联系图形，巧解数学题

姜红

联系图形，巧解数学题

姜红

七年级下学期第九章，同学们学习了《整式乘法与因式分解》，在学习完全平方公式时，我们用了以下图形进行验证，用图1的两个正方形和两个长方形拼成图2的大正方形，再算其面积.

图1

图2

比较二者可得，完全平方公式：（a+b）2= a2+2ab+b2.

在学习因式分解时，我们也用到了类似的方法.

看下面的问题：

如图3，阴影部分是边长为a的大正方形中剪去一个边长为b的小正方形后所得到的图形4，请借助此图，验证平方差公式.

图3

图4

比较二者可得，平方差公式：a2-b2=（a+ b）（a-b）.

以上解决问题的思想方法，叫作“数形结合”.

数与形是数学中的两个最古老，也是最基本的研究对象，它们在一定条件下可以相互转化.初中数学研究的对象大致可分为数和形两大部分.数与形是有联系的，这个联系就称之为数形结合.

作为一种数学思想方法，数形结合的应用大致又可分为两种情形：或者借助于数的精确性来阐明形的某些属性，或者借助形的几何直观性来阐明数之间某种关系.即数形结合包括两个方面：第一种情形是“以数解形”，而第二种情形是“以形助数”.

其实，数形结合的思想方法，我们上学期就接触到的.比如，在学习“绝对值”的概念时，我们说：数轴上，表示数a的点到原点

同学们仔细观察，可以发现这两题是同一类型.我们以第一题为例来探讨其解法.

方法一：依据绝对值的化简方法.即：

故此，我们需要，逐一判断每个绝对值符号内部的代数式的符号，找到它们的零点x=1、x=3，再分类讨论，加以解决.解法如下：

当x=1时，此式最小值为2；

当x=3时，此式最小值为2.

方法二：数形结合

图5

结合图5，若表示数x的点P在数轴上移动，易知当点P运动到1与3之间时，两个距离之和最小，相当于表示1与3的两点之间的距离，即为2.故此，原式的最小值为2.

其实，数形结合这个独特的思想方法，还有着很多的应用.据传，古希腊著名数学家毕达哥拉斯借助八个完全相同的直角三角形进行拼图，验证了直角三角形的三边a、b、c之间有着特殊的关系，你能借助下图进行探索吗？

图6

图7

同学们找到a、b、c之间的关系了吗？这就是我们下学期即将要学到的著名的勾股定理：直角三角形的两直角边a、b与斜边c之间符合：a2+b2=c2.这个定理在西方被称为毕达哥拉斯定理.

用心观察，运用经典的数学思想方法，也许将来的某一天，在数学论著中也能出现以你的名字命名的数学结论呢.

（作者单位：江苏省南京师范大学附属中学江宁分校）