基于稀疏表示的图像超分辨率

2016-09-21张晓克重庆通信学院

科学中国人 2016年24期

关键词：低分辨率高分辨率字典

张晓克重庆通信学院

基于稀疏表示的图像超分辨率

张晓克
重庆通信学院

本文主要研究了基于稀疏表示的超分辨率重建算法。此算法分别要将高低分辨率图像训练成两个图像字典，再利用稀疏表示算法为每一幅分辨率图像在低分辨率字典中估计出稀疏系数，最后利用得到估计的系数和高分辨率字典进行高分辨率图像重建。

1　引言

图像超分辨率是指将一组低分辨率图像重建为一幅高分辨率图像的技术。而现在的图像超分辨率算法研究，主要有基于插值、基于重建和基于学习这三种方法及其组合，其中基于插值的有双线性插值、双三次插值等方法；基于重建的有凸集投影、贝叶斯分析、正则化等方法；基于学习的有example-based、邻域嵌入、稀疏表示等方法。本文中基于稀疏表示的超分辨率算法是要将高低分辨率图像训练成两个图像字典，再利用稀疏表示算法为每一幅分辨率图像在低分辨率字典中估计出稀疏系数，最后利用得到估计的系数和高分辨率字典进行高分辨率图像重建。

2　稀疏表示理论

图像的稀疏表示指的是图像可近乎完全地由数量非常少的一组原子图像块通过线性组合来表示，可将所有的原子图像块集合称为一个过完备字典。过完备字典下的图像稀疏表示的中心思想是，能够找到一个能反映图像的某种结构特征信息的过完备字典，并且在这个字典上能够用一种稀疏的表示来近似原始的图像。图像稀疏表示现阶段在降噪、压缩、特征提取、模式识别、图像融合、图像修复和填充等领域都已有广泛的应用。

2.1图像稀疏表示

根据图像退化理论，我们可以得到一个从高分辨率图像到低分辨率图像的观测模型：

其中，y表示高分辨率图像，x表示低分辨率图像，A表示观测矩阵。

通过上式我们知道，图像超分辨率重建问题就是对上式的一个求解过程，在稀疏表示理论中，如果满足特定条件，上式是存在唯一解的。

现设某个图像块的向量表示为 x∈Rm；过完备字典为D∈Rm×n；用‖·‖0表示x中非零元素的个数，σ表示n列向量线性相关的最小值，论证得到，当‖α‖0＜σ/2时，对于图像块向量y的稀疏表示α∈Rn是唯一的。即

m in‖α‖0，s.t.x=Dα

稀疏表示模型是一个非常有意义的数据表示模型，其目的是为了能够将低分辨率图像块用最少量的特定字典中的原子的线性组合来表示，在稀疏表示中，字典设计的优劣将直接影响稀疏分解的性能和图像重建的质量。

2.2生成字典

生成字典是为了反映图像内部结构信息的几何特征。在这里，我们先了解下几个专业名词：原子指的是字典的列向量；如果字典D中的原子恰好能够构成n维的欧式空间，则称为完备字典；如果字典中m大于n，字典就是冗余的，若此时能够保证构成n维的欧式空间，则称为过完备字典。现阶段常用的生成字典的方法包括：针对已知基函数构造字典和利用机器学习的方法生成字典。

另外，传统的字典中往往只包含单一的结构信息，而这样就不能映图像中某些细节的几何特征信息。因此有人提出，可根据图像中不同的结构特征，建立不同成分的字典，对图像中不同结构的信息都可以最终得到最稀疏的表示。且除了稀疏性之外，对于不同的子成分字典，相互之间要有明确的不相干性。

3　基于稀疏表示的图像重建算法

基于稀疏表示的超分辨率重建算法涉及到稀疏编码和字典更新两个过程。想要让一个图像块用字典中的原子来稀疏表示，字典的作用是至关重要的。现在很多的算法都是采用已知的字典，比如DCT字典、wavelet字典等等，这种方法的缺点就是字典没有自适应能力，只能对应具有特定结构信息的图像，一旦图像中的结构信息不满足特定条件，那么重建后的图像质量就无法满足我们的需求。

在这里，我们想要字典具有自适应能力，能够随着图像特征信息的变化，自身做出相应的改变，从而使字典的适应能力得到大大的提高。

这里就有一个字典更新的问题，因此在超分辨率图像重建过程中就要面对具有两个未知量的情况，假设过完备字典D和稀疏系数α为未知的，输入的观测到的低分辨率图像x是已知的。

第一步：对字典D进行初始化处理，利用已知的先验知识，即观测到的低分辨率图像x，通过稀疏表示模型，求解得到在字典D中的稀疏系数α。

第二步：利用求解得到的稀疏系数α，反过来再对字典D进行更新。通过设定适当的迭代次数或者选定适当的阈值，最终得到优化后的字典D和稀疏系数α。

其中，我们采用的稀疏编码方式和字典更新的方法分别为：

稀疏编码方程：x=argm in‖y-Dα‖2s.t.‖α‖1≤σ/2

更新字典：D=argmin‖x-Dα‖2

本文中采用的基于稀疏表示和字典更新的超分辨率重建算法要面临高低分辨率具有两个不同的特征空间这样的情况，因此，在训练和更新字典的过程中就要采用更多的约束条件，只有这样才能使得高低分辨率图像对应的两个特征空间具有相同的稀疏表示，一旦字典的训练更新，就可利用观测到的低分辨率图像在低分辨率字典中利用一些搜索算法，得到其的稀疏表示，再利用得到的稀疏表示系数来完成高分辨率图像的重建过程。