一种多轴高周疲劳损伤演化方程的封闭解

袁　群，李浩然

(1.安徽理工大学机械工程学院，安徽　淮南　232001；2.燕山大学机械工程学院，河北　秦皇岛　066004)



一种多轴高周疲劳损伤演化方程的封闭解

袁群1，李浩然2

(1.安徽理工大学机械工程学院，安徽淮南232001；2.燕山大学机械工程学院，河北秦皇岛066004)

损伤力学法应用于疲劳损伤分析被公认为非常有前途的研究方法，该方法以连续介质力学和热力学为理论框架推演损伤演化方程，具有确定的物理和力学意义。考虑多轴非比例附加强化效应的损伤演化方程并结合损伤度历程追踪标定累加计算方法，导出计及附加强化效应的多轴高周疲劳损伤演化方程的封闭解答，应用该解答给出伤演方程中的材料参数识别方法。以航空工业常用金属材料强化铝合金LY12CZ的多轴高周疲劳试验数据为算例，验证该封闭解的正确性和材料参数识别方法的可行性。

多轴非比例；高周疲劳；损伤演化方程；封闭解；参数识别

疲劳是指材料在往复荷载条件下发生的一种断裂失效的物理现象。从外载形式分可将疲劳分为多轴疲劳和单轴疲劳，所谓多轴疲劳是指材料在多向荷载工况下发生的损伤破坏现象[1]。从疲劳寿命角度而言，疲劳亦可分为低周疲劳和高周疲劳，高周疲劳寿命一般高于10000周次，且受载过程中宏观上一般为弹性响应，宏观塑性应变累积微乎其微，但在细观尺度上，应力只要超出材料的疲劳极限就会有微塑性应变累积[2-3]。

据不完全统计，在现在工业领域，约80%的服役构件的失效破坏都是由于疲劳损伤引起的[4]，掘进机、刮板输送机、采煤机等矿山机械无时无刻都受疲劳失效的威胁。由于现行的服役构件一般需满足长寿命的使用要求以及复杂多变的荷载环境，多轴高周疲劳损伤失效成为现代结构件的主要失效形式之一。此外，高周疲劳破坏模式一般为准脆性断裂，断裂前兆不是十分明显，一旦裂纹起始，构件即会全尺寸断裂，后果十分严重。因此，建立预测精度较高的多轴高周疲劳寿命预测模型具有深远的工程应用价值。

多轴高周疲劳寿命预测理论自上世纪50年代电液伺服疲劳试验机的问世取得了较快发展，涌现了以应力不变量法、临界面法、细观积分法以及损伤力学法[5-11]135-142等为理论核心的寿命预测理论。总结前人的理论成果和不足，损伤力学法被公认为非常有前途的研究方法，具有确定的物理和力学意义[12]。

由于多轴高周疲劳具有非比例附加强化效应，这将大大缩短材料的疲劳寿命，因此，一种拟合性较好寿命预测方法应当计及此种效应。考虑附加强化效应的损伤演化方程，结合损伤历程追踪标定累加法，实现伤演方程的解耦计算，从而导出伤演方程的封闭解，依据此封闭解给出伤演方程的材料参数识别方法。最后，以航空工业常用金属材料强化铝合金LY12CZ多轴高周疲劳试验数据为算例，验证本文导出的封闭解的有效性和材料参数识别方法的可行性。

1　多轴高周疲劳损伤演化方程

1.1多轴高周疲劳损伤演化方程的N型描述

文献[10]135-136为刻画附加强化效应，将修改循环强度系数法引入微塑性本构关系，从而构建了基于Lemaitre一般意义上的损伤演化方程的应力增量描述。易见，伤演方程将计及多轴非比例附加强化效应。然后，基于损伤历程等效条件将该应力增量描述下的伤演方程改写了N型描述。N型描述下的伤演方程更易损伤累积计算和寿命预测，体现了疲劳损伤的非线性累积。文献[10]137-138伤演方程的N型描述为

(1)

(2)

式中：D为损伤内变量，N为循环周次，m为折算载荷谱中加载段个数，σi，max、σi，min分别为折算载荷谱加载分段中峰谷点应力值，应力折算模型为

(3)

Rν=2(1+ν)/3+3(1-2ν)(σm/σeq)2

(4)

式中：σ为折算应力；σeq为Von Mises等效应力；σ1、σ3为第一主应力和第三主应力；Rν为三轴应力比，ν为材料的泊松比，σm为静水应力，h为裂纹闭合因子，Lemaitre建议h=0.2；P、Q、g均为材料参数；n为循环应变硬化指数，F为旋转因子，此参量予以刻画潜在滑移系的开启度，在无平均应力保持下的双轴正弦波加载下该值为

(5)

式中：λσ为扭拉应力幅值比，即λσ=τa/σa，σa为轴向加载幅值，MPa；τa为周向加载幅值，MPa；δ为相位差值。

2　伤演方程的封闭解

2.1封闭解的推导

为获得双轴扭拉加载工况，一般采用光滑薄壁圆管试件作为试验素材，在轴向和周向分别施载，如图1所示。

图1　扭拉光滑薄壁圆管试件

假如采用正弦波施载，那么在轴向和周向的瞬时应力值分别为

(6)

式中：ω为加载频率，Hz；δ为相位差值，rad；t为加载时间，s；σx为任意时刻轴向应力值，MPa；τxy为任意时刻周向应力值，MPa。

(7)

在式(6)加载路径下，考虑到其加载上半段(|σ1|≥|σ3|，ωt∈[0，π])是主控应力为拉应力保持，因此特征应力幅值为

(8)

(9)

(10)

对于加载下半段(|σ1|<|σ3|，ωt∈[π，2π])是主控应力为压应力保持，考虑到拉压异性，此时特征应力幅值为

(11)

伤演方程(11)采用特征应力幅值表述形式为

(12)

特殊的，对于循环应力比R=-1单轴对称拉压疲劳，由式(12)可知，其损伤演化模型为

(13)

假定试件初始损伤状态为理想无损，临界断裂判据为受损微元体截面完全丧失承载能力，那么初边值条件为D0=0，Dc=1。由式(13)可得单轴对称拉压加载工况条件下的疲劳寿命预测封闭解为

(14)

采用损伤历程标定累加计算方法可得其封闭解答为[13]

(15)

其中，Nf为疲劳寿命预测值封闭解。考虑到对于某一确定的加载路径而言，旋转因子F为确定参量，因此可导出基于伤演模型式(12)和单轴对称拉压加载工况条件下的疲劳寿命封闭解答的多轴高周疲劳寿命预测值封闭解为

Nf=

(16)

3　伤演方程材料参数识别

3.1比例加载路径下的材料参数确定

所谓比例加载，是指在任意时刻周向瞬时应力值与轴向瞬时应力值之比为常量，即比例系数K=τxy/σx为常量。由于在比例施载时，材料无附加强化行为，此时F=0。考虑到材料的疲劳属性一般以应力比R=-1的载荷路径(见图2)的S-N曲线形式给出。因此文献[10]137-138根据该载荷工况条件下疲劳寿命封闭解并结合最小二乘法给出比例荷载条件下的材料参数识别模型为

(17)

式中：j表示试验组数；Nf，i表示各组试验的试件中值疲劳寿命；σa，i表示各组试验施载应力幅值。通过模型式(17)可识别材料参数P、Q以及微塑性循环应变硬化指数n。

t/s图2　单轴对称拉压施载路径

3.2非比例加载路径下材料参数确定

当双轴非比例施载时，相位差值δ不为0，比例系数K不唯一。特殊的，对于相位差值为90°的加载路径而言，如图3所示。

图3　双轴圆形加载路径

在该加载路径下，材料的多轴疲劳寿命预测值由前述推演可知其封闭解为

Nf，90=

(18)

(19)

式中：Nf，90为圆形加载路径下材料疲劳寿命封闭解；sign(x)为自定义符号函数

(20)

为获取材料参数g，可通过多组某一双轴对称圆形加载路径获得材料的疲劳中值寿命N90，并假定封闭解答对该加载路径下的寿命预测无任何拟合误差，即此时

N90=Nf，90

(21)

代入式(3-2)即可获得材料参数g，即

(22)

其中：gc表示各组疲劳试验获取的g参数。应当指出的是，对于光滑薄壁圆管拉压试件而言，由于存在径向应力递度，试件的临界受损单元不一定位于薄壁试件的外表面，需要综合考虑旋转因子F以及特征应力幅值相对大小。至此本文通过伤演模型式(1)的封闭解获得了伤演模型中所有材料参数。这种材料识别方法是否可行，有待下文继续论证。

4　封闭解的有效性验证

4.1铝合金LY12CZ模型参数识别

为验证本文导出的封闭解的有效性以及基于该封闭解提出伤演模型材料参数识别方法的可行性，本文选取航空工业常用金属材料强化铝合金LY12CZ的多轴高周疲劳试验数据加以验证。铝合金LY12CZ基本力学参数如表1所示。

表1　铝合金LY12CZ基本力学性能参数表[14]

文献[10]139-140根据单轴拉压疲劳试验数据并结合材料参数识别模型式(17)将比例施载路径下的材料参数进行了识别，获得材料参数如表2所示，根据该参数获得LY12CZ理论S-N曲线如图4所示。

表2　铝合金LY12CZ比例施载路径材料参数

图4　LY12CZ铝合金理论S-N曲线方程

为进一步获得在非比例加载路径下的材料参数g，本文选取文献[10]140-141中LY12CZ在扭拉应力比λσ=0.5的圆形加载路径下的多轴高周疲劳数据对该参量进行识别，其详细疲劳寿命统计数据以及通过封闭解式(16)获得的g参数分别如表3所示和表4所示。

表3　LY12CZ铝合金圆形加载路径疲劳寿命统计表

表4　g参数计算

根据表4的计算结果以及本文提出的伤演模型材料参数识别方法，最终获得的全部伤演模型材料参数如表5所示。

表5　LY12CZ铝合金疲劳伤演模型材料参数

4.2铝合金LY12CZ疲劳寿命预测效果分析

本文基于文献[10]136-137中计及非比例附加强化效应的伤演模型并结合损伤度历程追踪标定累积法获得其封闭解析解，为分析该解答应用于多轴高周疲劳中的预测效果，采用该解答对铝合金LY12CZ所有多轴加载路径进行寿命预测，预测效果如表6所示。

表6　LY12CZ铝合金理论疲劳寿命与试验值对比

注：*为疲劳裂纹起始于试件内表面

由表6可知，该封闭解对LY12CZ铝合金的多轴高周疲劳寿命预测效果均在3倍误差带以内，与试验吻合较好，这种误差分布与文献[10]140-141利用数值解法基本一致，这也说明本文利用损伤度历程追踪标定累加法对文献[10]136-137的伤演模型进行解耦计算是可行的。应当指出的是，本文导出的封闭解答不考虑高周疲劳裂纹扩展寿命，这主要是由于对于无类裂纹缺陷试件其裂纹萌生寿命占据全寿命的主要部分，甚至高达90%以上[15]。

5　结论

1) 本文利用损伤度历程追踪标定累加法对文献[10]136-137的伤演模型进行解耦计算，导出了该伤演模型的封闭解答的解析解；

2) 基于文献[10]136-137中的伤演模型封闭解答的解析解，建立了该伤演模型新的模型材料参数识别方法；

3) 利用已有的强化铝合金LY12CZ多轴高周疲劳试验数据，对模型材料参数进行了识别，验证了本文导出的封闭解答的正确性以及材料参数识别方法的可行性。

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(责任编辑：何学华，吴晓红)

A Closed Form Solution of Damage Evolution Equation about Multiaxial High Circle Fatigue

YUAN Qun1, LI Hao-ran2

(1.School of Mechanical Engineering, Anhui University of Science and Technology, Huainan, Anhui 232001, China；2. School of Mechanical Engineering ,Yanshan University, Qinhuangdao,Hebei 066004, China)

The damage mechanics method applied to the analysis of fatigue damage is recognized as the most promising method of research. The method deduces damage evolution equation based on continuum mechanics and thermodynamics and nd it has a certain physical and mechanical meaning. The accumulated calculation method is demarcated by considering the damage evolution equation of multiaxial nonproportional additional hardening effect and tracing the damage process and the closed form solution of damage evolution equation about multiaxial high circle fatigue of additional hardening effect is exported. Material parameter identification method of damage evolution equation is given by applying the solution. The correctness of the closed form solution and the feasibility of material parameter identification method are verified with the multiaxial high cycle fatigue test data of LY12CZ aluminium alloy used in aviation industry being the example.

multiaxial nonproportional; high circle fatigue; damage evolution equation; closed-form solution; parameter identification

2015-06-28

袁群(1989-)，女，安徽合肥人，在读硕士，研究方向：机械工程。

TH115

A

1672-1098(2016)03-0047-06