基于边界元法求解二维Ⅰ-Ⅱ复合型裂纹断裂参数

任 欢，王 伟



基于边界元法求解二维Ⅰ-Ⅱ复合型裂纹断裂参数

任 欢，王 伟

（辽宁石油化工大学机械学院，辽宁 抚顺 113001）

对于平面复合型裂纹，由于不同的断裂模式，积分与应力强度因子有关。因此，必须另外分析如何分离应力强度因子。积分结合积分或应变能释放率(SERR)，可以用于有效的离散和计算应力强度因子。本文介绍复合型裂纹的，的计算，展示了两个各向同性和均质材料属性的示例，在不同裂纹形状和荷载条件情况下，得到了应力强度因子和，的相应积分值。

边界元法；积分；应力强度因子；合型裂纹

目前，在工业和学术界领域中，求解断裂力学问题最常见的方法就是1积分[1]结合边界元法(BEM)[2]或有限元方法(FEM)。在很多情况下，边界元法比有限元法更加经济和准确，特别适用于求解裂纹扩展问题。Rice[3]开创性地提出了与路径无关性积分概念，主要研究裂纹与不同介质构成的界面垂直时，裂纹尖端的应力奇异性和材料属性的关系[4]，以及裂纹的扩展与路径问题[5]。

对于平面复合型的裂纹断裂问题，由于不同断裂模式，J积分的值和应力强度因子[6]有关。王伟[7,8]推导出了复合型裂纹的与的关系式及积分的计算。

影响裂纹计算的因素有很多，文献[9]出网格划分对计算精度影响很大的结论，距离裂纹前缘越近，计算精度越高。针对各向异性结构的裂纹形状灵敏度，文献[10]应用边界元方法进行估算。

对于一个各向同性和均匀的线弹性复合型裂纹,应力强度因子和积分有如下关系：

积分表示自相似裂纹增长的能量释放率，对于均匀和各向同性材料的线性裂纹。可以应用计算积分来解耦应力强度因子。积分不仅涉及裂纹周围的内点的应力和应变的计算，还涉及裂纹表面奇异积分的计算。目前还有许多其他方法用于解耦应力强度因子，但此分解方法是最受欢迎的[11]。

1 估算JK积分

本文研究的重点是各向同性和均质材，对于每个裂缝形状和荷载不同条件，计算应力之前因子，得到相应的1,2的值及应变能密度不连续项。

图1显示了任意形状的一个连续裂纹。

图1 复杂荷载作用下的裂纹

Fig.1 Crack under complicated loads

1是环绕裂纹尖端的一个路径，P而是裂纹前沿法平面上自裂纹下表面任意一点按逆时针方向围绕裂纹尖端到上表面任意一点的积分路径。J积分被定义为

对于任意路径的直裂纹，沿着裂纹表面1积分为

2积分可写成

积分与应力强度因子有关，这意味着对于应力强度因子的解耦，必需计算出1和2

对于一个构件，裂纹的总势能为

其中，

将构件分为两个子区域1和2，总势能等于区域1和2的势能的总和

对于区域1的势能

根据求导、格林公式[12]及裂纹表面应力分布得到

同样区域2的势能可以写成

考虑到应力在区域1和2的界面区域SP的值相等

对于直裂纹，如果导数是关于裂纹的横向(1)，那么上述积分为1积分。

如果导数是关于裂纹(2)方向，那么方程(22)不仅是2积分，而是添加积分在其中，可以很容易地得到

其中

应该注意的是，使用方程(12)，当考虑直裂纹表面积分时，，其中，。如果考虑弯曲裂纹表面，，，针对1积分的估算，必须考虑沿裂纹表面的应变能密度的改变，同样的方法2为提供路径无关的特性[16]。

2 案例分析

2.1 中心斜裂纹与弧形裂纹分析

中心斜裂纹长2成角和圆心角中心弧形裂纹薄平板。其中，，,是双轴向载荷比（图2）。

图2 中心斜与弧形裂纹矩形板分析图

应用ANSYS对含不同形式裂纹的薄板进行应力分析，如图3所示。

图3 应力等值线图

2.1.1 应力强度因子I的计算

在不同的倾斜角度和加载条件的情况下计算应力强度因子I值如图4所示。

(a) 中心斜裂纹

(b) 弧形裂纹

(b) Arc crac图4与不同I的的变化趋势

Fig.4 The change trend of KIintegral under differentand

2.1.2 应力强度因子II的计算

在不同的倾斜角度和加载条件的情况下计算应力强度因子KII值如图5所示。

(a) 中心斜裂纹

(b) 弧形裂纹

图5 不同与的II变化趋势

Fig.5 The change trend of KIIintegral under differentand

2.2积分计算

(a) 中心斜裂纹

(b)弧形裂纹

图6 不同与的k积分的变化趋势

Fig.6 The change trend of Jkintegral under differentand

图6可以观察到理论数值和有限元分析结果几乎一致。

3 结 论

（1）本文讨论了边界元法对不同形状的复合型裂纹的积分进行计算。在裂纹形状和加载条件下，由于应变能密度不连续，提出了积分值以及应变能密度不连续项。

（4）示例问题对各向同性和均质材料属性进行分析，并得到相应结果。研究结果显示，该方法的简单、准确性和灵活性适用于弯曲和直裂纹。由于方法的通用特性，该算法可以扩展并应用到各向同性或各向异性双材料属性的断裂分析中。

参考文献：

［1］ J.R. Rice. Mathematical Analysis in the Mechanics of Fracture, in: H. Liebowitz (Ed.)[M]. Treatise on Fracture, seconded.,Academic Press, NY, 1968: 191-311.

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［3］ Rice.A path-independence integral and approximate analysis of strain concentration by notches and cracks[J]. J Appl Mech, 1968, 35(1): 376-386.

［4］ 黄克智，余寿文. 弹塑性断裂力学[M]. 北京：清华大学出版社，1985.

［5］ 王利民，陈浩然. 裂纹垂直于双相介质界面时的应力强度因子[J].计算力学学报，2001，1(2)：33-36.

［6］ 杨庆生，杨卫. 界面裂纹的路径选择与数值模拟[J]. 力学学报，1997，29(3)：355-358.

［7］ 王伟，谢禹钧. 复合型裂纹与关系推导[J]. 石油化工设备，2011，40(5)：39-44.

［8］ 王伟. 复合型裂纹积分计算[J]. 石油化工设备，2011，40(2)：39-55.

［9］ 高文，王生楠，闫晓中. 三维斜置表面裂纹应力强度因子边界元计算及分析[J]. 机械强度，2013，35(4)：503-508.

［10］ A. Tafreshi. Fracture mechanics analysis of composite structures using the boundary element shape sensitivities[J]. AIAA J., 2009,47 (8): 1926-1938.

［11］ I. Milne, R.O. Ritchie, B. Karihaloo (Eds.). Comprehensive Structural Integrity[J]. , Elsevier, 2003, 1-10: 2003.

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Estimating Two-dimensional Complex Crack Fracture Parameters Based on the Boundary Element Method

1,2

（Mechanical college in Liaoning Shihua University, Liaoning，Liaoning Fushun 113001, China）

For the fracture of in-plane mixed mode crack, because of the different fracture modes, the-integral is related to stress intensity factors(SIFs) . Therefore, additional analysis must be carried out to separate SIFs. The-integral combined with the-integral or strain energy release rate (SERR), can be employed for efficient decoupling and evaluation of SIFs. In this paper,,estimation of complex cracks was introduced. Two example problems with isotropic and homogeneous material properties were presented. Under each crack shape and loading condition, stress intensity factors K and the corresponding values of,were obtained.

boundary element method;-Integral; stress intensity factors; complex cracks

TQ 018

A

1671-0460（2016）09-2167-04

2016-03-15

任欢（1989-），女，黑龙江省佳木斯市人，硕士研究生，辽宁石油化工大学研究生学院，研究方向：结构安全评定及可靠性分析。E-mail：renhuan427@163.com。