]=[0,1/3]∪[1/3,2/3]∪[2/3,1].

对任意 φ∈K，构造映射

则 qφ∶[0,1/3]→I 为连续映射，且该映射的图像是以 x=1/6 对称.按照这种方式定义，从 [0,1/3] 到 [0,1] 映射的全体定义为

对任意 ψ∈K，构造映射

则映射 gψ∶[2/3,1]→I 是连续的，且该映射的图像是以 x=5/6 对称.按照这种方式定义，从 [2/3,1] 到 [0,1] 映射的全体定义为

对于T1的任何给定的一个连续映射qφ和T3的任何一个给定的连续映射 gψ，我们需要构造一个帐篷映射把连续映射 qφ和 gψ衔接起来，以便在整个单位区间 I 上能够得到一个新的连续映射.因此，构造的帐篷映射

可令

由 τ(x)=6(x-1/3)=qφ(1/3)=α，可得 x=1/3+α/6；由 τ(x)=6(2/3-x)=gψ(2/3)=β，可得 x=2/3-β/6，所以令

则它是从 [1/3,2/3] 到 [0,1] 的连续映射且连接了 qφ和 gψ.我们可以定义从 [1/3,2/3] 到 [0,1] 的连续映射的集合如下：

综上所述，对任意给定的 φ,ψ∈K，定义从 [0,1] 到 [0,1] 的映射如下：

由定义知，这样构造的映射 fφ,ψ∶I→I 也是连续的.

图1　　　　来自紧致集 K⊆S(I) 的两条　　　　　　　　图2　　　　来自预紧集 KK⊆S(I) 的四条　　　连续映射 φ 和 ψ 的图像　　　连续的构造映射 fφ,ψ 的图像

对 n≥1 和 ε>0，令 E=E(S,n,ε) 是 K 的具有最多元素个数的 (S,n,ε,F,K)-分离子集，对任意 ξ∈E⊆K，存在一个映射 fξ∈KK，使得在区间 [0,1/6] 或 [2/3,5/6] 上至少有 ξ 的一个压缩之后的映射.由于这两个区间上有对应的压缩映射，分别为 (x,y)→(x/6,y) 和 (x,y)→(x/6+2/3,y)所以，两个压缩映射并不改变原映射图像上的点的纵坐标.

接下来对 SH(I) 和 SU(I) 两种情形分情况讨论.

dH(Fsi(ξ1),Fsi(ξ2))≥ε.

从而存在 x0∈[0,1]，使得映射 Fsi(ξ1) 图像上的点 (x0,Fsi∘ξ1(x0)) 和另一条映射 Fsi(ξ2) 图像上的任意点 (x′,Fsi∘ξ2(x′)) 之间的距离

d(Fsi∘ξ1(x0),Fsi∘ξ2(x′))≥ε；

而当 x′∉(x0-ε,x0+ε)∩[0,1] 且 x′∈[0,1] 时，自然有 d(x0,x′)≥ε.

即

接下来研究度量空间 SU(I) 的情形.

综上所述，无论对于度量空间 SH(I) 和 SU(I)，进一步可得

依次类推，存在一个预紧集 K(n+1)⊆S(I)，使得

4　结　　论

[1]Adler R L, Konheim A G and McAndrew MH. Topological entropy[J]. Trans. Amer. Math. Soc., 1965, 114: 309-319.

[2]Bowen R. Entropy for group endomorphisms and homogeneous space[J]. Trans. Amer. Math. Soc., 1971, 153: 401-414.

[3]Goodman T N T. Topological sequence entropy[J]. Proc. London Math. Soc., 1974, 29: 331-350.

[4]Auslander J, Kolyada S and Snoha L. Functional envelope of a dynamical system[J]. Nonlinearity, 2007, 20(9): 2245-2269.

[5]Matviichuk M. Entropy of induced maps for one dimensional dynamics[J]. Grazer Math. Ber. In: A.N. Sharkovsky, I. M. Sushko (Eds.) Proc. ECIT ’, 2009，354(8)：180-185.

[6]Matviichuk M. On the dynamics of subcontinua of a tree[J]. Journal of Difference Equations and Applications, 2011，17(11): 1-11.

[7]Kolyada S and Semikina J. On topological entropy: When positivity implies +infinity[J]. Proceedings of the American mathematical society, 2014,30(2): 1-14.

[8]Yosida K. Functional Analysis[M]. Berlin: Springer-Verlag, 1980.

The Relation of Sequence Entropy Between Interval Map and its Function Envelope Induced

ZHAOHai-lin

(Department of Mathematics, Hefei University of Technology, Hefei 230009, China)

We mainly study the relationship of the topological sequence entropy between the interval map and its function envelope. We prove that the topological sequence entropy of the function envelope induced by interval map is either zero or infinite, and when the topological sequence entropy of the interval map is greater than zero, the topological sequence entropy of the function envelope induced by interval map is infinite.

the interval map; function envelope; topological sequence entropy

2015-12-02；[修改日期] 2016-03-08

国家自然基金(11001071,11171320)及中央高校基本科研业务费(2015HGZX0017)

赵海林(1987-),男，合肥工业大学硕士研究生，从事动力系统研究. Email: hlzhao1017@163.com

O189.11

A

1672-1454(2016)03-0024-03