矩阵环Mn(R)的中心图

2016-10-12曾庆雨唐高华刘衍民

西北师范大学学报（自然科学版） 2016年5期

关键词：同构师范学院定理

曾庆雨，易　忠，唐高华，刘衍民，李　湘

(1.遵义师范学院数学与计算科学学院，贵州遵义　563002；2.桂林航天工业学院理学部，广西桂林　541004；3.广西师范学院数学科学学院，广西南宁　530023)

矩阵环Mn(R)的中心图

曾庆雨1，易忠2，唐高华3，刘衍民1，李湘1

(1.遵义师范学院数学与计算科学学院，贵州遵义563002；2.桂林航天工业学院理学部，广西桂林541004；3.广西师范学院数学科学学院，广西南宁530023)

矩阵环；中心图；连通性；直径；围长

3.College of Mathematics and Statistics,Guangxi Teachers Education University,Nanning 530023,Guangxi,China)

0　引言

有限环是代数学中非常重要的研究对象，它在众多数学分支及工程科学中都有着广泛的应用.用图的性质去研究代数结构，是近20年来非常热门的一个课题，它建立了环论和图论两大数学分支之间的联系，同时也导出了很多迷人的结果.

2011年，Balakrishnan等[1]提出了群的中心图的概念，记群G的中心图为Γ(G)，其顶点集为G中所有的元素，且任意两个顶点a与b相连当且仅当ab∈Z(G).文献[2-4]研究了一些特殊群的中心图；文献[5]引进环的中心图的概念，并研究了群环ZnS3的中心图的连通性和直径.本文研究矩阵环Mn(R)的中心图.在不引起混淆的情况下，记任意环R的中心图为Γ(R)，其顶点集为R(R)，两个不同的顶点a与b相连当且仅当ab∈Z(R)或ba∈Z(R)，这里Z(R)是R的中心.

记交换环R的所有零因子做成的集合为D(R)，R的单位群为U(R)，R上的n阶矩阵环Mn(R)的所有可逆矩阵、零因子矩阵、对合矩阵和弱对合矩阵做成的集合为Un(R),Dn(R),εn(R),ωn(R).记数域F上的n阶矩阵环Mn(F)的所有n×n可逆矩阵、零因子矩阵、对合矩阵和弱对合矩阵做成的集合为Un(F),Dn(F),εn(F),ωn(F).

1　主要引理

首先，A∈Mn(R)称为对合矩阵，若A2=E，其中E是Mn(R)的单位元.

定义1设R是任意交换环，A∈Mn(R)称为弱对合矩阵，若对某个u∈U(R)，有A2=uE，其中E是Mn(R)的单位元.

引理1[6]设F是有限域且ch(F)≠2，则

引理2[7]设F是有限域，则

引理3设A≠0是Mn(F)的零因子，则存在0≠B∈Mn(F)，使得AB∈Z(Mn(F))当且仅当AB=0.

证明首先，Z(Mn(F))=kE，E是Mn(F)的单位元.设A≠0是Mn(F)的零因子，那么A∉Z(Mn(F)).若存在0≠B∈Mn(F)，使得AB∈Z(Mn(F))，则B既不是中心元，也不是单位元.事实上，若B∈Z(Mn(F))，则对某个0≠t∈F有B=tE，但对某个k∈F有AB=kE，因此A=t-1kE，这与A∉Z(Mn(F))矛盾.进一步，若B∈Un，AB=kE,则A=kEB-1，即A是可逆矩阵，矛盾.反之显然.】

引理4[6]设Mn(F)是有限域F上的n阶矩阵环，则Γ(Dn(F))是连通的且diam(Γ(Dn(F)))=2.

引理6[9]一个有限图是可平面的当且仅当其不含K5或K3,3的子图.

引理7[6]设R是交换环.若每个R的有限零因子集都有非零零化子，则diam(Γ(Dn(R)))=2.

2　主要结果与证明

定理2设F是一个有限域，

情形1若S=T，说明A是一个弱对合矩阵，因此Γ(S∪T)≅Kp-1.

另一方面，设C∈U(Mn(R))，C∉S∪T,若对某个k∈U(R),AC∈kE,那么C=kA-1，所以C∈S∪T，这是一个矛盾.所以Γ(Un(R))的每一个连通分支都同构于Kp-1或Kp-1,p-1.】

若F是有限域且特征不等于2，由引理1～2以及定理1，我们能得到以下结果:

个连通分支.

由定理3，以下结果是显然的.

定理5设F是有限域，

定理6若F是一个有限域，则g(Γ(Dn(F)))=3.

证明令

则A1,A2和A3是Dn(F)中不同的零因子，使得A1A2=A2A3=A3A1=0.】

定理7对任意的交换环R，g(Γ(Mn(R)))=3.

证明过程与定理6的证明类似.

证明由定理1，Γ(ωn(F))的每一个连通分支都同构于Kq-1.再由引理6，结果显然.】

证明由定理3，Γ(Un(F))的每一个连通分支都同构于Kp-1或Kp-1,p-1.结合引理6，结果显然.】

由引理3，4和定理3，4，我们有以下结果:

定理10设F是有限域且ch(F)≠2，则Γ(Mn(F))有

个连通分支，而且，

个连通分支同构于Kp-1,p-1，而

定理11设R是交换环且每个R的有限零因子集都有非零零化子，则Γ(Mn(R))是连通的且diam(Γ(Mn(R)))=3.

情形1若A,B∈Un(R),则存在C,D∈Un(R)和k,l∈D(R)，使得AC=DB=E,kl=0,从而kC,lD∈Dn(R).因此A-kC-lD-B是一条路.

情形2若A,B∈Dn(R)，则由定理7，结果显然.

情形3若A∈Dn(R),B∈Un(R),则存在k∈D(R)和C∈Un(R),使得kC∈Dn(R)，CB=E，由引理7结果显然.

结合情形1～3可知，Γ(Mn(R))是连通的且diam(Γ(Mn(R)))=3.】

[1]BALAKRISHNANP，SATTANATHANM，KALAR.Thecentergraphofagroup[J].South Asian Journal of Mathematics，2011，1(1):21.

[2]MA Xuan-long，WEI Hua-Quan，ZHONG Guo，et al.The center graph on dihedral group[J].JournalofGuangxiTeachersEducationUniversity(NaturalScienceEdition)，2012，29(2)：6.

[3]苏华东，马儇龙，钟国，等.Sn和An的中心图[J].广西师范学院学报(自然科学版)，2011,28(4)：10.

[4]韦华全，马儇龙，苏华东，等.D2n和Q4n的中心图[J].厦门大学学报(自然科学版)，2013,52(1)：5.

[5]曾庆雨，易忠，唐高华，等.群环ZnS3的中心图[J].广西师范学院学报(自然科学版)，2014,32(1)：64.

[6]BOZIC I，PETROVIC Z.Zero-divisor graphas of mathrices over commutative rings[J].CommunicationsinAlgebra，2009,37(4)：1186.

[7]MCDONALD B R.LinearAlgebraOverCommutativeRings[M].New York:Marcel Dekker Inc，1984:56.

[8]AKBARI S，MOHAMMADIAN A.Zero-divisor graphs of non-commutative rings[J].JournalofAlgebra，2006,296(2):462.

[9]邦迪J A，默蒂U S R.图论及其应用[M].吴望名，李念祖，吴兰芳，等译.北京：科学出版社，1984:163.

(责任编辑马宇鸿)

The center graph of matrix ringMn(R)

ZENG Qing-yu1,YI Zhong2,TANG Gao-hua3,LIU Yan-min1,LI Xiang1

(1.School of Mathematics and Computing Science,Zunyi Normal College,Zunyi 563002,Guizhou,China；2.Faculty of Science,Guilin University of Aerospace Technology,Guilin 541004,Guangxi,China；