一道不定积分题目的解法研究

刘克英，李鹏，袁合才



一道不定积分题目的解法研究

刘克英，李鹏，袁合才

在学习高等数学或者微积分时，学生大都认为计算不定积分很困难．这源于学时有限，而严重不足的作业量使学生对题目不熟悉．（记为）有3种正确的常规解法[1-2]，本文综合并拓展已有解法[3-6]，给出了7类共22种解法．

以上解法的实质是换元．从结果来看，分为两类，一类用反正弦或反余弦函数表示；另一类用反正切函数来表示．从创新点来看，解法1～3，5，8，9，12~14避免了讨论变量范围；解法15，16，18在文献[3]中提到过，这里写出了具体过程．特别地，欧拉代换（除了解法18）以及拆项的6个解法从未出现在文献中，这是最有价值的．解法5是最优方法，代换的选择很直接，过程简洁，结果简单．该不定积分不能用分部积分法来计算，在讲解时可以指出问题所在．

[1] 同济大学数学系．高等数学（上册）[M]．6版．北京：高等教育出版社，2007

[2] 彭辉．高等数学辅导[M]．济南：山东科学技术出版社，2011

[3] 李振宇．关于一类函数的积分[J]．工科数学，1992（4）：106-109

[4] 高卓玛．一道不定积分题的多种换元积分解法[J]．青海大学学报：自然科学版，2006，24（5）：71-72

[5] 吴维峰．探求不定积分的一题多解莫忘解法的正确性[J]．潍坊教育学院学报，2009，22（4）：42-43

[6] 吴维峰．对不定积分一题多解的分析[J]．高等数学研究，2010，13（6）：11-13

作者单位：（华北水利水电大学 数学与信息科学学院，河南 郑州 450045）

基金项目：华北水利水电大学教育教学研究与改革项目