对教科书细节的研读与思考例析——以勾股定理为例

王传利

（肇庆学院 数学与统计学院，广东 肇庆　526061）

对教科书细节的研读与思考例析
——以勾股定理为例

王传利

（肇庆学院 数学与统计学院，广东 肇庆526061）

以义务教育课程标准实验教科书（人教版）8年级下册中“勾股定理”为例，以13个教学细节为切入点，说明如何研读教科书.教师应抓住关键性教学细节认真研读教科书：重点研读特定教学内容的核心提示语，明确教学的主要内容，确定教学主题；整体解读特定教学内容，将之划分为不同教学模块，确定具体教学流程；仔细研究各教学模块，基于教学点获得关于特定教学内容的学科教学知识.

数学教科书；阅读；数学思想方法；教学细节；教学点

教师在课堂教学中对每个细节的落实与把握，是在数学课堂教学中取得良好教学效果的根本保障，“教学细节”是一个应该得到充分重视的教学要素［1］.教师只有认真研读教科书，将之读懂、读透，善于发掘教科书中易为人忽视的细节，才能取得良好的教学效果.教师认真研读教科书是正确使用教科书的前提和保证，是教师提高教学效果的基础.本文中，笔者以义务教育课程标准实验教科书（人教版）8年级下册中“勾股定理”为例，解析教师应如何研读教科书.之所以选择勾股定理为例，是因为勾股定理在数学学科中具有典型性和代表性，有利于培养学生观察、发现、分析、解决问题的能力，还有利于提高学生的数学计算、论证、推理能力，正因为如此，勾股定理长期以来一直是教学与研究的热点问题之一.

1　研读教科书应从教学细节入手

教学细节是构成教学行为的最小单位，只有处于教学关节点、连接点上的教学行为，才具有推动、激活、连接、延续教学过程的功能［2］50.教学活动中直接影响教学目标落实及教学流程合理化的举足轻重的关键环节，称之为“关键性细节”［3］.教学细节包括某一特定教学内容的每个教学要点（如数学史、数学思想方法、数学问题情境引入、问题串的设计、学生的已有知识、困惑以及试误、例习题的精选等）［4］.这些教学点链接着教学过程的各个环节，有的蕴含在某个教学环节里，有的则处于前后教学环节的衔接处.教师只有抓住教学中的细节，才能在课前完成对教学的预设，从而为在教学中实施并完成教学目标打好基础.

课程标准与教材对教学具有一定的先天性预设，规定了教学所应达成的培养目标和基本要求，以及达成目标的主要方式和途径，而作为教学组织者的教师对此认识的程度和内化水平，决定着教学预设水平的高低［2］49.教师应认真研读教科书，抓住教学细节仔细研究教科书中的特定教学内容，对各教学点进行认真思考，制定相应的教与学策略，从而获取关于特定教学内容的学科教学知识.很多优秀教师都具备这方面素养，他们总能敏锐地捕捉教学细节，对教科书编写者的意图、数学史的融入、数学思想方法的挖掘、问题串的设计及数学知识的本质有整体而全面的把握与认知，从而能够做到合理使用与改造教科书，完成对教科书的“二次开发”，践行“用教材教”而非死板地“教教材”.

2　基于教学细节研读数学教科书

精致教学理论认为学习过程应该先有整体概念蓝图，再逐一建构内容知识，其目的是使学习者在学习局部细节知识之前，先在脑中建立一个概念地图，即对整个学习任务有个清晰的整体概念模型.当教学目标和需求确定后，应选择一项最简单、最有代表性的教学内容作为“综述”层面的内容，然后按照细节性、复杂性、具体性递增的方式，逐级设置其他精致层面［5］.基于此，在研读教科书时，教师应遵循自上而下、从整体到部分的教学序列，明确研读的目的和任务，带着问题驱动自己阅读.首先，教师要找到教学的主要内容，确定教学主题；其次，教师应划分教学模块，确定教学流程；最后，教师应基于教学细节认真研读教科书，获得关于特定教学内容教与学的策略.

2.1重点研读，明确教学的主要内容和教学主题

2.1.1研读教科书时，应先确定教学的主要内容

教师在进行特定教学内容教学时，首先要明确教学的主要内容.数学教学的主要内容多是明确显示在教科书上的，那就是特定教学内容的核心提示语—数学概念、法则、定理、公式，一般以黑体字或加粗予以标示，义务教育课程标准实验教科书则以蓝色字体标示.勾股定理一节的核心提示语——“命题1如果直角三角形的两直角边长分别为a，b，斜边长为c，那么a2+b2=c2.”就是教与学的主要内容.

2.1.2确定教学主题

数学教学是着重于传授知识还是发展能力，在业界历来存有争议.按照新课程标准，教师在向学生传授知识的同时，还要特别注重培养学生的数学素养，培养学生用数学思想方法提出问题、观察问题、分析问题和解决问题的能力，为此，教师需要认真思考讲授内容以便确定教学主题.

具体到勾股定理的教学，一般有2种教学主题：一种是介绍勾股定理的数学史与数学文化；一种是探究与发现勾股定理.前者基本上靠教师直接讲解，后者则由教师引导学生自主发现并得出结论.虽然教科书勾股定理一节中蕴含着丰富的数学史知识，新课改也强调适当向学生介绍数学史与数学文化，但教师应分清主与辅且要讲究方式方法，若只是对历史信息的直接和简单运用，则仅属于对数学史知识运用的较低层次［6］.教师应明确以后者为教学主题，因为其能较好地体现三维课程目标，对培养学生的数学素养更为有益.

2.2整体研读特定教学内容，划分教学模块，确定教学流程

课堂教学中涉及3条思路：教师教的思路，学生学的思路和教材本身所固有的逻辑思路（即教学内容中各知识点之间的本质联系）.优秀执教者能在一节课中成功地将3条思路融合为一，形成特定的主题线索［7］.通过研读教科书，可以发现勾股定理一节具体可分为8个教学模块（见表1）.据此可以初步确定本节课的教学流程：引入—探究—猜想—证明—应用—小结，这是教科书提供给教师的一个基本教学框架（见图1）.

对教科书上的几大模块进行分析，可知其符合所确立的教学主题.如果勾股定理的教学重点放在发现、探究和证明该定理上，则所用时间会较长，且一节课很难较全面地介绍数学史知识.本节课应分为2个课时：第1课时为勾股定理的探究、证明及简单应用（即教科书上的前4个模块和模块Ⅶ）；第2课时为勾股定理的应用（即教科书上的后4个模块）.

表1　勾股定理的教学模块

图1　勾股定理阅读教科书流程图

2.3仔细阅读，基于教学细节获得关于教与学的学科教学知识

在对教科书本身固有的逻辑思路分析透彻后，教师就应该根据各教学模块划分的教学过程，思考其教的思路和学生学的思路.评价一节课的优劣，首先要看教师教学的思路是否清晰，即教学流程是否科学、自然而得体.一般每节课思路和流程的形成至少要借助于2个关键性细节，关键性教学细节起着不可忽视的整合作用［8］，因此，教师在研读教科书过程中要注意对教学细节的挖掘与思考.具体到勾股定理教学，教师需要思考如下13个教学细节（见表2）.

教学细节1～3属于教学模块Ⅰ，教学细节4～6属于教学模块Ⅱ，教学细节7～9属于教学模块Ⅳ，教学细节10与11属于教学模块Ⅵ，教学细节12与13属于教学模块Ⅰ，Ⅱ，Ⅳ，Ⅵ，Ⅶ，Ⅷ，而教学细节1，3，5，7，12，13又将各教学模块串成一个整体.这13个教学细节将勾股定理的引入、探究、猜想、证明和应用有机地联结为一体，聚焦于以下3个问题.

表2　勾股定理的13个教学细节

2.3.1在勾股定理的教学中注意渗透数学思想方法和数学史

1）在教学中运用所挖掘的数学思想方法进行教学.评价一堂数学课的教学质量，首先要关注教师在教学过程中是否揭示出数学的本质，让学生体悟到数学思想方法.一堂数学课如果能使学生体会到其中的数学思想和方法，就属于高品位的数学教学［9］88.教师不仅要通过研读教科书挖掘其中蕴含的数学思想方法，还要懂得如何在教学中使用和渗透数学思想方法.

教师根据核心提示语找到关键词语，再研读教学模块即可确定特定教学内容蕴含的数学思想方法.在勾股定理教学中，教师根据核心提示语“命题1”，找到关键词语“直角三角形和a2，b2，c2”，再结合教学模块Ⅱ，Ⅲ，Ⅶ，可以确定本节课蕴含数形结合、特殊—一般—特殊、化归、割补等数学思想［10-11］.在实施教学时，教师应灵活使用这些数学思想方法：a.利用数形结合思想，借助以a，b，c为边的正方形的面积可以探究和证明定理（拼一拼）；b.在形成定理的过程中，先由易于计算的特殊直角三角形获得命题1，然后猜想对于一般直角三角形也有命题1，再应用获得的勾股定理，这是对“特殊—一般—特殊”数学思想的灵活应用；c.在探究定理的过程中，利用割补法可求出斜放正方形的面积；d.在探求过程中，利用化归思想，可将“求斜放正方形的面积问题”转化为“求正放正方形和直角三角形的面积问题”；e.在小结环节，教师应再次引导学生回顾本节课运用了哪些数学思想方法.按照以上方法施教，学生就可以在教师引导下于观察、探究、猜想、验证的教学过程中习得数学思想方法.

2）在教学中正确运用勾股定理中的数学史知识进行教学.教科书中的教学模块Ⅰ，Ⅳ，Ⅴ，Ⅶ和Ⅷ中均含有数学史知识，教学细节1，3，5，7，8和11则都涉及对数学史的思考.虽然勾股定理涉及的数学史知识十分丰富，但教师在实际教学中应有选择性地加以应用.在课堂引入部分，可以考虑借助“毕达哥拉斯的地板砖”；在证明环节，则宜适当引入赵爽弦图、毕达哥拉斯证明或总统证明；在得到定理环节，可以适当介绍“勾三股四弦五”的故事和百牛定理；至于勾股定理的发现与证明等相关数学史知识，教师可以让学生在课下进行收集与整理，专门开展勾股定理的主题汇报活动，而这正是教科书教学模块Ⅷ的目的所在.

2.3.2讲好勾股定理的引入、探究和证明

教学模块Ⅰ，Ⅱ，Ⅳ，Ⅴ，Ⅷ为勾股定理的引入、探究和证明环节，而教学细节1，3，5～9和11正是针对这几个模块教与学的思考.勾股定理的引入、探究和证明应是一个一脉相承的有机整体，让学生由毕达哥拉斯的发现想到如何进行探究，由自主探究自然地得出勾股定理的过程及证明思路，这是数学教师的教学追求.

1）教学模块Ⅰ有2点作用：一是通过数学史的引入，让学生体悟到大数学家毕达哥拉斯发现勾股定理的过程；二是可以为教学模块Ⅱ提供探究思路.如果对模块Ⅰ的这2点作用认识不到位，教师就不能很好地引导学生发现和探究勾股定理，也就难以由此顺利得出勾股定理的证明.勾股定理的引入、探究和证明，用到了正方形的面积和“勾股树”知识（见图2）.教师应引导学生以等腰直角三角形的3边向外做3个正方形来解释勾股树，这正好与教科书中如下结论相吻合：“可以发现，以等腰直角三角形两直角边为边长的小正方形的面积的和，等于以斜边为边长的正方形的面积.”

图2　勾股树

2）关于勾股定理的探究.在探究勾股定理环节中，教师需要做到如下几点：

a.教师应敢于放手让学生尝试直接用尺子度量直角三角形3条边的长，由此得到命题1.通过对几个直角三角形的测量学生会发现，由于得到的数据不总为整数，他们很难猜想归纳出命题1，这就迫使学生必须寻求新的探究方式.

b.为了解决测量3条边所得数据不总为整数这个问题，学生必须正视教科书中毕达哥拉斯的发现，进而需要借助勾股树进行探究.

c.教学模块Ⅱ提供了网格线，教师应引导学生将地板砖抽象成教科书中的网格线.先要去掉地板砖上的装饰及每个正方形的对角线，得到大的方格线；继而把大方格线缩小至网格线（每个小正方形的边长设定为1，见图3）.正确制作几何画板，借此形象地向学生演示网格线的形成过程，对教师是一个较大的挑战.

图3　网格线的形成过程

弗赖登塔尔［9］82曾经说过：“没有一种数学思想如当初刚被发现时那样发表出来.一旦问题解决了，思考的程序便颠倒过来，把火热的思考变成冰冷的美丽.”虽然教师无法追溯毕达哥拉斯的探究思路，但至少可以洞悉教科书编写者的意图.数学教师有责任并且要有能力引领学生亲历探究过程，同时要注意培养其动手操作和类比迁移的能力.

d.正确引导学生利用网格线探究勾股定理.有了教学细节5的考虑，学生自然能联想到利用网格线进行探究.为了能将直角三角形放入网格线中，可借助毕达哥拉斯的发现，启发学生将直角三角形的2条直角边置放于整格部分，并且利用直角三角形的3条边向外作3个正方形得到勾股树（见图4），之后探究3个正方形的面积关系即可.教师应启发学生思考为何正方形正放好求解而斜放不好求解，从而引导其将“斜”化归为“正”；之后，进一步引导学生利用割补法计算斜放正方形面积并完成表格3.

图4　割补法的使用和讲解

表3　勾股定理探究表

表3的设计很重要，它向学生明示了研究方向，从毕达哥拉斯到学生的探究都是从面积关系入手考虑的，符合我们研读教科书得到的关键词语.相比顾泠沅［9］253的勾股定理教学设计，它省略了讨论“2ab+1=c2”，直奔主题“a2+b2=c2”，这就是研读教科书的益处.教科书中并没有给出表3，教师只有认真研读教科书才能设计出合理的表格.

3）关于勾股定理的证明.教科书在教学模块Ⅳ和Ⅷ分别给出了赵爽弦图、毕达哥拉斯证法、弦图的另一种证法及总统证法.教师需要靠其自身的教学智慧，选择恰当的证法证明勾股定理.为此，教师必须读透读懂教科书，才能真正理解编写者的意图.

a.教科书在探究得出命题1后给出了利用赵爽弦图证明勾股定理的方法，这使得探究和证明衔接不良，显然不符合确定的教学主题.在实际教学中，许多教师认为勾股定理的证明思路学生不易想到［12］，而且，从学生体验知识发现过程的角度看，要让学生循着前人的思考路径“再发现”勾股定理是不现实的［13］.根据教学细节4～6的思考，在学生经过探究后可顺利得出如图5的勾股定理证明过程.基于以上原因，教师应在探究得出命题1后先采用“拼一拼”的证法，之后，再采用赵爽弦图的证法比较好.

图5　拼一拼

b.学生对“拼一拼”从严格意义上讲是否算一种证法存在困惑.教师可结合数学史知识选择教学模块Ⅳ中的赵爽弦图，或者选择教学模块Ⅷ中弦图的另一种证法及毕达哥拉斯证法，延续探究思路向学生说明，古代数学家包括毕达哥拉斯都是通过“拼一拼”的方式证明勾股定理的.

c.学生有可能提出用尺子测量的方法不能得出勾股定理，但可利用几何画板通过度量任意直角三角形的3条边，当3条边的边长为小数时，仍有“a2+b2=c2”成立.教师在充分肯定学生想法的同时，要明确告知学生：实验数据只能增加结论的可靠性，特殊实例永远代替不了一般规律，命题1只有通过严格论证才能称之为定理.

d.教师应具备动态的知识观和教学观.根据关键词语可以悟出：从毕达哥拉斯的发现到勾股定理的探究再到勾股定理的证明，都是借助于“面积相等——以直角三角形3条边为边长的3个正方形的面积关系”，因此，不管采用何种证法都要以此为基础.模块Ⅷ中的总统证法实际上也是“拼一拼”的证法，可是其在教科书中是以静态形式呈现的，需要教师认真去读去悟，动态地生成教与学的策略.

勾股定理的证明方法据说超过400种，大致可归结为2类：一类是代数法——通过严格的演绎方法证明定理；一类是几何法—通过“拼一拼”的方法证明定理.赵爽弦图是几何法的典型代表，欧几里得证法是代数法的典型代表.欧几里得证法虽然是用全等三角形证明勾股定理，但对学生来讲太复杂，教师不宜在课堂上讲授此方法.教师若能多关注、多思索勾股定理证明中所蕴含的数学文化，则其能联想到的证明方法会更多，在授课中所渗透的数学文化会更精彩，其引导的教学过程也会更具内涵，这对培养学生的数学素养无疑是助益良多的［14］.

2.3.3对教学模块Ⅵ中勾股定理的应用探究3的思考

教学细节11可引发教师一系列的思考：义务教育课程标准实验教科书（人教版）分别在平方根、立方根2节中各安排了1道例题说明无限不循环小数，当时并没有点出无理数的概念；无理数一节仅让学生在数轴上画出，却没有要求往下画；勾股定理一节为何给出在数轴上的画法？平方根、立方根、无理数、勾股定理的先后顺序能否打乱？教师若能认真研读不同版本的教科书和相关的教研论文，再注意考虑勾股定理与三角形的全等与相似、正余弦定理、射影定理、切割线定理及三角函数等前后知识之间的联系，认真揣摩编写者的教育理念和编写意图，就可以从中获得许多特定教学内容的学科教学知识.

3　结语

教科书、学生、教师是构成课堂教学过程的3个空间因素，教师研读教科书时应体悟出3种思路：教师教的思路、学生学的思路、教科书本身固有的逻辑思路.教师要抓住关键性教学细节，从学生的立场出发，重新对教科书进行整合与编码，合理地选择、优化和创新教学内容，实现从忠实到调适再到创新教科书.教师对教科书的深度解读与合理设计，为学生的数学思考构造了一条思维的绿色通道［14］，可以使学生对数学知识本质的理解更加全面、清晰、通透［14］.研读教科书是为了更好地获取特定教学内容的学科教学知识，每位教师都应下功夫对教科书深研细读，这是提高教学效果毋庸置疑的基础与前提.

本文所说的教科书是狭义的教材，是指教师和学生在课堂教学中所用的课本，而说教材是教师之间交流的重要平台，是传统说课中重要但又不受重视的环节，也是我们今后研究的方向.

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Reading Up and Thinking of the Details of Textbooks——Take the Pythagorean Theorem as an Example

WANG Chuanli
（School of Mathematics and Statistics，Zhaoqing University，Zhaoqing，Guangdong 526061，China）

ractIn this paper，we select"Pythagorean theorem"in the standard experimental textbook for grade eight of the compulsory education curriculum as an example and explain how to read textbooks from 13 teaching details.Teachers should be teaching and reading textbooks based on students'learning by grasping this crucial details，focus on reading the core of the specific teaching content to determine the main content of the teaching and the teaching theme；overall reading specific teaching content to divide the teaching module，determine the teaching process（teaching link design）；carefully reading the teaching module，obtain Pedagogical Content Knowledge of specific teaching content knowledge.

ordsmathematical textbook；reading；mathematical thinking method；teaching details；teaching points

O174.52

A

1009-8445（2016）02-0022-08

（责任编辑：陈静）

2015-12-01

广东省教育科学研究基金资助项目（2013JK179）；肇庆教育发展研究院教育研究重点课题资助项目（ZQJYY201513）

王传利（1975-），男，山东邹城人，肇庆学院数学与统计学院讲师，硕士.