与对称点和共轭点有关的螺旋函数子类的系数估计

汤　获，王晓英

（1.赤峰学院　数学与统计学院；2.赤峰学院　应用数学研究所，内蒙古　赤峰　024000）

与对称点和共轭点有关的螺旋函数子类的系数估计

汤获1，2，王晓英1

（1.赤峰学院数学与统计学院；2.赤峰学院应用数学研究所，内蒙古赤峰024000）

本文引入与对称点和共轭点有关的螺旋函数新子类Ms（θ，A，B）和Mc（θ，A，B），讨论了这些子类的系数估计，所得结果推广了一些已知结论.

对称点；共轭点；螺旋函数；星象函数；系数估计

1　引言与预备知识

令U表示在单位开圆盘D=｛z:|z|＜1｝内单叶解析且具有如下形式

的函数类，且满足条件ω（0）=0，|ω（z）|＜1，z∈D.

令S表示在D内单叶解析且具有如下形式

的函数类.

另外，设Ss*是（1.1）式给出的函数所构成的S的子类，并且满足

这类函数称为关于对称点的星象函数，该定义是在1959年由Sakaguchi［1］给出的.1987年，Ashwah和Thomas［2］给出了关于共轭点的星象函数类Sc*，其定义如下:

设Sc*是由（1.1）式给出的函数构成的S的子类，并且满足条件

假设函数f和g在D内解析，若存在一个Schwarz函数ω（z），使得ω（0）=0，|ω（z）|＜1满足g（z）=f（ω（z），z∈D，那么，我们就称函数g从属于f，记作g（z）≺f（z），z∈D.

利用上述从属定义，Goel和Mehrok在文［3］中引入了函数类Ss*的子类Ss*（A，B）.

定义1.1设函数f由（1.1）式给出，并且满足条件

则记此函数类为Sc*（A，B）.

以同样的方式，汤获和邓冠铁在文［4］中引入了函数类Sc*的子类Sc*（A，B），并讨论了该函数子类的系数估计.

定义1.2［4］设函数f由（1.1）式给出，并且满足条件

则记此函数类为Sc*（A，B）.

在此基础上，本文我们主要考虑更一般的螺旋函数子类Ms（θ，A，B）和Mc（θ，A，B），并讨论这些函数类的系数估计，所得的结果推广了一些已知结论.

定义1.3设函数f由（1.1）式给出，并且满足条件

则记此函数类为Ms（θ，A，B）.

定义1.4设函数f由（1.1）式给出，并且满足条件

则记此函数类为Mc（θ，A，B）.

我们注意到，若合适选取参数θ，A和B，我们可得下列已知函数类.

（i）Ms（0，A，B）=Ss*（A，B）（见文［3］），Mc（0，A，B）=Sc*（A，B）（见文［4］）；

（ii）Ms（0，1，-1）=Ss（*见文［1］），Mc（0，1，-1）=Sc（*见文［2］）.利用定义1.3，定义1.4和从属定义，我们易知:

（1）f∈Ms（θ，A，B）当且仅当

（2）f∈Mc（θ，A，B）当且仅当

为了证明本文的主要结果，我们需要下列引理.

引理1.1［4］如果p（z）是由（1.4）给出，那么

2　主要结果

定理2.1 设f∈Ms（θ，A，B），则对于n≥1，有

证明由（1.2）式和（1.4）式，我们易得

比较上式两边z的幂的系数，我们可得

利用（2.3）式和引理1.1，我们易得

再利用引理1.1（，2.4）式和（2.7）式，我们可得

当n=1，2时，（2.1）式和（2.2）式显然成立.接下来，我们利用数学归纳法来证明（2.1）式.

由（2.5）式和引理1.1，我们得到

假设当k=3，4，…，（n-1）时（，2.1）式成立，那么由（2.8）式，我们可以得到

为了完成证明，我们需证当m=3时

成立即可.

假设对所有m，3＜m≤（n-1）（，2.10）式成立，那么利用（2.9）式，我们可得

因此，当m=n时（，2.10）式成立，即（2.1）式也成立.同理，我们可以证明（2.2）式成立.

在定理2.1中，若取θ=0，则有下面的推论2.1.

推论2.1设f∈Ms（0，A，B）≡Ss*（A，B），则对于n≥1，有

在推论2.1中，若取A=1，B=-1则有下面的推论2.2.

推论2.2设f∈Ms（0，1，-1），则对于n≥1，有

定理2.2设f∈Mc（0，A，B），则对于n≥1，有

证明由（1.3）式和（1.4）式，我们易得

比较上式两边z的幂的系数，我们可得

再利用引理1.1（，2.14）式，（2.15）式和（2.18）式，我们可得利用（2.13）式和引理1.1，可得

当n=1，2时（，2.11）式显然成立.下面，我们借助数学归纳法来证明（2.11）式.

由（2.16）式和引理1.1，我们得到

假设当k=3，4，…，（n-1）时，（2.11）式成立.由（2.19）式，我们可以得到

要想完成该证明，只需证当m=3时成立即可.

假设对所有m，3＜m≤（n-1），（2.21）式成立.由（2.20）式，我们有

因此，当m=2时，（2.21）式成立，即证（2.11）式成立.同理，我们可以证明（2.12）式成立.

在定理2.2中，若取θ=0，则有下面的推论2.3.

推论2.3设f∈Mc（0，A，B）≡Sc*（A，B），则对于n≥1，有在推论2.3中，若取A=1，B=-1，则有如下的推论2.4.推论2.4设f∈Mc（0，1，-1）≡Sc*，则对于n≥1，有

〔1〕Sakaguchi K.On certain univalent mapping［J］.Math. Soc.，Japan，1959，11：72-75.

〔2〕El-Ashwah R M，Thomas D K.Some subclasses of close-to-convex functions［J］.J.Ramanujan Math.Soc.，1987，2：86-100.

〔3〕Goel R M，Mehrok B C.A subclass of starlike functions w ithrespect tosymmetric points［J］.Tamkang Journal of Mathematics，1982，13：11-24.

〔4〕Huo Tang，Guantie Deng.Coefficient estimates for subclasses of analytic functions w ith respect to other points ［J］.Tamkang Journal of Mathematics，2013，44：141-148.

O174.13

A

1673-260X（2016）08-0001-03

2016-05-11

国家自然科学基金资助项目（11561001；11271045）；内蒙古自然科学基金资助项目（2014MS0101；2010MS0117）；内蒙古高校科研基金资助项目（NJZY240；NJZY16251）