平面运动刚体动能计算的探讨*

赵玉成，杨卫明，陈培见

(中国矿业大学力学与建筑工程学院力学系，江苏 徐州 221116)



平面运动刚体动能计算的探讨*

赵玉成，杨卫明，陈培见

(中国矿业大学力学与建筑工程学院力学系，江苏 徐州 221116)

基于刚体的平面运动可看作是绕过瞬心的瞬时轴的转动，就直接给出类似定轴转动刚体的动能计算公式是否合理？刚体平面运动可以分解为随同基点的平动和绕基点转动的合成，那么平面运动刚体的动能是否等于随同基点平动的动能和相对基点转动动能之和？本文对以上问题进行了详细的分析和探讨.

质点系；刚体；平面运动；动能

平面运动刚体动能的计算本不是一个非常困难的问题，只需根据质点系动能计算公式推导得到.一些理论力学教材[1～5]对于平面运动刚体的动能计算公式的介绍，都是基于刚体的平面运动可看作是绕“瞬时轴”(垂直于运动平面并通过刚体此瞬时速度瞬心P的轴)的转动，然后直接就给出平面运动刚体的动能计算公式，即1/2JPω2(其中JP为刚体对过速度瞬心P的转轴的转动惯量，ω为此瞬时角速度).再根据平行轴定理推出平面运动刚体的动能等于随质心平动的动能和绕质心转动的动能之和的公式.

基于刚体的平面运动可看作是绕瞬时轴的转动直接得出计算平面运动刚体的动能公式1/2JPω2，不是非常科学和严谨，存在以下问题：

1)根据1/2JPω2如何计算瞬时平动情况下的动能？此瞬时的JP如何计算？此瞬时ω=0，动能为0？

2)这个公式的得出是基于刚体的平面运动可看作是绕“瞬时轴”的转动，同样，如果根据刚体平面运动可以分解为随同基点的平动和绕基点转动的合成(前面的教材在刚体平面运动的分解中都有类似表述)，是不是可以得出如下结论：平面运动刚体的动能是否等于随同基点平动的动能和相对基点相对于基点(即相对于铰接于基点上的平动坐标系)转动动能之和？

下面就以上问题进行详细探讨.

1　质点系动能的计算

如图1所示n个质点组成的质点系，总的质量为M，对于惯性系Oxyz作任意运动.在任一瞬时，质点系内任一质量为mi的质点i的速度为vi，其动能为1/2mivi2.该质点系在某瞬时所有质点动能的总和，称为该瞬时质点系的动能

(1)

这是计算质点系动能的基本公式.

设质点系的质心为C，坐标系Cx’y’z’为随质心C作平动的参考系.对于图1中的质点i，根据速度合成定理vi=vC+vri，可得vi2=vC2+vri2+2 vC·vri，将其代入式(1)得

(2)

(3)

即质点系的动能等于它随质心平动的动能与它相对于质心的相对运动动能之和(柯尼西定理).

2　平面运动刚体动能的计算

2.1经典计算方法

对于平面运动刚体，某瞬时其角速度为ω，则式(2)中的vri=ωri，那么刚体相对于质心的相对运动动能Tr为

(4)

式中JC为刚体对于垂直于运动平面的质心轴的转动惯量.

根据柯尼西定理，可得到平面运动刚体的动能为

(5)

即平面运动刚体的动能等于刚体随质心平动的动能和绕质心转动的动能之和.

当平面运动刚体为瞬时平动时，ω=0，由式(5)可得此时平面运动刚体的动能为

(6)

即平面运动刚体的动能只有刚体随质心平动的动能.

当ω≠0时，一定存在唯一的速度瞬心P，若质心C到瞬心P的距离为d，则vC=ωd，由式(5)可得此时平面运动刚体的动能为

(7)

式中JP为刚体对瞬时轴的转动惯量.

2.2基于基点运动分解思路动能计算方法讨论

刚体平面运动可以分解为随同基点的平动和绕基点转动的合成，那么平面运动刚体的动能是否等于刚体随任意基点的平动动能和相对于基点转动的动能之和？

(8)

从上式可以看出来，一般情况下平面运动刚体的动能并不等于刚体随任意基点的平动动能和相对于基点转动的动能之和.只有当vA·vCA=0，平面运动刚体的动能才等于刚体随任意基点的平动动能和相对于基点转动的动能之和.

下面讨论一下什么情况下会出现vA·vCA=0，会有以下三种情况：

1) vA=0，即当所取基点为速度瞬心的情况；

2) vCA=ωrc’=0，即当基点为质心时(rc’=0)，或者为瞬时平动的情况(此时ω=0,各点速度都与质心速度相同)；

3) 基点的速度vA与质心相对于基点的速度vCA垂直时，即基点的速度vA方向过质心时：满足这样的点会落在以质心和瞬心连线为直径的圆上.

下面给出一个满足第三种情况的的特例：如图3所示的曲柄滑块机构中OA杆和AB杆的长度均为l，当运动到此位置时，即OA杆和AB杆垂直瞬间，如果以A为基点，则基点的速度vA方向正好过质心C，此瞬时速度瞬心为P，则有

(9)

假设作平面运动的匀质刚杆AB的质量为m，如果用式(5)和式(9)，可计算AB杆此瞬时的动能(AB杆此瞬时的角速度也为ω)

(10)

如果以A为基点，认为此瞬时AB杆的动能为随基点A的平动动能和相对于基点转动的动能之和

(11)

可以看到两种方法计算的动能结果相同，所以当基点的速度正好过质心时，vA·vCA=0，平面运动刚体的动能等于随基点平动的动能和相对于基点转动的动能之和.

3　结论

对于平面运动刚体动能的计算，应基于质点系动能计算基本公式，根据柯尼西定理得到它的动能等于随同质心平动的动能和相对于质心转动的动能之和，再推出瞬时平动和瞬时转动时的动能计算公式；不能由刚体平面运动可以分解为随同基点的平动和绕基点转动的合成，想当然的得到如下结论：平面运动刚体的动能等于随同基点平动的动能和相对基点转动动能之和.上述计算方法只是在特定的条件下成立.

[1]金江.理论力学[M].南京：东南大学出版社，2013.

[2]郭应征.理论力学[M].北京：中国电力出版社，2012.

[3]王永岩.理论力学[M].北京：科学出版社，2012.

[4]哈尔滨工业大学理论力学教研室.理论力学[M].第6版.北京：高等教育出版社，2006.

[5]郝桐生(殷祥超、巫静波、杨静修订).理论力学[M].第3版.北京：高等教育出版社，2006.

Discussion on Kinetic Energy Calculations of Plane Motion of Rigid Body

ZHAO Yu-cheng, YANG Wei-ming, CHEN Pei-jian

(Department of Mechanics of Mechanical & Civil Engineering School, China University of Mining & Technology, Xuzhou Jiangsu 221116, China)

The plane motion based on the rigid body can be regarded as the rotation of the instantaneous axis of the instantaneous center. Whether is it reasonable to give the calculation formula of the kinetic energy of a similar rigid body with a fixed axis rotation? The plane motion of a rigid body can be decomposed into synthetic base along with the translation and the rotation point, then, is the kinetic energy of the plane motion of a rigid body equal to amount of the kinetic energy along with the basis of translational and rotational kinetic energy and the relative points? In this paper, the above issues are analyzed and discussed in detail.

system of particles; rigid body; plane motion; kinetic energy

1673-2103(2016)02-0053-04

2015-03-15

赵玉成(1972-) ，男，山西芮城人，教授，博士，博士生导师，研究方向: 岩石力学与工程.

O313.3

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