多品种小批量的SPC控制图应用探析

宁自登 舒燕

摘 要：文章在分析多品种、小批量生产模式下的特点和传统SPC控制图的局限性的基础上，提出了贝叶斯统计的构建模型，并结合企业实际情况，对均值极差（方差已知，标准差未知的条件下）进行了实例验证计算，最后得出贝叶斯统计方法能用于多品种小批量的生产模式下的SPC控制。

关键词：多品种小批量 SPC控制图 贝叶斯统计

中图分类号：F270.7 文献标识码：A

文章编号：1004-4914（2016）02-207-03

引言

在标准化、大批量生产模式出现后，为了对该生产模式下的产品质量特性进行描述监控，减少废品损失，提高生产效率，于20世纪初休哈特博士创建了统计过程控制理论（SPC，Statistical Process Control）。SPC理论是建立在大批量生产模式下，利用大量的产品抽样数据通过统计推断从而对整个生产过程进行监控，达到改进与保证产品质量的目的{1}。它把质量控制从以往的“事后把关”发展到“事前预防”，大大提高了产品的质量。但是随着社会经济的发展，顾客对产品的需求日益多样化和个性化，制造业正由大批量生产向多品种小批量的生产方式转换。由于小批量生产具有产品品种多、批量小、生产系统复杂性和不稳定性等特点，因此无法获取稳定的质量特征值，致使分析数据所需样本不足，建立在正态分布基础上的传统SPC很难在小批量生产的工序质量控制过程中发挥作用。于是，如何将SPC有效应用到多品种小批量生产过程的质量控制中就显得格外重要。

一、SPC常规控制图介绍

现有的质量控制理论都是基于经典统计理论建立起来的， 一般认为，当生产过程不存在系统误差时，产品的质量特性（设为X）服从均值为μ、方差为的正态分布N（μ，σ），此时样品的质量特性X落在区间[x-3s，x+3s]中的概率为99.73%{2}据此设计了过程质量控制图的中心线及上、下控制限：LCL=μ-3σ UCL=μ-3σ CL=μ通常情况下，由于参数（μ，σ） 一般是未知的，因此在实际应用中，往往采用样本均值x和样本标准差s 分别代替未知参数μ和σ的方法来确定CL，UCL和LCL的近似位置。

对于大批量生产模式下常见的控制图有定量型的控制图X bar-R控制图（计量值、正态分布）， 计件型的不合格品百分率p控制图（计件值，二项分布）及不合格品数np控制图（计件值，二项分布）计点型的缺陷率u控制图（计点值，泊松分布）及缺陷数c控制图（计点值，泊松分布），这些控制图都是建立在大批量生产条件下所抽取的样本量近似于正态分布的，

但是由于（x，s）与（μ，σ） 之间存在差异，对小批量生产而言， 二者之间的差异较大，不论μ与σ取值如何，产品质量特性落在[μ-3σ，μ+3σ]范围内的概率一般不会等于99.73%。此时按常规方法所建立的控制图对生产过程中异常现象的检测能力将会降低。与自动化生产线的大规模制造相比较， 小批量生产的环境波动比较大， 不同批次产品的质量指标参数之间存在差异， 此时参数具有随机性的特征， 这与经典统计的基本观点/ 总体分布参数是固定的常数0是不相符的； 因此， 此时不宜用经典统计方法来研究X 的质量控制问题。

二、适用于多品种小批量的SPC控制图

Quesenberry提出了Q控制图{3}。Q控制图的前提是工序质量特征值服从同一总体分布， 其实质是统计变换，即利用T 分布来降低对数据量的要求。然而， 当样本数很少时， 由于T 分布在自由度很小时所得到的控制线的宽度太大， 监视作用将受到限制。上述这类方法的出发点是将各类相似的工序， 经数据变换，映射成为具有相同总体分布的工序， 以增加样本容量，以便借用传统的SPC方法。休哈特认为样本数据量至少要在100以上时，所获得的控制图才能应用到实际生产中，而Quesenberry{4}则建议在确定单个控制图的永久界限时，至少需要300个观测样本，不适合多品种，小批量生产模式下的样本收集。

Wassermant{5}建立了动态EWMA质量控制图。休哈特控制图从本质上讲，进行质量控制的焦点在于产品（或工序输出的质量特征），仅把工序过程视为独立的过程，缺乏对过程本身固有的变化规律的描述。近年来，SPC的一大趋势是把质量控制的焦点从产品转到了生产过程，基于过程模型的质量控制技术得到了较快的发展，累积和控制图（Cumulative Sum）、指数加权移动平均（ EWMA： Exponentially Weighted Moving Averages）控制图、时序控制图等正在引起人们的兴趣{6}。

P.J.Harrison等人提出贝叶斯预测理论，它首先借助于已有知识建立过程的动态模型， 然后根据先验分布的信息和已测得的过程历史数据等， 计算后验分布， 并结合专家经验对过程作出决策。这是一种利用客观数据、模型加上人的主观经验来分析处理复杂问题的方法{7}。可以说， 基于贝叶斯的SPC方法是在多品种、小批量制造过程中实施统计质量控制的最有前途的方法之一。

三、贝叶斯统计思想简介

贝叶斯统计认为当某一样本X={x1，…，xn}的产生是分两步的。首先由先验分布p（θ）产生一个参数样本θ'，这一步是不可见的。第二步则是从含有这个样本参数θ'的总体分布p（x│θ'）中产生一个样本X，这个样本是具体的、可见的。若要对总体分布p（x│θ'）的参数θ'进行估计，贝叶斯统计认为不能只考虑θ'，而是要将θ的一切可能性（即p（θ））都考虑进去。而对参数θ进行的估计是基于贝叶斯公式{8}

p（B│A）=■ （公式3-1）

首先通过求得样本的似然函数L（θ'）

p（x│θ'）=■p（xi│θ'） （公式3-2）

这个似然函数是综合了总体以及样本中所含θ的信息。然后求出样本X与参数θ的联合分布

h（x，θ）=p（x│θ）p（θ） （公式3-3）

此分布将总体、样本以及先验信息都包含了进去。由于h（x，θ）还可以做如下分解

h（x，θ）=p（θ│x）m（x） （公式3-4）

m（θ）=■h（h（x，θ）dθ （公式3-5）

其中p（θ│x）为参数θ的后验分布；m（x）是x的边缘密度函数，它不含有任何关于θ的信息。基于贝叶斯公式，可以求出θ的条件分布π（θ丨x），根据可以对参数θ做出相应的推断。它的计算公式为

π（θ丨x）=■=■ （公式3-6）

由于m（x）不依赖于参数θ，因此在计算θ的后验分布时，m（x）仅相当于一个常数因子，故可以写作

π（θ丨x）p（x丨θ）p（θ）

其中表示左右两边的具有相同的函数形式，之间只相差不依赖于θ的常数因子。

当样本X给定后，θ的条件分布π（θ丨x）被称为θ的后验分布。它反映的是人们在抽样后对在抽样前对θ的认识（即p（θ））的调整。它包含了有关θ的总体信息、样本信息以及先验信息，同时也排除了与无关的其他信息。因此，通过π（θ丨x）对参数θ的估计将更加合理有效。

四、基于贝叶斯统计的控制图模型构建

根据多品种，小批量生产的实际情况，大多数情况下，（x，s） 与（μ，σ）都不是已知的，在μ与σ2均未知时，对于特定的σ2，均值μ的先验分布p（μ丨σ2）仍然为正态分布N（w，t2），而方差σ2的先验分布p（σ2）仍然为倒伽马分布IG（α，γ）。由于在实际生产过程中，方差σ2的改变对均值μ有较大的影响而均值μ对方差σ2的影响较小，且方差σ2的变动幅度往往小于均值μ的变动幅度，因此在此将历史样本数据的方差作为总体参数σ2的估计，记为s2。则此时，可以按方差σ2已知，而均值μ未知的方法来推演贝叶斯统计。

1.后验分布推导。

当方差μ2已知，均值μ未知，对均值μ进行参数估计。当获得该生产过程新的新一批产品{y1，y2，…，yk，…yn}后，其中k=1，2，…，n，可求得均值的后验分布为正态分布μ。对于样本数据，其似然函数为{9}：

p（y丨μ）=■p（yk丨u）=（■） （公式4-1）

则均值μ的后验分布π（μ丨y）为

π（μ丨y）p（y丨μ）·p（μ）

exp■■（yk-μ）2·exp■

exp-■■+■

exp-■■+■μ2-2■+■μ+■+■

令A=■+■，B=■+■，C=■+■，则

π（μ丨y）p（y丨μ）·p（μ）

exp-■Aμ2-2Bμ+C

exp-■Aμ2-2Bμ

exp-■μ-B/A2

可以看出，此时均值μ的后验分布是均值为B/A，方差为A-1的正态分布。记均值μ的贝叶斯估计为■B，■B推导得：

■B■=■

=■=■ （公式4-2）

从公式4-2中可以看出，μ的贝叶斯估计■为先验产品样本质量特征值的均值与后续样本观察值均值的加权平均。随着后续样本量n的增大，先验样本均值w的权重将逐渐减小。当n足够大时，贝叶斯估计值■B与传统方法所估计的均值μ几乎相同。而当n较小时，■B充分利用了先验信息与后续观察值，而这两者在估计中占有重要地位，使得估计值更加可靠。

2.控制限建立。

令方差σ2=σ20，对于受控过程中产品质量特性值y服从正态分布N（μ，σ2），其样本均值■服从正态分布N（μ，σ2/n）。将公式4-2中均值μ的贝叶斯估计■B代入。则此时控制图的界限为：

UCL=■B+3σ20/■CL=■BLCL=■B-3σ20/■ （公式4-3）

则控制图的控制界限为：

UCL=■CL=σ0LCL=■ （公式4-4）

五、实例验证

本文根据S公司的多品种，小批量的生产模式，选择比较典型的均值级差控制图来进行验算，网版印刷中的印刷焊料的高度来进行测算，由于一台机器用于很多产品的印刷，且每个产品的数量也比较烧，比较适合这个模型的验算。本文仅验算方差已知，均值未知道的情况，本文将将30个批次共150个数据分别视作总体观测的均值与方差见表1。为了符合该企业在实际中的抽样情况，因此在随机抽取10个批次的样本数据，如表2。并将抽样后的批次1—9作为已存在的历史数据，第10个批次的产品为新的待检测的产品数据。

首先采用Minitab15对整体30个批次的数据通过Minitab15可得其x控制图的控制界限为（6.573，5.205，3.798）而s控制图的控制界限为（0.145，0.362，0），见表3，运用贝叶斯统计公式可计算得出x-s的数据界限见表4、表5。 （下转第210页）（上接第208页）

通过上表的数据比较可以看出，相比起传统估计方法，贝叶斯估计的偏差s更小，x均值控制的界限更大，能更加有限地防止由于多品种，小批量引起的波动，对生产实际更加有效地反映控制波动和偏差。

总结

通过上面的模型建立和实际数据的验证，能说明贝叶斯统计的方法是适合多品种、小批量模式下SPC控制线设置的。

注释：

{1}约瑟夫.M.朱兰，A.布兰顿.戈弗雷.朱兰质量手册[M].北京：中国人民大学出版社，2003

{2}朱慧明，韩玉启.贝叶斯多元统计推断理论[M]北京：科学出版社2006，67

{3}Quesenberry C P， et al. Short-r un statistical process control ：A-chart enhancements and alternative methods Authors[J] .Quality and Reliability Engineering International， Vol： 12Iss： 3p. 159～ 64

{4}Quesenberry，C.P.SPC Q Charts for Start-up Process and Short or Long Runs[J] Journal of Quality Technology， 1991， 23（3）：213-224

{5}Wassermann， G.S. Short Run SPC Using Dynamic Control Chart[J] Computers Industrial Engineering， 1994，27（4）：353-356

{6}James M L， et al. Exponentially Weighted Moving Average Control Schemes： Proper ties and Enhancements[ J].Technimetrics， 1990，32（1）：1～29

{7}Harney H L. Bayesian inference： Parameter estimation and decision [M] . New York： Springer ， 2003

{8}茆诗松，贝叶斯统计[M]中国统计出版社，1999，14-15

{9}朱志刚，小批量多品种的SPC控制图研究[D]上海：上海交通大学200634-36

（作者单位：1新美亚电子（深圳）有限公司 广东深圳 518125；2.东莞理工学院 广东东莞 523808）

[第一作者简介：宁自登（1976—），男，湖北荆州人，硕士， 研究方向：供应链管理与运营管理]

（责编：若佳）