一类分数阶非线性系统的输入输出到状态稳定性分析

高　扬， 赵　微

( 大庆师范学院 教师教育学院，黑龙江 大庆　163712 )



一类分数阶非线性系统的输入输出到状态稳定性分析

高扬， 赵微

( 大庆师范学院 教师教育学院，黑龙江 大庆163712 )

基于Mittag-Leffler型稳定和整数阶非线性系统的输入到状态稳定理论，在Caputo分数阶导数意义下，对于导数阶数在0到1开区间的分数阶非线性系统，给出全新的输入输出到状态稳定定义，进而建立非线性系统实现输入输出到状态稳定的Lyapunov定理。举例证明该理论的正确性和实用性。

Caputo型导数； 分数阶导数； 输入输出到状态稳定； Mittag-Leffler型稳定

0　引言

分数阶微积分概念起源于1695年Leibniz给Hopital的信件中所提到的1/2阶导数问题。1832年，Liouville给出分数阶第一个合理定义。1847年，Riemann对分数阶定义做了补充。Grunwald和Krug统一Liouville和Riamann分数阶微积分定义，形成Riemann-Liouville型分数阶微积分定义。人们提出多种定义，如Grunwald型分数阶微积分和Caputo分数阶微积分。

对分数阶微分方程稳定性的研究也是分数阶微分方程的重要部分。分数阶微分方程的稳定性可分为分数阶线性方程的稳定性和非线性方程的稳定性2个方面。分数阶在0到1和1到2之间的分数阶线性微分方程的稳定性理论已完善[1-4]。在分数阶非线性方程稳定性方面还有待完善。Li Y等[5-6]利用Lyapunov函数给出非线性分数阶方程的稳定性判据，其中包括非线性Caputo导数意义下微分方程稳定性的判据和Riemann-Liouville导数下微分方程稳定性的判据。2014年，Aguila-Camacho N等[7]利用一个不等式，探讨一种Lyapunov函数构造问题，但只针对Caputo导数。

通过Laplace变换，利用终值定理，求出方程稳定条件的做法很成熟。通过构造分数阶Lyapunov函数，得出方程稳定性条件的方法还处于初级阶段。

实际生活中,系统经常被干扰和测量中的误差影响,要求系统不但具有稳定性质,还要具有输入到状态(ISS)稳定性质[8]。近年来,对于ISS及派生的定义(积分型输入到状态稳定、输入输出到状态稳定和积分型输入输出到状态稳定等)的研究受到普遍关注,是非线性系统研究中的热点问题[9-12]。

Krichman M等[9]提出输入输出到状态稳定(IOSS)的概念,研究非线性系统实现输入输出到状态稳定的Lyapunov特征。林相泽等[10]给出一类非线性切换系统(特殊的混杂系统) 一致输入输出对状态稳定的充分条件。慕小武等[11]应用Lyapunov函数分析方法给出一类脉冲系统输入输出到状态稳定的充分条件，讨论系统的积分输入到状态稳定条件。楼旭阳等[12]探讨一类混杂系统的一致输入输出对状态稳定的充分条件,分析混杂系统的一致输入输出对状态稳定性、光滑Lyapunov函数存在性和状态模估计器存在性三者之间的关系，得到受扰动系统一致输入输出对状态稳定性的结果,并证明混杂系统的一致输入输出对状态稳定定理。

对整数阶非线性系统的输入输出到状态稳定性研究是一个研究热点，而把输入输出到状态稳定从整数阶非线性系统推广到分数阶非线性系统具有实用价值。在分数阶系统中关于输入输出到状态稳定的研究成果未见报道。在Caputo分数阶导数意义下，笔者对导数阶数在0到1开区间的非线性系统，给出适合的输入输出到状态稳定定义，进而给出非线性系统实现输入输出到状态稳定的Lyapunov定理，举例证明该理论的正确性和实用性。

1　预备知识

Mittag-Leffler型函数的定义为

要求α>0。

带有双参数的Mittag-Leffler型函数定义为

要求α>0,β>0。

考虑分数阶非线性系统，即

(1)

式中：D为Caputo分数阶算子，α∈(0,1)；f:R×Rm→Rn为局部Lipschtiz的；x(t)∈Rn为系统式(1)在t∈R+时刻的状态，并假设f(0,0)=0。

定义1[5]分数阶系统式(1)的解是Mittag-Leffler稳定的，若

则函数m(x)是局部Lipschtiz的。其中t0为初始时刻，α∈(0,1)，λ>0,b>0,m(0)=0,m(x)≥0。

引理2[7]设x(t)∈R是一个连续可导函数，对任意时间t≥t0，有

对任意α∈(0,1)成立。

2　主要结论

考虑带有输入和输出的分数阶系统，即

(2)

式中：x(0)=x0为初始条件；x(t)∈Rn,u(t)∈Rm分别为式(2)在t∈R+时刻的状态和控制输入。设输出映射h:Rn→Rp是连续的，且h(0)=0。对任意ξ∈Rn和输入u，令y(t,ξ,u)为式(2)的输出函数，即y(t,ξ,u)=h(t,ξ,u)。假定f(0,0)=0。

注1任意u∈Rm，由f的局部Lipschtiz性质知，式(2)关于初始条件x(0)=x0有解。

因输入输出到状态稳定性在整数阶非线性系统中广泛应用，故推广它到式(2)的分数阶系统中。

定义2(Mittag-Leffler型输入输出到状态稳定)若存在Mittag-Leffler型函数Eα(-λtα)(λ>0)和K函数γ1,γ2，使得任意初值x(0)=x0，任意有界输入u(u∈L∞)，则有

(1)式(2)的解在[0,Tx0,u)存在；

(2)|x(t,x0,u)|≤max{{m(x(0))Eα(-λtα)}b,γ1(‖y(s,x0,u)|[0,t]‖),γ2(‖u(s)|[0,t]‖)},∀t∈[0，Tx0,u)。

其中b>0,m(0)=0,m(x)≥0,且m(x)为局部Lipschitz的。

注2事实上，u可以是小的有界扰动，式(2)转化为分数阶系统的抗干扰问题。

利用Sontag E D的输入到状态稳定相关理论建立式(2)的Mittag-Leffler型输入输出到状态稳定(MLIOS)Lyapunov定理。

引理3若存在β>0,存在Mittag-Leffler型函数Eα[-βtα]具有性质：对连续函数w:[0,T]→R≥0及数v*≥0,若任意t∈[0,T]，有

(3)

则

证明：设S={ξ|ξ≥0,w(ξ)≤v*},则S为正不变集合。

事实上，若存在t0≥0,使得t0∉S,则∃ε>0，∃t1>t0,使得

取t1为使得w(t1)≥v*+ε最小的t1。

由连续函数的保号性，有邻域U(t1)⊂R≥0存在，使得

由式(3)知w(t)关于t单调减少(t∈U(t1))。因此，存在t2∈U-(t1)，且t2>0，使得w(t2)≥w(t1)。

这与t1的定义矛盾，故存在T，使得∀t∈[0,T]，有

(2)T∈S。

首先证明(1)。

设

由Laplace变换，有

其中w(s)为w(t)的Laplace变换，M(s)为M(t)的Laplace变换。

再用逆Laplace变换，有

综合(1)和(2)，有

证毕。

定理1对式(2)，若存在Lyapunov函数V和α1>0,α2>0,β>0满足：

(1)α1‖x‖≤V(x(t))≤α2‖x‖;

(2)存在K函数σ1,σ2，使得任意x∈Rn,任意u∈Rm，有

则式(2)为Mittag-Leffler型输入输出到状态稳定的。

证明：当

时，有

进而由引理3，有

再利用条件(1)，有

故式(2)为Mittag-Leffler型输入输出到状态稳定(MLIOSS)的。

3　实例

例1设有分数阶系统，即

(4)

由定理1知，式(4)是Mittag-Leffler型输入输出到状态稳定的。

4　结束语

在Caputo分数阶导数意义下，对于导数阶数在0到1开区间的非线性分数阶系统，给出基于Mittag-Leffler稳定相应的输入输出到状态稳定定义，进而给出非线性分数阶系统实现输入输出到状态稳定的Lyapunov定理。举例证明该理论的正确性和实用性。

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Lin Xiangze, Zou Yun. Input-output-to-state stability of nonlinear switched systems [J]. Journal of Nanjing University of Science and Technology: Natural Science, 2010,34(3):303-308.

[11]慕小武,高永良.脉冲系统输入-输出到状态稳定的Lyapunov条件[J].数学的实践与认识,2011,41(15):228-232.

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[12]楼旭阳,叶倩,崔宝同.混杂系统的一致输入输出对状态稳定性[J].自动化学报,2014,40(3):516-521.

Lou Xuyang, Ye Qian, Cui Baotong. Uniform input-output-to-state stability of hybrid systems [J]. Acta Automatica Sinica, 2014,40(3):516-521.

2015-12-07；编辑：关开澄

大庆市科技计划项目(szdfy-2015-63)；大庆师范学院博士启动基金项目(12ZR09)

高扬(1979-)，男，博士研究生，副教授，主要从事非线性系统方面的研究。

10.3969/j.issn.2095-4107.2016.03.015

O175.6

A

2095-4107(2016)03-0118-05